Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan (Aturan Penjumlahan, Perkalian, Permutasi Dan Kombinasi))

Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas perihal Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan kita coba diskusikan ke beberapa bagian, mulai dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.

Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita sanggup memilih banyaknya jumlah pertandingan pada sebuha kompetisi penuh atau setengah kompetisi. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada kaidah pencacahan juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan simpel memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.

Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan perkalian dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini supaya bisa meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah. Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jikalau kita tidak sanggup mendapatkan cara berpikir yang sudah diberikan dalam merampungkan duduk dilema misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam menerangkan tanggapan yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.

Aturan Penjumlahan

Apabila program 1, program 2, hingga program ke-n ialah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan program 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, program 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan program ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak program tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.

Aturan Perkalian

Apabila program 1, program 2, hingga program ke-n ialah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan program 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, program 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan program ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak program tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.

Faktorial

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang dipakai sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ ialah bilangan asli dan $0!=1$.

Permutasi

Permutasi ialah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$.
$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

Permutasi Melingkar

Permutasi Melingkar ialah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$.
$P_{siklis}^{n}=(n-r)!$

Permutasi ada unsur yang sama

Permutasi ada unsur yang sama ialah suatu susunan dari $n$ elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama ialah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$

Kombinasi

Kombinasi ialah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

Teorema Binomial untuk bilangan bulat faktual $n$
$(a+b)^n=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$

Contoh-contoh dari apa yang disampaikan diatas sanggup kita lihat pada soal-soal berikut, dimana soal bersumber dari soal ujian sekolah, ujian nasional atau ujian masuk perguruan tinggi negeri/swasta. Mari kita simak teladan Soalnya😊

Mari kita simak teladan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi berikut 😊

1. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 705 \\
(C)\ & 672 \\
(D)\ & 48 \\
(E)\ & 15
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
$6 \times 5 \times 4 \times \cdots \times 1=6!=720$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan ialah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun ialah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
$3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2!=48$

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan ialah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu $720-48=672$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 672$

2. Soal SBMPTN 2017 Kode 241 (*Soal Lengkap)

Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima kawasan parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 42 \\
(B)\ & 52 \\
(C)\ & 62 \\
(D)\ & 72 \\
(E)\ & 82
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk 5 kendaraan beroda empat dengan posisi parkir bebas adalah:
$5 \times 4 \times 3 \times \cdots \times 1=5!=120$

Banyak susunan parkir untuk 5 kendaraan beroda empat dimana 2 kendaraan beroda empat truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua kendaraan beroda empat truk ialah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun ialah "empat" dan saat posisi truk berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! =48$

Banyak susunan parkir untuk 5 kendaraan beroda empat dimana 2 kendaraan beroda empat truk tidak berdekatan ialah banyak posisi parkir posisi bebas dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu $120-48=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 72$

3. Soal SBMPTN 2018 Kode 403 (*Soal Lengkap)

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara membuat barisan satu bersaf sengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \times 8! \\
(B)\ & 6 \times 8! \\
(C)\ & 7 \times 8! \\
(D)\ & 6 \times 7! \\
(E)\ & 7 \times 7!
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan baris untuk 9 orang dengan posisi bebas adalah:
$9 \times 8 \times 7 \times \cdots \times 1=9!$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana 2 orang Ari dan Ira harus berdekatan. Dengan menganggap Ari dan Ira ialah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun ialah "delapan" dan saat posisi Ari dan Ira berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah:
$8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1 \times 2=8! \times 2$

Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana Ari dan Ira tidak berdekatan ialah banyak susunan baris posisi bebas dikurang susunan baris dimana Ari dan Ira harus berdekatan yaitu:
$\begin{align}
9!-8! \times 2 = & 9 \times 8!-8! \times 2 \\
= & 8! \times (9-2) \\
= & 8! \times 7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7 \times 8!$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)

Tujuh finalis lomba menyayi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu perempuan berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 108 \\
(C)\ & 72 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 35
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan perempuan bergantian adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W & P \\
\hline
4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $4 \times 3 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 144$

Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan perempuan bergantian tetapi pria dan perempuan dari SMA "A" harus berurutan. Dengan menganggap pria dan perempuan dari SMA "A" ialah "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi sekarang ialah "tiga" kelompok. Kelompok pria (3 orang), kelompok perempuan (2 orang) dan kelompok SMA "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:
$3! \times 3! \times 2! \times 1!=6 \times 6 \times 2 \times 1 =72 $

Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih ibarat berikut ini:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W_{A} & P_{A} & W & P & W & P \\
\hline
3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $3 \times 1 \times 1 \times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P_{A} & W_{A} & P & W & P \\
\hline
3 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W_{A} & P_{A} & W & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P_{A} & W_{A} & P \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W_{A} & P_{A} \\
\hline
3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 12$

Total banyak susunan urutan dimana urutan pria dan perempuan bergantian tetapi pria dan perempuan dari SMA "A" harus berurutan ialah $6 \times 12=72$

Banyak susunan urutan tampil dimana finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan ialah $144-72=72$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 72$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan genap $n=abc$ dengan $3$ digit sehingga $3 \lt b \lt c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 64 \\
(E)\ & 72
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $0,1,2,\cdots,8,9$ dengan syarat $3 \lt b \lt c$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (4) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (5) & (6,8) \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $1 \times 1 \times 2 = 2$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (6) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $1 \times 1 \times 1 = 1$

$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1) & (7) & (8) \end{array} $
Banyak susunan urutan ialah $1 \times 1 \times 1 = 1$

Total bilangan genap $abc$ yang sanggup dibentuk dengan ratusan $1$ ialah $2+2+1+1=6$.
Karena untuk ratusan ($a$) angka yang mungkin ada $9$ yaitu $1,2,\cdots,8,9$ maka banyak bilangan genap $abc$ ialah $9 \times 6=54$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 54$

6. Soal SIMAK UI 2016 Kode 541 (*Soal Lengkap)

Banyak susunan karakter berbeda yang sanggup dibentuk dari semua karakter pada kata $SIMAKUI$ apabila karakter $I$ harus selalu berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 432 \\
(B)\ & 312 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 164 \\
(E)\ & 720
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Susunan karakter berbeda yang sanggup dibentuk dari semua karakter pada kata $SIMAKUI$ apabila karakter $I$ harus selalu berdekatan sanggup kita tentukan dengan menganggap "I" ialah "satu" sehingga banyak karakter yang kan disusun tinggal "enam".

Banyak susunan karakter ialah
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
II & S & M & A & K & U \\
\hline
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array} $
Banyak susunan ialah $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 720$, untuk dilema ini tidak kita kali $2!$ karena jikalau $II$ bertukar posisi balasannya ialah posisi yang sama.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 720$

7. Soal SIMAK UI 2015 Kode 568 (*Soal Lengkap)

Sebuah kantin menyediakan sebuah hidangan masakan penutup di setiap harinya, yaitu salah satu dari es krim, puding ata pancake. Khusus hari sabtu, hanya menyediakan es krim. Makanan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Banyaknya kemungkinan susunan hidangan masakan penutup dalam satu minggu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 128 \\
(C)\ & 216 \\
(D)\ & 729 \\
(E)\ & 2187
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Banyaknya kemungkinan susunan hidangan masakan antara es krim, puding atau pancake dengan syarat hari sabtu hanya menyediakan es krim dan masakan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan. Coba kita selesaikan dengan memeulai dari hal yang khsusus yaitu hari sabtu.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & * & 1 & * \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan masakan penutup pada hari sabtu hanya satu yaitu es krim.

Dari syarat yang di atas, untuk hari Jumat dan Minggu hanya ada $2$ kemungkinan pilihan masakan pentup.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
* & * & * & * & (2) & (1) & (2) \end{array} $

Jika kita teruskan apa yang sudah kita peroleh di atas, maka untuk hari berikutnya Kamis, Rabu, Selasa, Senin juga hanya ada $2$ pilahan masakan penutup karena masakan penutup yang sama tidak akan tersedia dalam dua hari berurutan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
Se & Se & Ra & Ka & Ju & Sa & Mi \\
\hline
(2) & (2) & (2) & (2) & (2) & (1) & (2) \end{array} $
Banyak kemungkinan pilihan masakan penutup ialah $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 2 = 64$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 64$

8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 207 (*Soal Lengkap)

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol. Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 64 \\
(B)\ & 85 \\
(C)\ & 450 \\
(D)\ & 425 \\
(E)\ & 324
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol yang akan disusun dari angka $0,1,2, \cdots 8, 9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(9) & (10) & (5) \end{array} $
Banyak nomor pegawai yang ganjil adalah: $9 \times 10 \times 5 = 450$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 450$

9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 209 (*Soal Lengkap)

Dari huruf-huruf $S, I, M, A, K$ akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Banyak kata-kata jikalau karakter vokal selalu berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 48 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 120 \\
(E)\ & 192
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan duduk dilema diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya dengan menganggap $I$ dan $A$ ialah "satu" unsur.

