Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Bentuk Akar
Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas tentang Matematika Dasar Bentuk Akar. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang Eksponen, lantaran ialah sudah pasti nanti diskusi bentuk akar ini akan banyak berkaitan kepada eksponen. Keterkaitan antara Eksponen atau Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar, dan Logaritma mempunyai keterkaitan sangat erat, sehingga kita menyebutnya dengan istilah tiga serangkai dalam matematika.
Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin mampu jadi salah satu kasus dalam diskusi Matematika Dasar Bentuk Akar yang umumnya dilakukan di kelas.
Seperti apa tingkat kesulitan Matematika Dasar Bentuk Akar yang kita pilih dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional) atau soal-soal simulasi yang dilaksanakan di sekolah. Soal-soal dan pembahasan Matematika Dasar Bentuk Akar ini masih jauh dari sempurna, jadi jikalau ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.
Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Matematika Dasar Bentuk Akar berikut ini mungkin membantu dalam merampungkan kasus yang berkaitan dengan bentuk akar;
- $\sqrt{a}=a^{\dfrac{1}{2}}$
- $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\dfrac{m}{n}}$
- $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$
- $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
- $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
- $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
- $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
- $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
1. Soal SPMB 2006 Kode 510 (*Soal Lengkap)
Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$ maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -22 \\
(B)\ & -11 \\
(C)\ & -9 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 13
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} &=a+b\sqrt{30} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} \\
&=\dfrac{5+6-2\sqrt{30}}{5-6} \\
&=\dfrac{11-2\sqrt{30}}{5-6} \\
&=-11+2\sqrt{30}
\end{align}$
Nilai $a=-11$ dan $b=2$ maka $ab=-22$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -22$
2. Soal SIMAK UI 2015 Kode 567 (*Soal Lengkap)
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right ) \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \dfrac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right ) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right ) \\
(E)\ & \dfrac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )}
\end{align}$
$\dfrac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\dfrac{\sqrt{11 \cdot 13}+\sqrt{11 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 13}}{\sqrt{11}+\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\dfrac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{\sqrt{11} + \sqrt{13}+\sqrt{13} + \sqrt{15}}$
$=\dfrac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{(\sqrt{11} + \sqrt{13})+(\sqrt{13} + \sqrt{15})} \times \dfrac{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}$
$=\dfrac{\left( 13-11 \right )\left( 15 - 13 \right )}{2(\sqrt{15} - \sqrt{13})+2(\sqrt{13} - \sqrt{11})}$
$=\dfrac{4}{2\sqrt{15}-2\sqrt{11}}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}} \times \dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{\sqrt{15}+\sqrt{11}}$
$=\dfrac{2}{4} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$
$=\dfrac{1}{2} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$
3. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)
Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$;
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{10}+\sqrt{\dfrac{8}{100}}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{10}+\sqrt{4 \cdot \dfrac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{10}+2\sqrt{\dfrac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+2\sqrt{\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{2}{10}}}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{10}}+\sqrt{\dfrac{2}{10}}$
Nilai $a=\dfrac{1}{10}$ dan $b=\dfrac{2}{10}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{10}{1}+\dfrac{10}{2}=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 15$
4. Soal SPMB 2007 Kode 341 (*Soal Lengkap)
Jika dirasionalkan maka $1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(B)\ & -1-\sqrt{2} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(E)\ & 2+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Jika kita rasionalkan satu persatu, maka akan kita peroleh;
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{1-\sqrt{2}} &=\dfrac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{1+\sqrt{2}}{1-2} \\
&=\dfrac{1+\sqrt{2}}{-1} \\
&=-1-\sqrt{2} \\
\end{align}$
Soal: $1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}-1-\sqrt{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
5. Soal SIMAK UI 2009 Kode 912 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini dibutuhkan sedikit kreasi, yaitu dengan merasionalkan penyebut setiap suku;
