Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga

Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga. Untuk melengkapi matematika dasar barisan dan deret geometri tak hingga, kita juga baiknya akan mempelajari matematika dasar barisan dan deret aritmetika dan matematika dasar barisan dan deret geometri, dengan memahami ketiga topik ini maka persoalan barisan dan deret akan semakin simpel kita pelajari.

Penerapan barisan dan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mampu dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada barisan dan deret geometri sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan simpel memahami soal-soal barisan dan deret geometri tak hingga dan menemukan solusinya.

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal dongeng atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Bagaimana Menghitung Deret Geometri Tak Hingga? pertanyaan sederhana dari anak-anak. Pada dongeng sebelumnya tentang barisan dan deret aritmatika dan barisan dan deret geometri sudah di ceritakan bagaimana perbedaan barisan dan deret serta perbedaan barisan aritmatika dan barisan geometri.

Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya bahwa Suatu Deret Bilangan dikatakan sebagai Deret Geometri (DG) jikalau perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,

1. $2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=2$)
2. $10-5+ \dfrac{5}{2} -\dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}- \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=-\dfrac{1}{2}$)
3. $27+ 9+ 3+ 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{9}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
4. $10+ 5+ \dfrac{5}{2}+ \dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$)
5. $2+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{8}+ \dfrac{1}{16}+ \dfrac{1}{32}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{4}$)

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua bagian, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen.

Deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga yang konvergen yaitu deret geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah. Syaratnya yaitu rasio kurang dari $1$ dan lebih dari $-1$. Secara simbol syarat rasio mampu kita tulis menjadi $-1 \lt r \lt 1$ atau $\left | r \right | \lt 1$.
Untuk menghitung jumlah deret hingga tak hingga, dipakai rumus:
$S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$

contoh:
$27+ 9+ 3+ 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{9}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
Limit jumlah deret ini mampu kita tafsir, alasannya ialah yaitu jikalau deret diteruskan hingga dengan $n$ tak hingga maka $U_{n}$ nilainya mendekati nol.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{27}{1-\dfrac{1}{3}} \\
&=\dfrac{27}{\dfrac{2}{3}} \\
&=\dfrac{81}{2} \\
\end{align}$
pola yang kedua,
$10+ 5+ \dfrac{5}{2}+ \dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$)
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{10}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}} =20
\end{align}$

Jika deret geometri tak hingga konvergen di bagi menjadi dua penggalan yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi:

• Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
  suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
  $S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$.
• Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
  suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
  $S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.

Deret geometri tak hingga divergen

Untuk deret geometri tak hingga yang divergen yaitu deret geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah. Tidak memiliki limit jumlah jikalau rasio lebih dari 1 atau kurang dari negatif 1.

Secara simbol syarat rasio mampu kita tulis menjadi $ r \lt -1 \vee r \gt 1 $ atau $ \left | r \right | \gt 1 $. Karena tidak memiliki limit jumlah jikalau ditanyakan jumlah deret hingga tak hingga maka jawabnya yaitu $S_{\infty}= \infty$ atau $tak\ hingga$.

contoh:
$2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=2$) maka $S_{\infty}= \infty$ alasannya ialah yaitu deret hingga tak hingga semakin besar sehingga penjumlahannya juga sangat besar.

Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. Untuk lebih memahami lagi tentang Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga ini, berikut coba kita diskusikan beberapa soal yang disadur dari soal-soal Ujian Nasional, Soal Seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri menyerupai Soal SNMPTN-SBMPTN, Soal SIMAK UI, Soal UM UGM, Soal UM UNDIP atau soal seleksi masuk sekolah kedinasan.

1. Soal Ujian Nasional 2015 (*Soal Lengkap)

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5\ m$ dan memantul kembali dengan $\dfrac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola hingga berhenti adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{15}{2}\ m \\
(B)\ & \dfrac{25}{2}\ m \\
(C)\ & 15\ m \\
(D)\ & 20\ m \\
(E)\ & 25\ m
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jumlah seluruh panjang lintasan bola hingga berhenti mampu kita hitung dengan memakai konsep deret geometri tak hingga. Berhenti yaitu anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola mampu dihitung tetapi banyak pantulan tidak mampu dihitung.