Banyak susunan $S, I, M, A, K$ untuk vokal selalu berdampingan. Dengan menganggap $I$ dan $A$ ialah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun ialah "empat" dan saat posisi $I$ dan $A$ berdekatan ada $2!$ susunan yang mungkin terjadi, sehingga banyak susunan kata adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2!=48$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 48$

10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)

Andi dan Budi pergi menonton konser musik di suatu stadion yang memiliki $8$ pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang sanggup mereka lakukan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 28 \\
(B)\ & 224 \\
(C)\ & 444 \\
(D)\ & 484 \\
(E)\ & 896
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diatas dikatakan bahwa Andi dan Budi masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $8$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $8$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $7$ pilihan untuk orang yang memilih belakangan.

$\begin{array}{c|c|cc}
masuk & keluar & keluar \\
\hline
(8) & (8) & (7) \end{array} $
Banyak cara ialah $8 \times 8 \times 7 = 448$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$

11. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil hingga dengan yang terbesar, nomor peserta $43137$ berada pada urutan ke-...
$(A)\ 40$
$(B)\ 42$
$(C)\ 44$
$(D)\ 85$
$(E)\ 86$

Alternatif Pembahasan: show

Dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil hingga yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $3$ di depan, angka berikutnya $1,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $41$ di depan, angka berikutnya $3,\ 3,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $43$ di depan, angka berikutnya $1$, $3$ dan $7$,

Kita sudah hingga pada susunan $43137$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$

12. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara $100$ dan $400$ yang sanggup disusun dari angka-angka $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ adalah...
$(A)\ 36$
$(B)\ 48$
$(C)\ 52$
$(D)\ 60$
$(E)\ 68$

Alternatif Pembahasan: show

Bilangan yang akan kita susun ialah bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda dintara $100$ dan $400$, berarti yang bisa menjadi ratusan hanya angka $1,\ 2,\ \text{dan}\ 3$.
Banyak angka jadi ratusan ada $3$,
Banyak angka jadi puluhan ada $4$,
Banyak angak jadi satuan ada $3$

Banyak bilangan adalah: $3 \times 4 \times 3=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 36$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Banyak cara menyusun $3$ bola merah dan $9$ bola hitam dalam bentuk bulat sehingga minimum ada $2$ bola hitam di antara $2$ bola merah yang berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 180 \times 8! \\
(B)\ & 240 \times 7! \\
(C)\ & 364 \times 6! \\
(D)\ & 282 \times 4! \\
(E)\ & 144 \times 5!
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Diharapkan ada minimum $2$ bola hitam diantara $2$ bola merah. Bola merah ada tiga sehingga diantaranya ada 3 kawasan yang harus diisi paling sedikit dua bola.

Untuk merampungkan soal diatas kita coba menyusun pada kemungkinan-kemungkina yang terjadi.
Pertama kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya ibarat gambar berikut;

Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi ialah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Kedua kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya ibarat gambar berikut;

Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi ialah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Ketiga kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya ibarat gambar berikut;

Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi ialah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keempat kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya ibarat gambar berikut;

Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi ialah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Kelima kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya ibarat gambar berikut;

Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi ialah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 3$$=8! \times 27$

Keenam kita susun Bola Hitam Secara Siklis, kemudian Bola Merah I, Bola Merah II dan Bola Merah III. Ilustrasinya ibarat gambar berikut;

Pada kemungkinan dari gambar diatas banyak susunan yang terjadi ialah $(9-1)! \times 9 \times 1 \times 4$$=8! \times 36$

Total banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{align}
& = 2 \times (8! \times 36 + 8! \times 27 +8! \times 27) \\
& = 2 \times (8! \times 90) \\
& = 8! \times 180
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 180 \times 8!$

14. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan ialah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...
$(A)\ 280\ \text{cara}$
$(B)\ 560\ \text{cara}$
$(C)\ 720\ \text{cara}$
$(D)\ 2.720\ \text{cara}$
$(E)\ 5.440\ \text{cara}$

Alternatif Pembahasan: show

Banyak boneka ialah ialah $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $5$ kuning.
Untuk menyusun boneka dengan syarat boneka kuning harus berdampingan, maka boneka kuning kita anggap "satu".
Banyak boneka yang akan disusun ialah $8$ terdiri dari $3$ boneka warna merah, $4$ biru, dan $'1'$ kuning.
Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
P_{(p,q,r)}^{n} & =\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!} \\
P_{(4,3,1)}^{8} & =\frac{8!}{4!\cdot 3! \cdot 1!} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& =\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{1} \\
& = 280\ (A)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A).\ 280$

15. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dari angka $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \text{dan}\ 4$ akan dibentuk bilangan tiga angka yang kurang dari $400$ dan tidak ada angka yang berulang. Banyak kemungkinan bilangan berbeda yang sanggup dibentuk adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Bilangan yang akan kita susun ialah bilangan tiga angka kurang dari $400$ dan tidak ada angka berulang.