- $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}$
- $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
- $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$ $\vdots$
- $\dfrac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}}=-\sqrt{62}+\sqrt{63}$
- $\dfrac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=-\sqrt{63}+\sqrt{64}$
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}$
$=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{63}-\sqrt{63}+\sqrt{64}$
$=-1+\sqrt{64}$
$=-1+8=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 7$
6. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)
$\dfrac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\dfrac{5}{1+\sqrt{6}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{6} \\
(B)\ & 1-\sqrt{6} \\
(C)\ & \sqrt{2}+\sqrt{3} \\
(D)\ & 4-\sqrt{6} \\
(E)\ & 5-2\sqrt{6}
\end{align}$
$\dfrac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\dfrac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\dfrac{\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{9 \cdot 2}+\sqrt{4 \cdot 3}}+\dfrac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}+\dfrac{5}{1+\sqrt{6}} \cdot \dfrac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}$
$=\dfrac{18+12-12\sqrt{6}}{18-12}+\dfrac{5(1-\sqrt{6})}{1-6}$
$=\dfrac{30-12\sqrt{6}}{6}+\dfrac{5(1-\sqrt{6})}{-5}$
$=5-2\sqrt{6}-1+\sqrt{6}$
$=4-\sqrt{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 4-\sqrt{6}$
7. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)
Jika $r=\dfrac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$, maka $(4r-2)^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Salah satu trik merampungkan kasus matematika ialah kerjakan apa yang mampu dikerjakan hingga ketemu apa yang diharapkan. Seperti soal diatas diketahui $r$ dengan bentuk yang belum sederhana, mungkin mampu kita sederhanakan terlebih dahulu;
$\begin{align}
r & =\dfrac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} \\
& =\dfrac{20\sqrt{2}-25}{20-10\sqrt{2}+40\sqrt{2}-40} \\
& =\dfrac{20\sqrt{2}-25}{30\sqrt{2}-20} \\
& =\dfrac{5(4\sqrt{2}-5)}{10(3\sqrt{2}-2)} \\
& =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2} \\
& =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2} \cdot \dfrac{3\sqrt{2}+2}{3\sqrt{2}+2} \\
& =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{24+8\sqrt{2}-15\sqrt{2}-10}{18-4} \\
& =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{14-7\sqrt{2}}{14} \\
& =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{14} (2-\sqrt{2}) \\
& =\dfrac{1}{4} (2-\sqrt{2})
\end{align}$
$\begin{align}
(4r-2)^{2} &=\left(4 \cdot \dfrac{1}{4} (2-\sqrt{2}) - 2 \right)^{2} \\
& =\left(2-\sqrt{2} - 2 \right)^{2} \\
& =\left(-\sqrt{2}\right)^{2} \\
& (4r-2)^{2}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 2$
8. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)
Jika $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2-\sqrt{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 2+\sqrt{2} \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
$\begin{align}
\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9} &=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \\
\sqrt[4]{a}+9^{\dfrac{1}{4}} &=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\
\sqrt[4]{a}+3^{\dfrac{1}{2}} &=2+\sqrt{3} \\
\sqrt[4]{a} &=2+\sqrt{3}-3^{\dfrac{1}{2}} \\
\sqrt[4]{a} &=2 \\
a &=2^{4}=16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 16$
9. Soal UM UNDIP 2010 Kode 102 (*Soal Lengkap)
Bentuk Sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{8}{5} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{16}{5} \\
(D)\ & \dfrac{8}{5} \\
(E)\ & 5\sqrt{41}
\end{align}$
$\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$
$=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4} \cdot \dfrac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}+4}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4} \cdot \dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}-4}}$
$=\sqrt{\dfrac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{41-16}}-\sqrt{\dfrac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{41-16}}$
$=\sqrt{\dfrac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{25}}-\sqrt{\dfrac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{25}}$
$=\dfrac{\sqrt{41}+4}{5}-\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}$
$=\dfrac{\sqrt{41}+4-\sqrt{41}+4}{5}$
$=\dfrac{8}{5}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{8}{5}$
10. Soal UM STIS 2017 (*Soal Lengkap)
$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & \sqrt{10} \\
(C)\ & 2\sqrt{2} \\
(D)\ & \sqrt{11} \\
(E)\ & 3\sqrt{2}
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini, kita coba usahakan bentuk akar $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ atau bentuk akar $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ setidaknya mirip dengan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$.
