Mengenal Identitas Trigonometri Dasar
Perbandingan Trigonometri mempunyai kesamaan dengan kita, salah satunya ialah mempunyai identitas. Perbandingan trigonometri untuk berikutnya hanya kita sebut dengan trigonometri sehingga identitas perbandingan trigonometri kita sebut dengan "Identitas Trigonometri".
Identitas trigonometri bentuknya sangat banyak, dari bentuk yang sederhana sampai yang sangat indah. Bentuk-bentuk identitas trigonometri itu berasal dari sumber yang sama, hanya saja banyak orang-orang kreatif sehingga bentuk identitas trigonometri terlihat lebih indah dari bentuk sebelumnya.
Mari kita coba diskusikan bentuk identitas trigonometri dasar,
Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, kita misalkan panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, dan $AB=c$. Untuk sudutnya kita pakai sudut $ABC$ kita misalkan besarnya sebesar $ \beta $.
Deskripsi diatas dalam gambar mampu kita ilustrasikan sebagai berikut;
Dari segitiga diatas berdasarkan defenisi perbandingan trigonometri kita peroleh;
$ BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$
$ a^{2}+b^{2}=c^{2}$
Jika kedua ruas persamaan diatas sama-sama kita bagikan dengan $ c^{2}$ maka akan kita peroleh persamaan:
$ \frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}$
$ \left (\frac{a}{c} \right )^{2}+\left (\frac{b}{c} \right )^{2}=1$
$ \left (cos\ \beta \right )^{2}+\left (sin\ \beta \right )^{2}=1$
$ cos^{2} \beta+sin^{2} \beta=1$
Kesimpulan:
$ \frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}$
$ 1+\left (\frac{b}{a} \right )^{2}=\left (\frac{c}{a} \right )^{2}$
$ 1+\left (tan\ \beta \right )^{2}=\left (sec\ \beta \right )^{2}$
$ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$
Kesimpulan:
$ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=\frac{c^{2}}{b^{2}}$
$ \left (\frac{a}{b} \right )^{2}+1=\left (\frac{c}{b} \right )^{2}$
$ \left (cotan\ \beta \right )^{2}+1=\left (cosec\ \beta \right )^{2}$
$ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$
Kesimpulan:
Bentuk identitas trigonometri dasar diataslah yang dimodifikasi sehingga soal identitas trigonometri itu menjadi masalah. Berikut satu soal latihan yang menggunakan identitas trigonometri dasar, yang diambil dari soal Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2009 (*Soal Lengkap).
Sebelum melihat alternatif penyelesaian dibawah ini, coba Anda selesaikan sendiri terlebih dahulu;
Anda punya alternatif penyelesaian yang lain atau sesuatu hal ingin ditanyakan, mari berbagi dan diskusi.
Punya anak atau saudara yang duduk di kursi SD atau SMP, coba berikan permainan tangram siapa tahu dia suka. Hasil kreativitas anak dari permainan tangram mampu diliha pada video berikut;
Identitas trigonometri bentuknya sangat banyak, dari bentuk yang sederhana sampai yang sangat indah. Bentuk-bentuk identitas trigonometri itu berasal dari sumber yang sama, hanya saja banyak orang-orang kreatif sehingga bentuk identitas trigonometri terlihat lebih indah dari bentuk sebelumnya.
Mari kita coba diskusikan bentuk identitas trigonometri dasar,
Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, kita misalkan panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, dan $AB=c$. Untuk sudutnya kita pakai sudut $ABC$ kita misalkan besarnya sebesar $ \beta $.