$\begin{array}{c|c|cc}
ratusan & puluhan & satuan \\
(3,2,1) & (4,3,2,1,0) & (4,3,2,1,0) \\
\hline
3 & 4 & 3 \end{array} $
Banyak bilangan ialah $3 \times 4 \times 3=36$ bilangan.

$\therefore$ Jawaban yang sesuai ialah $36$

16. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari $10$ orang. Banyak cara yang sanggup dilakukan adalah...
$(A)\ 72$
$(B)\ 120$
$(C)\ 360$
$(D)\ 720$
$(E)\ 810$

Alternatif Pembahasan: show

Banyak pengurus yang mungkin terjadi ada dua kemungkinan,
Kemungkinan pertama jikalau boleh jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 10 & 10 \end{array} $
Banyak susunan pengurus ialah $10 \times 10 \times 10=1.000$ susunan.

Kemungkinan kedua jikalau dilarang jabatan rangkap;
$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
10 & 9 & 8 \end{array} $
Banyak susunan pengurus ialah $10 \times 9 \times 8=720$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 720$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Suatu SMA unggulan akan menyusun tim cerdas cermat yang beranggotakan $2$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA. Jika di SMA tersebut terdapat $4$ siswa IPS dan $5$ siswa IPA yang berprestasi, maka komposisi tim cerdas cermat sanggup di bentuk dengan...cara
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 30 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 90 \\
(E)\ & 360
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Susunan tim cerdas cermat SMA unggulan akan dipilih $2$ siswa IPS dari $4$ siswa IPS dan $3$ siswa IPA dari $5$ siswa IPA.

Banyak susunan adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{4} \cdot C_{3}^{5} \\
& = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \dfrac{5!}{3!(5-3)!} \\
& = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} \\
& = 6 \cdot 10 =60
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60 $

18. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Misalkan ada $2$ jalan dari kota A ke kota B, $4$ jalan dari kota A ke kota C, $2$ jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada $3$ jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B dan C, maka banyaknya cara yang sanggup ia tempuh adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 54 \\
(E)\ & 144
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jika kita ilustrasikan rute jalan ibarat apa yang disampaikan pada soal kurang lebih ibarat berikut ini;

banyak rute perjalan dari kota A ke kota D yang harus melalui kota B dan C sanggup ditempuh dengan dua cara yaitu:

• A-B-C-D, pada rute ini banyak rute perjalanan ialah $2 \cdot 2 \cdot 3 =12$
• A-C-B-D, pada rute ini banyak rute perjalanan ialah $4 \cdot 2 \cdot 3 =24$
• Total banyak rute ialah $12+24=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 36$

19. Soal SBMPTN 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)

Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil hingga dengan yang terbesar, maka kupon dengan isyarat $32124$ berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 40 \\
(B)\ & 39 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 24 \\
(E)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil hingga yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Jika angka $2$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 3,\ 4$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$

Jika angka $31$ di depan, angka berikutnya $2,\ 2,\ 4$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $32$ di depan, angka berikutnya $1$, $2$ dan $4$,

Kita sudah hingga pada susunan $32124$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$

20. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 (*Soal Lengkap)

Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka $1,\ 2,\ 2,\ 6,\ 8$. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil hingga dengan yang terbesar, maka kupon dengan isyarat lebih besar daripada $62000$ sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 19
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kode yang lebih besar dari $62000$ angka yang mungkin di depan adalah:
Jika angka $62$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 8$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{3}^{3}=\frac{3!}{(3-3)!}=6$

Jika angka $68$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$

Jika angka $8$ di depan, angka berikutnya $1,\ 2,\ 2,\ 6$, banyak kemungkinan susunan ialah memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$

Banyak isyarat yang lebih dari $62000$ ialah $6+3+12=21$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 21$

21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 (*Soal Lengkap)

Banyaknya bilangan ratusan kelipatan $5$ yang sanggup disusun dari digit $0,1,2,3,4,5$ dengan digit yang berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\
(B)\ & 30 \\
(C)\ & 32 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 40
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Bilangan ratusan kelipatan $5$, berarti bilangan yang terdiri dari tiga angka dan satuannya ialah $0$ atau $5$.