$\begin{align}
\sqrt{3-\sqrt{5}} &= \sqrt{3-2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\
&=\sqrt{\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}-2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\
&=\sqrt{\dfrac{5}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}
\end{align}$
$\begin{align}
\sqrt{3+\sqrt{5}} &= \sqrt{3+2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\
&= \sqrt{\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\
&= \sqrt{\dfrac{5}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}
\end{align}$
$\begin{align}
\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}} &=\sqrt{\dfrac{5}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{5}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
&=2\sqrt{\dfrac{5}{2}} \\
&=2\sqrt{\dfrac{10}{4}} \\
&=2 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{10} \\
&=\sqrt{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \sqrt{10}$
11. Soal UM UGM 2017 Kode 741 (*Soal Lengkap)
$\dfrac{5 \left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{3}}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}-\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{3}-2\sqrt{2} \\
(C)\ & 2\sqrt{2}-3\sqrt{3} \\
(D)\ & 3\sqrt{2}-2\sqrt{3} \\
(E)\ & 4\sqrt{2}-3\sqrt{3}
\end{align}$
$\begin{align}
& \dfrac{5 \left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{3}}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)} \\
& = \dfrac{5 \left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{2}}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)} \\
& = \dfrac{5 \left( 3-2 \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{2}}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)} \\
& = \dfrac{5 \left( 3+2-2\sqrt{6} \right)}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)} \\
& = \dfrac{25-10\sqrt{6}}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)} \times \dfrac{\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}{\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)} \\
& = \dfrac{50\sqrt{2}+25\sqrt{3}-20\sqrt{12}-10\sqrt{18}}{\left( 8-3 \right)} \\
& = \dfrac{50\sqrt{2}+25\sqrt{3}-40\sqrt{3}-30\sqrt{2}}{5} \\
& = \dfrac{20\sqrt{2}-15\sqrt{3}}{5} \\
& = 4\sqrt{2}-3\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 4\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
12. Soal SIMAK UI 2009 Kode 912 (*Soal Lengkap)
$\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 3+\sqrt{2} \\
(C)\ & \sqrt{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$;
$\begin{align}
\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2} & = \sqrt{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}-\sqrt{2} \\
& = \sqrt{2}+ \sqrt{1}-\sqrt{2} \\
& = 1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 1$
13. Soal UM UGM 2016 Kode 572 (*Soal Lengkap)
$\sqrt{\dfrac{8}{15}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
(C)\ & \sqrt{3} + \sqrt{5} \\
(D)\ & \sqrt{\dfrac{5}{3}- \sqrt{\dfrac{3}{5}}} \\
(E)\ & \sqrt{5} - \sqrt{3}
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$;
$\begin{align}
\sqrt{\dfrac{8}{15}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \dfrac{5}{15}+\dfrac{3}{15} \right)-2\sqrt{\left( \dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{3}{15} \right)}} \\
& = \sqrt{\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5} \right)-2\sqrt{\left( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} \right)}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{3}}- \sqrt{ \dfrac{1}{5}} \\
& = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}- \dfrac{1}{5}\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
14. SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)
Bilangan bulat kasatmata terkecil $n$ yang memenuhi pertidaksamaan $ \sqrt{n}-\sqrt{n-1} \lt 0,01 $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2499 \\
(B)\ & 2500 \\
(C)\ & 2501 \\
(D)\ & 10000 \\
(E)\ & \text{tidak ada bilangan bulat yang memenuhi}
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa $ \sqrt{n}-\sqrt{n-1} \lt 0,01 $ untuk $n$ bilangan bulat positif. Untuk merampungkan soal mampu kita melakukan ekplorasi hingga kepada informasi yang kita inginkan.
Dengan tidak merubah nilai, bentuk soal coba kita ubah menjadi;
$\begin{align}
\sqrt{n}-\sqrt{n-1} & \lt 0,01 \\
\sqrt{n}-\sqrt{n-1} & \lt \frac{1}{100} \\
100\sqrt{n}-100\sqrt{n-1} & \lt 1
\end{align}$
Eksplorasi:
$\begin{align}100\sqrt{n}-100\sqrt{n-1} & \lt 1 \\
100\sqrt{n} & \lt 1+100\sqrt{n-1} \\
\text{ruas kiri dan kanan}\ &\ \text{sama-sama dikuadratkan} \\
\left (100\sqrt{n} \right )^{2} & \lt \left (1+100\sqrt{n-1} \right )^{2} \\
10^{4}n & \lt 1+2\cdot 10^{2}\sqrt{n-1}+10^{4}\left ( n-1 \right ) \\
10^{4}n & \lt 1+2\cdot 10^{2}\sqrt{n-1}+10^{4}n-10^{4} \\
10^{4}n-10^{4}n+10^{4}-1 & \lt 2\cdot 10^{2}\sqrt{n-1} \\
10^{4}-1 & \lt 2\cdot 10^{2}\sqrt{n-1} \\
10^{4}-1 & \lt 200\sqrt{n-1} \\
9999 & \lt 200\sqrt{n-1} \\
200\sqrt{n-1} & \gt 9999
\end{align}$
Dari hasil eksplorasi ini mampu kita ambil beberapa kesimpulan yaitu nilai $n$ yang mengakibatkan $ 200\sqrt{n-1} \gt 9999 $ sangat banyak.