Deskripsi diatas dalam gambar mampu kita ilustrasikan sebagai berikut;
- $ sin\ \beta= \frac{b}{c} $
- $ cos\ \beta= \frac{a}{c} $
- $ tan\ \beta= \frac{b}{a} $
- $ cosec\ \beta= \frac{c}{b} $
- $ sec\ \beta= \frac{c}{a} $
- $ cotan\ \beta= \frac{a}{b} $
- $ \frac{1}{sin\ \beta}={\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}}=cosec\ \beta$ atau $ \frac{1}{sin\ \beta}=cosec\ \beta $
- $ \frac{1}{cos\ \beta}={\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{c}{a}}=sec\ \beta$ atau $ \frac{1}{cos\ \beta}=sec\ \beta $
- $ \frac{1}{tan\ \beta}={\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}}=cotan\ \beta$ atau $ \frac{1}{cotan\ \beta}=tan\ \beta $
- $ \frac{sin\ \beta}{cos\ \beta}={\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}}=tan\ \beta$ atau $ \frac{cos\ \beta}{sin\ \beta}=cotan\ \beta$
$ BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$
$ a^{2}+b^{2}=c^{2}$
Jika kedua ruas persamaan diatas sama-sama kita bagikan dengan $ c^{2}$ maka akan kita peroleh persamaan:
$ \frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}$
$ \left (\frac{a}{c} \right )^{2}+\left (\frac{b}{c} \right )^{2}=1$
$ \left (cos\ \beta \right )^{2}+\left (sin\ \beta \right )^{2}=1$
$ cos^{2} \beta+sin^{2} \beta=1$
Kesimpulan:
Bentuk diatas mampu dipakai kebentuk yang lain, misalnya:
- $ sin^{2} \beta+cos^{2} \beta=1$
- $ sin^{2} \beta=1-cos^{2} \beta $
- $ cos^{2} \beta=1-sin^{2} \beta $
- $ sin^{2} A+cos^{2} A=1 $
- $ sin^{2} 355^{\circ}+cos^{2} 355^{\circ}=1 $
- $ sin^{2} p+cos^{2} p=1 $
$ \frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}$
$ 1+\left (\frac{b}{a} \right )^{2}=\left (\frac{c}{a} \right )^{2}$
$ 1+\left (tan\ \beta \right )^{2}=\left (sec\ \beta \right )^{2}$
$ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$
Kesimpulan:
Berikutnya identitas trigonometri akan kita mampu jika persamaan $ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ kita bagi dengan $ b^{2}$, persamaan yang kita peroleh adalah;
- $ 1+tan^{2} \beta=sec^{2} \beta$
- $ tan^{2} \beta=sec^{2} \beta-1$
- $ 1=sec^{2} \beta-tan^{2} \beta$
$ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=\frac{c^{2}}{b^{2}}$
$ \left (\frac{a}{b} \right )^{2}+1=\left (\frac{c}{b} \right )^{2}$
$ \left (cotan\ \beta \right )^{2}+1=\left (cosec\ \beta \right )^{2}$
$ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$
Kesimpulan:
- $ cotan^{2} \beta+1=cosec^{2} \beta$
- $ 1=cosec^{2} \beta-cotan^{2} \beta $
- $ cotan^{2} \beta=cosec^{2} \beta-1$
Bentuk identitas trigonometri dasar diataslah yang dimodifikasi sehingga soal identitas trigonometri itu menjadi masalah. Berikut satu soal latihan yang menggunakan identitas trigonometri dasar, yang diambil dari soal Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2009 (*Soal Lengkap).
Alternatif Pembahasan:
Dari soal ada beberapa data yang mampu kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.
Berikutnya diketahui $ tan\ A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{sin\ A}{p-q}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$
Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$ \left (p-q \right )^{2}=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}-2pq=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+2pqA$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+sin^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=1$
Jawaban yang diinginkan pada soal ialah $1\ (E)$
Anda punya alternatif penyelesaian yang lain atau sesuatu hal ingin ditanyakan, mari berbagi dan diskusi.
Punya anak atau saudara yang duduk di kursi SD atau SMP, coba berikan permainan tangram siapa tahu dia suka. Hasil kreativitas anak dari permainan tangram mampu diliha pada video berikut;
Belum ada Komentar untuk "Mengenal Identitas Trigonometri Dasar"
Posting Komentar