Untuk satuannya $0$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\
\hline
(5) & (4) & 0 \end{array} $
Banyak bilangan ialah ialah $4 \times 5 \times 1 = 20$

Untuk satuannya $5$, banyak bilangan yang mungkin;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\
\hline
(4) & (4) & 5 \end{array} $
Banyak bilangan ialah ialah $4 \times 4 \times 1 = 16$

total banyak bilangan ratusan kelipatan $5$ ialah $20+16=36$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 36$

22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Dari karakter $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ sanggup dibentuk $120$ "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIGMA" akan berada pada urutan ke-...
$\begin{align}
(A)\ & 105 \\
(B)\ & 106 \\
(C)\ & 110 \\
(D)\ & 111 \\
(E)\ & 112 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Banyak susunan kata merupakan belahan dari catatan calon guru perihal kaidah pencacahan.
Dari karakter $S,I,G,M, \text{dan}\ A$ akan disusun "kata" secara alfabetikal.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika karakter $A$ di depan, karakter berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan ialah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika karakter $G$ di depan, karakter berikutnya $S,\ I,\ A,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan ialah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika karakter $I$ di depan, karakter berikutnya $S,\ A,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan ialah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika karakter $M$ di depan, karakter berikutnya $S,\ I,\ G,\ \text{dan}\ A$,
banyak kemungkinan susunan ialah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

Jika karakter $SA$ di depan, karakter berikutnya $I,\ G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan ialah $3 \cdot 2 \cdot 1 =6$

Jika karakter $SIA$ di depan, karakter berikutnya $G,\ \text{dan}\ M$,
banyak kemungkinan susunan ialah $2 \cdot 1 =2$

Jika karakter $SIGA$ di depan, karakter berikutnya $M$,
banyak kemungkinan susunan ialah $1$

Kita sudah hingga pada susunan $SIGMA$, yang berada pada urutan ke-$24 \times 4 +6+2+1+1=106$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 106$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Banyak bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$ yang sanggup disusun dari angka-angka $0,1,2,\cdots,9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 132 \\
(B)\ & 136 \\
(C)\ & 140 \\
(D)\ & 141 \\
(E)\ & 144 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Banyak susunan bilangan merupakan belahan dari catatan calon guru perihal kaidah pencacahan.

Dari angka $0,1,2,3, \cdots, 9$ akan disusun bilangan terdiri dari $3$ angka berbeda dan habis dibagi $5$. Karena yang diinginkan adlah bilangan habis dibagi $5$, sehingga angak yang pertama disusun ialah dari satuan.

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (0) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin ialah $8 \times 9 \times 1 = 72$

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0, 1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin ialah $8 \times 8 \times 1 = 64$

Total banyak bilangan ialah $72+64=136$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 136$

Alternatif untuk satuannya $5$
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (0) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin ialah $8 \times 1 \times 1 = 8$

$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
(1,2,\cdots,9) & (1,2,\cdots,9) & (5) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin ialah $7 \times 8 \times 1 = 56$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Seorang siswa yang mengikuti ujian harus mengerjakan $7$ dari $10$ soal yang ada. Banyak cara siswa tersebut memilih soal yang akan dikerjakan...
$\begin{align}
(A)\ & 70 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 240 \\
(D)\ & 360 \\
(E)\ & 720 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menghitung banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan $7$ soal dari $10$ soal yang ada dan $7$ soal yang dikerjakan nomor soal ialah bebas, nomor berapa saja bisa sehingga nomor urutan soal tidak diperhatikan. Ini sanggup memakai catatan calon guru perihal konsep kombinasi.

$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! } \\
C_{7}^{10} & = \dfrac{10!}{7! \cdot (10-7)! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! } \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } \\
& = 10 \cdot 3 \cdot 4=120 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120$

25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menghitung $3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3}=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2}$ ini sanggup memakai catatan calon guru perihal aturan kombinasi dimana $C_{r}^{n} =_{n}\textrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)! }$.

$\begin{align}
3 \cdot _{n+1}\textrm{C}_{3} &=7 \cdot _{n}\textrm{C}_{2} \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{3! \cdot (n+1-3)! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1)(n-2)!}{2! \cdot (n-2)! } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1)(n)(n-1) }{3! } &=7 \cdot \dfrac{ (n)(n-1) }{2 } \\
3 \cdot \dfrac{(n+1) }{6 } &=7 \cdot \dfrac{ 1 }{2} \\
(n+1) &=7 \\
n &=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

26. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Dalam sebuah kantong terdapat $6$ bola hitam dan $4$ bola merah. Dari kantong tersebut akan diambil $5$ bola sekaligus. Banyak cara yang mungkin bila paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\
(B)\ & 120\ \text{cara} \\
(C)\ & 180\ \text{cara} \\
(D)\ & 186\ \text{cara} \\
(E)\ & 206\ \text{cara}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Banyak kemungkinan cara pengambilan $5$ bola sekaligus dari $10$ bola dimana bola yang diharapkan paling sedikit diambil $3$ bola berwarna hitam dari $6$ bola hitam ($H$) dan $4$ bola merah ($M$).