Tinggi bola awal $5\ m$, memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac{3}{5}$ dari $5\ m$ yaitu $3\ m$,
kemudian boal akan turun setinggi $3\ m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $3\ m$ yaitu $\dfrac{9}{5} m$,
bola turun lagi $\dfrac{9}{5} m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $\dfrac{9}{5}$ yaitu $\dfrac{27}{25}\ m$, dan
bola turun lagi $\dfrac{27}{25}\ m$ hingga seterusnya dan bola berhenti.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam $a=5$ dan $r=\dfrac{3}{5}$
Panjang lintasan bola yaitu
$\begin{align}
S_{\infty } \ & =\dfrac{a}{1-r} \\
& =\dfrac{5}{1-\dfrac{3}{5}}+\dfrac{3}{1-\dfrac{3}{5}} \\
& =\dfrac{5}{\dfrac{2}{5}}+\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}} \\
& =\dfrac{25}{2}+\dfrac{15}{2} \\
& =\dfrac{40}{2}=20
\end{align}$
atau mampu kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\dfrac{5}{1-\dfrac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ kemudian dikurang $5$, alasannya ialah yaitu lintasan bola yang $5\ m$ hanya terjadi satu kali.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 20\ m$

2. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga yaitu 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil yaitu 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 12 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ yaitu
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots $

Jika di bagi menjadi dua penggalan yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$.

Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya yaitu $96$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
96 &=\dfrac{a}{1-r} \\
a &=96(1-r)
\end{align}$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil yaitu $64$.
$\begin{align}
S_{\infty }(ganjil) &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\
\hline
64 &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\
64 &= \left ( \dfrac{a}{1-r} \right )\left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) \\
96 \left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) &= 64 \\
3 \left ( \dfrac{r}{1+r} \right ) &= 2 \\
3 &= 2 \left ( 1+r \right ) \\
3r &= 2+2r \\
r &= \dfrac{1}{2} \\
\hline
a &= 96(1-\dfrac{1}{2}) \\
a &= 96(\dfrac{1}{2}) \\
a &= 48
\end{align}$
Suku ke-4 adalah
$\begin{align}
U_{4} &=ar^{3} \\
&=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\
&=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\
&=\dfrac{48}{8} \\
&=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 6\ m$

3. Soal UMPTN 2001 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri tak hingga $16+4+1+ \cdots $. Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah $n$ suku pertama, kesudahannya kurang dari $\dfrac{1}{3000}$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret $16+4+1+ \cdots $ kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
S_{n} &=\dfrac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r} \\
\hline
\dfrac{a}{1-r}-\dfrac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
\dfrac{16}{1-\dfrac{1}{4}}-\dfrac{ 16 \left ( 1-\dfrac{1}{4}^{n} \right ) }{1-\dfrac{1}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
\dfrac{16}{\dfrac{3}{4}}-\dfrac{ 16-16 \left ( \dfrac{1}{4}\right )^{n} }{\dfrac{3}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
16-16+16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\
16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\
\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000}
\end{align}$
Karena $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{1} =\dfrac{1}{4}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{2}=\dfrac{1}{16}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{3}=\dfrac{1}{64}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{5}=\dfrac{1}{1024}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{6}=\dfrac{1}{4096}$

Jadi nilai $n$ terkecil semoga $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} \lt \dfrac{1}{4000}$ yaitu $n=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 6\ m$

4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{-3+\sqrt{3}}{2} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3-\sqrt{3}}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3+\sqrt{3}}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Deret $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ mampu kita manipulasi menjadi $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$.

Deret $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$ yaitu deret geometri tak hingga dengan $a=(x-1)^{2}$ dan $r=(x-1)$.
Karena deret geometri takhingga memiliki hasil maka nilai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$.

$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & x-1 \lt 1 \\
-1+1 \lt & x \lt 1+1 \\
0 \lt & x \lt 2
\end{align}$

$\begin{align}
S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\
1-x & = \dfrac{(x-1)^{2}}{1-(x-1)} \\
(1-x)(2+x) & = x^{2}-2x+1 \\
x^{2}-3x+2 & = x^{2}-2x+1 \\
-3x+2x+2-1 & = 0 \\
- x+1 & = 0 \\
x & = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 1$

5. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri tak hingga $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ Jika rasio deret tersebut yaitu $r$ dengan $-1 \lt r \lt 1$, $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ dan $u_{2}+u_{4}=3$, maka nilai $r^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan melihat batasan nilai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini yaitu deret konvergen.