Nilai $n$ terkecil yang mengakibatkan $ 200\sqrt{n-1}>9999 $ kita peroleh dikala $ 200\sqrt{n-1} $ mendekati $ 9999 $.
Nilai $n$ yang mengakibatkan $ 200\sqrt{n-1} $ mendekati $ 9999 $ ialah dikala $ \sqrt{n-1}=50 $.
Sehingga kita peroleh persamaan selesai sebagai berikut;
$\begin{align}
\sqrt{n-1} &= 50 \\
\sqrt{n-1} &= \sqrt{2500} \\
n-1 & =2500 \\
n &=2501 \end{align}$
15. Soal UM UNDIP 2008 Kode 581 (*Soal Lengkap)
Bentuk Sederhana dari $\sqrt{9+\sqrt{17}}-\sqrt{9-\sqrt{17}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \sqrt{2} \\
(C)\ & \sqrt{3} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \sqrt{5}
\end{align}$
Kita misalkan nilai $\sqrt{9+\sqrt{17}}-\sqrt{9-\sqrt{17}}=k$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{9+\sqrt{17}}-\sqrt{9-\sqrt{17}} & = k^{2} \\
\left( \sqrt{9+\sqrt{17}}-\sqrt{9-\sqrt{17}} \right)^{2} & = k^{2} \\
9+\sqrt{17} + 9-\sqrt{17}-2 \left (\sqrt{9+\sqrt{17}} \right ) \left (\sqrt{9-\sqrt{17}} \right ) & = k^{2} \\
18-2\sqrt{81-17} & = k^{2} \\
18-2\sqrt{64} & = k^{2} \\
18-16 & = k^{2} \\
2 & = k^{2} \\
\pm\ \sqrt{2} & = k
\end{align}$
Karena $\sqrt{9+\sqrt{17}} \gt \sqrt{9-\sqrt{17}}$ maka hasil pengurangan ialah kasatmata sehingga $k= \sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \sqrt{2}$
16. Soal UM UNDIP 2008 Kode 581 (*Soal Lengkap)
Jika $\sqrt{7x^{2}-2x+432}+\sqrt{7x^{2}-2x-423}=285$, maka nilai $\sqrt{7x^{2}-2x+432}-\sqrt{7x^{2}-2x-423}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Jika kita misalkan nilai $\sqrt{7x^{2}-2x+432}-\sqrt{7x^{2}-2x-423}=k$ dan dengan menggunakan sifat $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{7x^{2}-2x+432}+\sqrt{7x^{2}-2x-423} & = 285 \\
\sqrt{7x^{2}-2x+432}-\sqrt{7x^{2}-2x-423} & = k \\
\hline
\left (7x^{2}-2x+432 \right )- \left (7x^{2}-2x-423 \right ) & = 285k \\
7x^{2}-2x+432 - 7x^{2}+2x+423 & = 285k \\
855 & = 285k \\
k & = \dfrac{855}{285} \\
k & =3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 3$
17. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}=m$; $\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}=n$ dan soal menjadi $p=m+n$.