Secara kalimat yang cara yang mungkin terjadi ialah terpilih $5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.

Untuk menghitung banyak kemungkinan $5H$ dari $6H$, kita gunakan aturan combinasi:
Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(6,5)$ atau $C_{5}^{6}$ atau $_{6}C_{5}$ atau $\binom{6}{5}$.
$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
dimana $r \leq n$

Total banyak cara adalah:
$5H$ dari $6H$ dan $0M$ dari $4M$ atau $4H$ dari $6H$ dan $1M$ dari $4M$ atau $3H$ dari $6H$ dan $2M$ dari $4M$.
$\begin{align}
&=C(6,5) \cdot C(4,0) + C(6,4) \cdot C(4,1) + C(6,3) \cdot C(4,2) \\
&= \dfrac{6!}{5!(6-5)!} \cdot \dfrac{4!}{0!(4-0)!}+\dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{4!}{1!(4-1)!}+\dfrac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
&= 6 \cdot 1 + 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 \\
&= 6 + 60 + 120 \\
&= 186
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 186\ \text{cara}$

27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Bejo memiliki $8$ bola dengan warna yang sama. Ia ingin memasukkan bola tersebut ke dalam $3$ kotak. Kotak I sanggup menampung $2$ bola. Kotak II sanggup menampung $4$ bola. Kotak III sanggup menampung $2$ bola. Banyak cara Bejo memasukkan bola tersebut ke dalam kotak adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56 \text{cara} \\
(B)\ & 210 \text{cara} \\
(C)\ & 420 \text{cara} \\
(D)\ & 840 \text{cara} \\
(E)\ & 1.680 \text{cara}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Banyak kemungkinan cara Bejo memasukkan bola ke dalam $3$ kotak.

Karena urutan kotak tidak diatur sehingga urutan kotak tidak ada jadi masalah. Secara keseluruhan banyak cara memasukkan bola ke dalam kotak jikalau kita tuliskan dalam kalimat ialah akan dipilih $2$ bola dari $8$ bola untuk isi kotak I dan akan dipilih $4$ bola dari $8-2=6$ bola untuk isi kotak II dan akan dipilih $2$ bola dari $6-4=2$ bola untuk isi kotak III
$\begin{align}
&C(8,2) \cdot C(6,4) \cdot C(2,2) \\
&= \dfrac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \dfrac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(2-2)!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2!(6)!} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!(2)!} \cdot \dfrac{2!}{2!(0)!} \\
&= 28 \cdot 15 \cdot 1 \\
&= 420
\end{align}$

Alternatif penyelesaian, mungkin lebih sanggup dipahami, yaitu dengan memakai permutasi jikalau ada unsur yang sama, karena akan kita susun $8$ unsur kepada tiga kelompok yang terdiri dari $2$, $4$, dan $2$ kelompok yaitu:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{3}}^{n} &=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{3}!} &=\dfrac{8!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 4! \times 2!} \\
&=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 2!} \\
&=4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \\
&= 420
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 420 \text{cara}$

28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Sebuah penyedia layanan telepon seluler akan mengeluarkan produk gres dengan nomor kartu terdiri dari $12$ digit. Seorang pegawai mendapatkan peran menyusun nomor kartu dengan isyarat prefix (empat nomor awal dari identitas penyedia layanan telepon seluler) ialah $0844$ dan epat digit terakhir merupakan angka manis yaitu $1221$. Pegawai tersebut hanya diperbolehkan memakai angka $2,3,4,5,7,8,9$ untuk menyusun nomor kartu. Banyak nomor kartu yang sanggup dibentuk oleh pegawai tersebut adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Banyak nomor kartu ialah $12$ digit yaitu $0844-xxxx-1221$ sehingga pegawai kantor hanya akan menyusun $4$ angka yang belum diketahui, yang disusun dari $2,3,4,5,7,8,9$.