Deret $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ artinya jumlah suku-suku genap yaitu $4$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty }(genap) &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\
4 &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\
4\left( 1-r^{2} \right) &= ar \\
4 -4r^{2} &= ar \\
\hline
u_{2}+u_{4} & = 3 \\
ar +ar^{3} & = 3 \\
\left( 4-4r^{2} \right)+\left( 4-4r^{2} \right)r^{2} & =3 \\
4-4r^{2} + 4r^{2}-4r^{4} & =3 \\
-4r^{4} & =3-4 \\
r^{4} & =\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{ 1}{ 4} \\
r^{2} & =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 1$

6. Soal SBMPTN 2013 Kode 223 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri tak hingga $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ Jika rasio deret tersebut yaitu $r$ dengan $-1 \lt r \lt 1$, $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ dan $u_{3}+u_{4}+u_{5}+\cdots=2$, maka nilai $r$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan melihat batasan nialai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini yaitu deret konvergen.

Deret $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ artinya jumlah suku-suku yaitu $6$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a }{1-r } \\
6 &=\dfrac{a}{1-r} \\
6\left( 1-r \right) &= a \\
6 -6r &= a \\
\hline
u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = 2 \\
(u_{1}+u_{2})+u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = u_{1}+u_{2}+2 \\
6 & = a+ar+2 \\
4 & = a+ar \\
4 & = 6 -6r+(6 -6r)r \\
4 & = 6 -6r+ 6r -6r^{2} \\
4-6 & = -6r^{2} \\
r^{2} & = \dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3} \\
r & = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

7. Soal SBMPTN 2013 Kode 128 (*Soal Lengkap)

Parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ memiliki titik puncak $(p,q)$. Jika $3p$ dan $q$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang memiliki jumlah $9$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.

Dari parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ mampu kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(m+2)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-4m-8}{4} \\
& =-\dfrac{-4-4m}{4} \\
& = 1+m
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(3)+( 1+m)+ \cdots &= 9 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 9 \\
\dfrac{3}{1- \dfrac{1+m}{3}} & = 9 \\
3 & = 9 \times \left( 1- \dfrac{1+m}{3} \right) \\
3 & = 9 - 3-3m \\
3-6 & = -3m \\
-3 & = -3m \\
1 & = m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$

8. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 (*Soal Lengkap)

Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ memiliki titik puncak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\dfrac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang memiliki jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.

Dari parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mampu kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\
& =-\dfrac{8-12m }{4} \\
& = 3m-2
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(2)+(\dfrac{3m-2}{4})+ \cdots &= 4 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 4 \\
\dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\
2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\
2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\
2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\
-4 & = - (3m-2) \\
4 & = 3m-2 \\
4+2 & = 3m \\
2 & = m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$

9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & \dfrac{5}{3} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal ini setidaknya ada beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, sedangkan untuk deret tak hingga kita hanya perlu jumlah deret tak hingga konvergen.

Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\
2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\
{}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\
a^{2} &= b \cdot b^{2} \\
a^{2} &= b^{3} \\
a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$

Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\
&= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{5}{3}$

10. Soal UM UGM 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)

Jika $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ yaitu tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ &-2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret geometri $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ mampu kita ambil kesimpulan;
$\begin{align}
\left( x-\dfrac{3}{2} \right)^{2} &= \left( x-1 \right)\left( x-\dfrac{7}{4} \right) \\
x^{2}-3x+\dfrac{9}{4} &= x^{2}-\dfrac{11}{4}x+\dfrac{7}{4} \\
-3x+ \dfrac{11}{4}x &= \dfrac{7}{4}- \dfrac{9}{4} \\
-\dfrac{1}{4}x &= - \dfrac{2}{4} \\
x &= 2
\end{align}$

Barisan geometri yang kita peroleh $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \cdots $
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 2$

11. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
$\begin{align}
(A)\ & x \leq \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \lt x \lt 3 \\
(C)\ & x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & x \geq 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \leq \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Suku-suku dari deret geometri yaitu ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$

Agar deret memiliki nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.

Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan

Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita mampu yaitu

• untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$
• untuk $3 \lt x$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$
• Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas yaitu $x \gt 3$

Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\
x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita mampu yaitu

• untuk $x \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$
• untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
  nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$
• Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas yaitu $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$

Nilai $x$ yang memenuhi dari kemungkinan pertama atau kedua yaitu $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$ atau $x \gt 3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$

12. Soal SPMB 2006 Kode 420 (*Soal Lengkap)

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ yaitu $S$. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi $1-r$, maka jumlahnya menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & S \left(1- \dfrac{1}{r} \right) \\
(B)\ & \dfrac{S}{r} \\
(C)\ & S \left( \dfrac{1}{r} + r \right) \\
(D)\ & \dfrac{S}{1-r} \\
(E)\ & S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ yaitu $S$.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
S &= \dfrac{a}{1-r} \\
S \cdot ( 1-r ) &= a
\end{align}$