$\begin{align}
(m+n)^{3} & = p^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = p^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = p^{3} \\
\hline
m^{3}+n^{3} & = 5+2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3} \\
& =10 \\
m \cdot n & = \sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} \cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt{13}} \\
& = \sqrt[3]{25-4 \cdot 13} \\
& = \sqrt[3]{-27}=-3 \\
\hline
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = p^{3} \\
10+3(-3)(p) & = p^{3} \\
p^{3}+9p-10 & = 0 \\
(p-1)(p^{2}+p+10) & = 0
\end{align}$
Nilai $p$ yang memenuhi ialah $p-1=0$ atau $p=1$ lantaran ialah nilai $p$ untuk $p^{2}+p+10=0$ ialah bilangan imajiner.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 1$
18. Soal UM UNDIP 2009 Kode 191 (*Soal Lengkap)
Bentuk sederhana dari $\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & a+b-\sqrt{ab} \\
(B)\ & a-b+\sqrt{ab} \\
(C)\ & a+b+\sqrt{ab} \\
(D)\ & a-b-\sqrt{ab} \\
(E)\ & -a-b-\sqrt{ab}
\end{align}$
$\begin{align}
&\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\
& = \dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \times \dfrac{ \sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \\
& = \dfrac{ a^{2}-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-b^{2} }{ a-b } \\
& = \dfrac{ a^{2}-b^{2}-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab} }{ a-b } \\
& = \dfrac{ \left ( a+b \right )\left (a-b \right )-\sqrt{ab} \left (a-b\ \right ) }{ a-b } \\
& = \dfrac{\left (a-b \right ) \left [\left ( a+b \right )-\sqrt{ab} \right ] }{ a-b } \\
& = \left ( a+b \right )-\sqrt{ab} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ a+b-\sqrt{ab} $
19. Soal SIMAK UI 2011 Kode 315 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 1,5 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=m$; $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=n$ dan soal menjadi $p=m+n$ lalu dikurangi dengan $3$.
$\begin{align}
(m+n)^{3} & = p^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = p^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = p^{3} \\
\hline
m^{3}+n^{3} & = 2+ \sqrt{5}+2- \sqrt{5} \\
& =4 \\
m \cdot n & = \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2- \sqrt{5}} \\
& = \sqrt[3]{4- 5} \\
& = \sqrt[3]{-1}=-1 \\
\hline
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = p^{3} \\
4+3(-1)(p) & = p^{3} \\
p^{3}+3p-4 & = 0 \\
(p-1)(p^{2}+p+4) & = 0
\end{align}$
Nilai $p$ yang memenuhi ialah $p-1=0$ atau $p=1$ lantaran ialah nilai $p$ untuk $p^{2}+p+4=0$ ialah bilangan imajiner.
Nilai $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3$ ialah $1-3=-2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -2$
20. Soal UM UNDIP 2016 Kode 515 (*Soal Lengkap)
Diberikan $a$ dan $b$ bilangan asli dengan $a \gt b$. Jika $\sqrt{95+2\sqrt{2016}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\
(B)\ & 29 \\
(C)\ & 31 \\
(D)\ & 32 \\
(E)\ & 35
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$;
$\begin{align}
\sqrt{95+2\sqrt{2016}} & = \sqrt{95+2\sqrt{2016}} \\
& = \sqrt{63+32+2\sqrt{63 \times 32}} \\
& = \sqrt{63}+ \sqrt{32} \\
a-b & = 63 - 32 \\
& = 31
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 31$
21. Soal SIMAK UI 2015 Kode 567 (*Soal Lengkap)
Diketahui $a,\ b,$ dan $c$ bilangan ral yang didefenisikan sebagai berikut.