$\begin{array}{c|c|c|cc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
\hline
7 & 7 & 7 & 7
\end{array} $
Banyak nomor kartu yang sanggup dibentuk ialah ialah $7^{4}=2401$

$\therefore$ Jawaban yang sesuai $2.401$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan dibentuk bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Jika angka $5$ muncul dua kali, maka banyaknya bilangan yang terbentuk adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 240 \\
(B)\ & 120 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 30
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari angka $2,3,5,7,9$ akan disusun bilangan kelipatan $5$ yang terdiri dari $6$ digit. Untuk menyusun bilangan kelipatan $5$, maka kita mulai bekerja pada satuan. Karena angka $5$ boleh muncul dua kali dan angka lain hanya $1$ kali maka:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} & k_{4} & k_{5} & k_{6} \\
\hline
(1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (1) \end{array} $

• $k_{6}$ ada $1$ angka yang mungkin supaya balasannya bilangan kelipatan $5$ yaitu $5$
• $k_{1}$ ada $5$ angka yang mungkin yaitu $2,3,5,7,9$
• $k_{2}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena satu angka sudah dipakai pada satuan, sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
• $k_{3}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan puluhan, sehingga tinggal $3$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
• $k_{4}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena tiga angka sudah dipakai pada satuan, puluhan dan ratusan, sehingga tinggal $2$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$
• $k_{5}$ ada $5$ angka yang mungkin, tetapi karena empat angka sudah dipakai pada satuan, puluhan, ratusan dan ribuan, sehingga tinggal $1$ angka yang bisa dipakai dari $2,3,5,7,9$

Banyak kemungkinan bilangan ialah $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 1 = 120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 120$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari $500$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 72 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 16
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari angka $2,4,5,6,8,9$ akan dibentuk bilangan ganjil terdiri dari $3$ digit berbeda kurang dari $500$. Untuk menyusun bilangan ganjil kurang dari $500$, maka kita bekerja pada satuan dan ratusan sekaligus
$\begin{array}{c|c|cc}
k_{1} & k_{2} & k_{3} \\
\hline
(2) & (4) & (2) & \end{array} $

• $k_{1}$ ada $2$ angka yang mungkin supaya balasannya bilangan kurang dari $500$ yaitu $2$ dan $4$
• $k_{3}$ ada $2$ angka yang mungkin supaya balasannya bilangan ganjil yaitu $5,9$
• $k_{2}$ ada $6$ angka yang mungkin, tetapi karena dua angka sudah dipakai pada satuan dan ratusan sehingga tinggal $4$ angka yang bisa dipakai dari $2,4,5,6,8,9$

Banyak bilangan ialah $2 \times 4 \times 2= 16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 16$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Dari angka-angka $2,4,6,7,8$ akan dibentuk bilangan yang terdiri dari $6$ angka. Banyak bilangan yang sanggup dibentuk jikalau angka $6$ boleh muncul dua kali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 504 \\
(B)\ & 440 \\
(C)\ & 384 \\
(D)\ & 360 \\
(E)\ & 180
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari angka $2,4,6,7,8$ akan disusun bilangan terdiri dari $6$ angka dimana angka $6$ boleh muncul dua kali. Untuk menyusun bilangan ibarat yang diharapak kita sanggup memakai aturan permutasi jikalau ada unsur yang sama yaitu:
$P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$

Dari data pada soal kita peroleh masing-masing banyak angka yaitu $2=1$,$4=1$, $6=2$, $7=1$ ,$8=1$.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} &= \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P_{1,1,1,1,2}^{6} &= \dfrac{6!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\
&= \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} \\
&= 360
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 360$

32. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Dari sejumlah siswa yang terdiri dari $3$ siswa kelas $X$, $4$ siswa kelas $XI$, dan $5$ siswa kelas $XII$, akan dipilih pengurus OSIS yang terdri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris. Banyak cara untuk memilih pengurus OSIS adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{cara} \\
(B)\ & 15\ \text{cara} \\
(C)\ & 210\ \text{cara} \\
(D)\ & 234\ \text{cara} \\
(E)\ & 1.320\ \text{cara}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Materi pokok dari soal ini ialah Kaidah Pencacahan, sebagai pemanis soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Statistika Kaidah Pencacahan.

Banyak pengurus yang mungkin terjadi dengan syarat Kelas ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan sekretaris yaitu:

• Banyak kemungkinan yang jadi ketua hanya $5$ karena yang mungkin jadi ketua hanya kelas XII yang berjumlah $5$ siswa.
• Banyak kemungkinan yang jadi wakil ketua ada $7$ karena yang mungkin jadi wakil dan sekretaris hanya kelas X dan XI yang berjumlah $7$ siswa.
• Banyak kemungkinan yang jadi Sekretaris ada $6$ karena yang mungkin jadi wakil dan sekretaris hanya kelas X dan XI yang berjumlah $7-1=6$ siswa, dimana $1$ siswa kita anggap sudah menjadi wakil ketua.