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $1-r$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1-(1-r)} \\
&= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1- 1+r } \\
&= S \dfrac{ ( 1-r )}{r } \\
&= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- \dfrac{r}{r} \right) \\
&= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- 1 \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)$

13. Soal UM UGM 2005 Kode 812 (*Soal Lengkap)

$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $A$,
$B_{1}$ pada $BC$ sehingga $AB_{1}\perp BC$,
$A_{1}$ pada $AC$ sehingga $B_{1}A_{1} \perp AC$,
$B_{2}$ pada $BC$ sehingga $A_{1}B_{2} \perp BC$,
$A_{2}$ pada $AC$ sehingga $B_{2}A_{2} \perp AC$,
dan setrusnya. Jika $AB=6$ dan $BC=10$, maka jumlah luas $\bigtriangleup ABC$, $\bigtriangleup B_{1}AC$, $\bigtriangleup A_{1}B_{1}C$, $\bigtriangleup B_{2}A_{1}C$, $\bigtriangleup A_{2}B_{2}C$ dan seterusnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{600}{8} \\
(B)\ & \dfrac{600}{9} \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 50 \\
(E)\ & \dfrac{600}{16}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan $AB=6$ dan $BC=10$, memakai teorema pythagoras kita mampu menghitung $AC=8$.
$\begin{align}
[ABC] &= [ABC] \\
\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AB_{1} \\
\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot AB_{1} \\
24 &= 5 \cdot AB_{1} \\
\dfrac{24}{5} &= AB_{1}
\end{align}$
Dengan memakai teorema pythagoras kita juga mampu menghitung $BB_{1}=\dfrac{18}{5}$ dan $ B_{1}C=\dfrac{32}{5}$.
$\begin{align}
[B_{1}AC] &= \dfrac{1}{2} \cdot B_{1}C \cdot AB_{1} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{32}{5} \cdot \dfrac{24}{5} \\
&= 24 \cdot \dfrac{16}{25}
\end{align}$

Dengan cara yang sama menyerupai di atas mampu kita hitung $[A_{1}B_{1}C]=24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}$.

Hal yang sama juga untuk $[A_{1}B_{1}C]$, $[B_{2}A_{1}C]$ dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
$\begin{align}
& [ABC]+[B_{1}AC]+[A_{1}B_{1}C]+\cdots \\
&= 24+24 \cdot \dfrac{16}{25}+24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}+\cdots \\
&= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{24}{1-\dfrac{16}{25}} \\
&= \dfrac{24}{\dfrac{9}{25}} \\
&= 24 \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{600}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{600}{9}$

14. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)

Jika suku ke-$n$ suatu deret yaitu $u_{n}=2^{2x-n}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2^{2x-2} \\
(B)\ & 2^{2x-1} \\
(C)\ & 2^{2x} \\
(D)\ & 2^{2x+1} \\
(E)\ & 2^{2x+2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Karena $u_{n}=2^{2x-n}$ maka deret geometrinya adalah
$2^{2x-1},\ 2^{2x-2},\ 2^{2x-3},\ 2^{2x-4},\ \cdots$

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=2^{2x-1}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{2}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\
&= 2^{2x-1} \cdot 2^{1} \\
&= 2^{2x }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 2^{2x}$

15. Soal SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)

Jika $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$, maka jumlah deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 1\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{q}{p} \\
(E)\ & \dfrac{p}{q}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} &= 1 \\
\dfrac{p+q}{pq} &= 1 \\
p+q &= pq \\
q &= pq-p \\
q &= p(q-1) \\
\dfrac{q}{(q-1)} &= p
\end{align}$

Dari deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ kita peroleh $a=\dfrac{1}{p}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{q}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{1-\dfrac{1}{q}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\
&= \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{q}{q-1} \\
&= \dfrac{1}{p} \cdot p =1 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 1$

16. Soal SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ memiliki jumlah $2$, maka $a$ mempunyai...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt a \lt 0 \\
(B)\ & -4 \lt a \lt 0 \\
(C)\ & 0 \lt a \lt 2 \\
(D)\ & 0 \lt a \lt 4 \\
(E)\ & -4 \lt a \lt 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Deret geometri tak hingga dengan jumlah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{a}{1-r} \\
2(1-r) &= a \\
2-2r &= a \\
2r &= 2-a \\
r &= \dfrac{2-a}{2}
\end{align}$