$a=\sqrt{6 +\sqrt{ 6 + \sqrt{6 +\sqrt{\cdots}}}}$
$b=\sqrt{20 +\sqrt{ 20 + \sqrt{20 +\sqrt{\cdots}}}}$
Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{26} \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 2\sqrt{26} \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 26
\end{align}$
Dengan sumbangan sifat betnuk akar $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
a & = \sqrt{6 +\sqrt{ 6 + \sqrt{6 +\sqrt{\cdots}}}} \\
& = \sqrt{3 \cdot 2 +\sqrt{ 3 \cdot 2 + \sqrt{3 \cdot 2 +\sqrt{\cdots}}}} \\
& = 3 \\
b & = \sqrt{20 +\sqrt{ 20 + \sqrt{20 +\sqrt{\cdots}}}} \\
& = \sqrt{5 \cdot 4 +\sqrt{ 5 \cdot 4 + \sqrt{5 \cdot 4 +\sqrt{\cdots}}}} \\
& = 5 \\
a+b & = 3+5 \\
& = 8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 8$
22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Penyederhanaan dari bentuk $\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Catatan calon guru tentang bentuk akar yang mungkin membantu yaitu;
- $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right) \times \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(a+\sqrt{b} \right) \times \left(a-\sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left(\sqrt{a}+b \right) \times \left(\sqrt{a}-b \right)=a-b^{2}$
$\begin{align}
\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3-2} \\
&=2\sqrt{3}+2\sqrt{2} \\
\hline
\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} &=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\
&= 2+\sqrt{3} \\
\hline
\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}} &=\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{3}} {\sqrt{8}+\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{8}+5\sqrt{3}}{8- 3} \\
&=\sqrt{8}+\sqrt{3}= 2\sqrt{2}+\sqrt{3}\\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}} \\
& = 2\sqrt{3}+\sqrt{2} - \left(2+\sqrt{3} \right) - \left(\sqrt{8}+\sqrt{3} \right) \\
& = 2\sqrt{3}+2\sqrt{2} - 2-\sqrt{3} - 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \\
& = -2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ -2$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 3\sqrt{2} \\
(E)\ & 2\sqrt{3}
\end{align}$
Catatan calon guru tentang bentuk akar yang mungkin membantu yaitu;
- $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a \cdot b}}=\sqrt{a} + \sqrt{b}$
$\begin{align}
\sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} \\
&= 3\sqrt{5} \\
\hline
\sqrt{18} &= \sqrt{9 \cdot 2} \\
&= 3\sqrt{2} \\
\hline
\sqrt{7+2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}} \\
&= \sqrt{5}+ \sqrt{2} \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}} & = \dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3 \left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right) }{\sqrt{5}+ \sqrt{2}} \\
& = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 3$
24. Soal Latihan Matematika Saintek UTBK
Nilai dari $\sqrt{4 +\sqrt{ 16 + \sqrt{64 +\sqrt{\cdots}}}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Untuk merampungkan soal ini, kita mampu gunakan hasil eksplorasi identitas bilangan berpangkat berikut:
$\begin{align}
\left(2^{n}+x \right)^{2} &= 4^{n}+x\left(2^{n+1}+x \right) \\
2^{n}+x &= \sqrt{4^{n}+x\left(2^{n+1}+x \right)} \\
\hline
& \text{untuk}\ n=n+1 \\
\hline
2^{n+1}+x &= \sqrt{4^{n+1}+x\left(2^{n+2}+x \right)} \\
\hline
& \text{untuk}\ n=n+2 \\
\hline
2^{n+2}+x &= \sqrt{4^{n+2}+x\left(2^{n+3}+x \right)} \\
\end{align}$
Dari kedua identitas di atas, mampu kita simpulkan bahwa:
$\begin{align}
2^{n}+x &= \sqrt{4^{n}+x\left(\underline{2^{n+1}+x} \right)} \\
&= \sqrt{4^{n}+x\left(\sqrt{4^{n+1}+x\left(\underline{2^{n+2}+x} \right)} \right)} \\
&= \sqrt{4^{n}+x\left(\sqrt{4^{n+1}+x\left(\sqrt{4^{n+2}+x\left(\underline{2^{n+3}+x} \right)} \right)} \right)} \\
&= \sqrt{4^{n}+x\left(\sqrt{4^{n+1}+x\left(\sqrt{4^{n+2}+x\left(\sqrt{4^{n+3}+x\left(\sqrt{\cdots} \right)} \right)} \right)} \right)} \\
\hline
& \text{untuk}\ n=1\ \text{dan}\ x=1\\
\hline
2^{1}+1 &= \sqrt{4^{1}+1\left(\sqrt{4^{1+1}+1\left(\sqrt{4^{1+2}+1\left(\sqrt{4^{1+3}+1\left(\sqrt{\cdots} \right)} \right)} \right)} \right)} \\
3 &= \sqrt{4 + \left(\sqrt{4^{2}+ \left(\sqrt{4^{3}+ \left(\sqrt{4^{4}+ \left(\sqrt{\cdots} \right)} \right)} \right)} \right)} \\
3 &= \sqrt{4 + \sqrt{16+ \sqrt{64+ \sqrt{256+ \sqrt{\cdots} } } } } \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 3$
Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian selesai semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
Belum ada Komentar untuk "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Bentuk Akar"
Posting Komentar