$\begin{array}{c|c|cc}
Ketua & Sekretaris & Bendahara \\
\hline
5 & 7 & 6 \end{array} $

Banyak susunan pengurus ialah $5 \times 7 \times 6=210$ susunan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 210\ \text{cara}$

33. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Dalam pemilihan murid untuk lomba tari di suatu sekolah terdapat calon yang terdiri dari $4$ orang putri dan $3$ orang putra. Jika akan dipilih sepasang murid yang terdiri dari seorang putra dan seorang putri, banyak cara memilih pasangan ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 7\ \text{cara} \\
(B)\ & 12\ \text{cara} \\
(C)\ & 21\ \text{cara} \\
(D)\ & 42\ \text{cara} \\
(E)\ & 104\ \text{cara}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Materi pokok dari soal ini ialah Kaidah Pencacahan, sebagai pemanis soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Statistika Kaidah Pencacahan.

Dalam proses pemilihan ini tidak diperhatikan urutan karena baik putra atau putir yang lebih dulu dipilih tidak menjadi duduk dilema balasannya tetap satu pasang.

Banyak cara pemilihan pasangan yang mungkin terjadi jikalau dalam bahasa ialah akan dipilih $1$ putri dari $4$ putri $\left( C_{1}^{4} \right)$ dan akan dipilih $1$ putra dari $3$ putra $\left( C_{1}^{3} \right)$.

Secara matematik total banyak cara sanggup kita tuliskan $C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{3}=4 \cdot 3=12$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 12\ \text{cara}$

34. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Safira akan membuat alamat email baru. Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari sembilan karakter. Kata sandi dikatakan baik jikalau ia menggabungkan antara karakter dan angka. Safira akan memakai namanya pada enam karakter awal atau final secara berturut-turut. Kemudian ditambahkan tiga buah angka berbeda dari $0,1,2, \cdots ,9$ secara acak, misal SAFIRA123, SAFIRA321, 456SAFIRA, 046SAFIRA dan lain-lain. Banyak cara penyusunan kata sandi tersebut adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Banyak susunan password dimana SAFIRA di awal dan diikuti $3$ angka beda:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
SAFIRA & 10 & 9 & 8 \\
\end{array} $
Banyak susunan ialah $1 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8=720$

Banyak susunan sandi dimana $3$ angka beda di awal dan diikuti SAFIRA:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
10 & 9 & 8 & SAFIRA \\
\end{array} $
Banyak susunan ialah $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1=720$

Total banyak susunan sandi yang mungkin terjadi ialah $720+720=1.440$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $1.440$

35. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Terdapat sepuluh orang pergi ketempat wisata dengan mengendarai $3$ kendaraan beroda empat berkapasitas $4$ orang dan tiga orang di antaranya ialah pemilik mobil. Jika setiap kendaraan beroda empat dikemudikan oleh pemiliknya dan di setiap kendaraan beroda empat minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga kendaraan beroda empat tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1190 \\
(B)\ & 1050 \\
(C)\ & 840 \\
(D)\ & 700 \\
(E)\ & 560
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari $10$ orang tiga diantaranya ialah pemilik kendaraan beroda empat sekaligus yang akan membawa kendaraan beroda empat sehingga yang bebas ditempatkan ke kendaraan beroda empat ialah $7$ orang. Pembagian ketujuh orang tersebut pada ketiga kendaraan beroda empat ialah sebagai beikut:

• Dipilih $3$ orang dari $7$ orang ke kendaraan beroda empat A dan dipilih $3$ orang dari $4$ orang ke kendaraan beroda empat B dan dipilih $1$ orang dari $1$ orang ke kendaraan beroda empat C.
  Banyak susunan pada dilema ini ialah $C_{3}^{7} \cdot C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1}=35 \cdot 4 \cdot 1= 140$
• $C_{3}^{7} \cdot C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2}=35 \cdot 6 \cdot 1= 210$
• $C_{3}^{7} \cdot C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3}=35 \cdot 4 \cdot 1= 140$
• $C_{2}^{7} \cdot C_{3}^{5} \cdot C_{3}^{3}=21 \cdot 10 \cdot 1= 210$
• $C_{2}^{7} \cdot C_{2}^{5} \cdot C_{3}^{3}=21 \cdot 10 \cdot 1= 210$
• $C_{1}^{7} \cdot C_{3}^{6} \cdot C_{3}^{3}=7 \cdot 20 \cdot 1= 140$

Total banyak komposisi penempatan orang ke tiga kendaraan beroda empat ialah $140 \times 3 + 210 \times 3 =1050$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 1050$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi (*Soal dari Berbagai Sumber) di atas ialah coretan kreatif siswa pada

• lembar tanggapan penilaian harian matematika,
• lembar tanggapan penilaian final semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait duduk dilema alternatif penyelesaian soal Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Matematika sanggup mensugesti karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;

Bagikan Artikel ini