Syarat deret geometri tak hingga memiliki jumlah $2$ yaitu batasan $-1 \lt r \lt 1$.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & \dfrac{2-a}{2} \lt 1 \\
-2 \lt & 2-a \lt 2 \\
-2 \lt & a-2 \lt 2 \\
-2+2 \lt & a-2+2 \lt 2+2 \\
0 \lt & a \lt 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 0 \lt a \lt 4$

17. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Seorang anak melompat di atas trampolin. Dalam sekali ayun, pantulan pertama setinggi $150$ cm. Tinggi pantulan berikutnya hanya $\dfrac{1}{4}$ tinggi sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga berhenti adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 450\ cm \\
(B)\ & 400\ cm \\
(C)\ & 350\ cm \\
(D)\ & 300\ cm \\
(E)\ & 250\ cm
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menghitung panjang lintasan lompatan anak hingga berhenti mampu dipakai konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=150$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.

Jika kita tuliskan keseluruhan lintasan yang di tempuh anak naik dan turun adalah:
$\begin{align}
& 150+150+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\dfrac{75}{8}+\cdots \\
&=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\
&=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\
\hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\
\hline
&=2 \left( \dfrac{150}{1-\dfrac{1}{4}} \right) \\
&=2 \left( \dfrac{150}{\dfrac{3}{4}} \right) \\
&=2 \left( 150 \times \dfrac{4}{3} \right) \\
&=2 \left( 200 \right) \\
&= 400
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 400\ cm$

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Seseorang berjalan dengan kecepatan $60\ km/jam$ selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang mampu ditempuh orang tersebut adalah...km.
$\begin{align}
(A)\ & 160 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 80 \\
(E)\ & 60
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menghitung jarak terjauh yang mampu ditempuh mampu dipakai konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=60$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.

Jika kita tuliskan lintasan yang di tempuh dari jam pertama, jam kedua dan seterusnya adalah:
$\begin{align}
& 60+\dfrac{60}{4}+\dfrac{60}{16}+\dfrac{60}{64}+\cdots \\
\hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\
\hline
&= \dfrac{60}{1-\dfrac{1}{4}} \\
&= \dfrac{60}{\dfrac{3}{4}} \\
&= 60 \times \dfrac{4}{3} \\
&= 80
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 80$

19. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Jumlah tak hingga dari deret $4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{3} \\
(B)\ & \dfrac{16}{3} \\
(C)\ & 13 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & \dfrac{65}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret $4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots$ tita peroleh $a=4$ dan $r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}=\dfrac{3}{4}$.

Jumlah deret geomtri tak hingga adalah;
$\begin{align}
S_{\infty } =\ & \dfrac{a}{1-r} \\
=\ & \dfrac{4}{1-\frac{3}{4}} \\
=\ & \dfrac{4}{ \frac{1}{4}} =\ 16
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 16$

20. Soal Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314 (*Soal Lengkap)

Diberikan deret geometri $1-(a+3)+(a+3)^{2}-(a+3)^{3}+\cdots=2a+9$ dengan $-4 \lt a \lt -2$. Jika $a,-7,b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -14 \\
(E)\ & -21
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita menentukan nilai $a$ dan $b$, kita coba menguji nilai $r$ apakah deret tersebut mampu kita terapkan aturan pada deret geometri takhinga.

$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & -(a+3) \lt 1 \\
-1 \lt & a+3 \lt 1 \\
-1-3 \lt & a \lt 1-3 \\
-4 \lt & a \lt -2 \\
\end{align}$
Batasan nilai $a$ yang harus dipenuhi semoga deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai $a$ pada soal yaitu $-4 \lt a \lt -2$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
2a+9 &= \dfrac{1}{-(a+3)} \\
-(2a+9)(a+3) &= 1 \\
-2a^{2}-6a-9a-27-1 &= 0 \\
2a^{2}+15a+28 &= 0 \\
(2a+7)(a+4) &= 0 \\
a &= -4\ (TM) \\
a &= -\dfrac{7}{2}
\end{align}$

Barisan $a,-7,b$ yaitu barisan geometri sehingga $-\dfrac{7}{2},-7,b$ sehingga menjadi $b=-14$. Nilai $2a+b=2 \left( -\dfrac{7}{2} \right) -14=-21$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -21$

Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan persoalan Matematika Dasar Menghitung Deret Geometri Tak Hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada

• lembar balasan penilaian harian matematika,
• lembar balasan penilaian tamat semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait persoalan alternatif penyelesaian soal Matematika Dasar Menghitung Deret Geometri Tak Hingga sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 yuk mengenal salah satu matematikawan Indonesia melalui video berikut;

Bagikan Artikel ini