Matematika Dasar: Cara Gampang Berguru Determinan Dan Invers Matriks

Matematika dasar yang coba kita edit-edit yakni ihwal determinan matriks dan invers matriks. Setelah kita mampu menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan matriks maka determinan dan invers matriks ini menjadi syarat perlu untuk kita mengenal lebih jauh ihwal matriks.

DETERMINAN MATRIKS

Salah satu penerapan determinan matriks yakni untuk merampungkan sistem persamaan linear dua variabel atau tiga variabel. Determinan matriks merepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus.

Penulisan Determinan matriks $A$ mampu ditulis $"det(A)"$ atau $"|A|"$.

DETERMINAN MATRIKS $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $

$det(A)$ = $|A|$ = $ a \times d - b\times c $

Contoh:
$ A = \left( \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right)$ dan

$ |A| = 4 \times 5 - 3 \times 2 $
$ |A| = 20 - 6 $
$ |A| = 14 $

DETERMINAN MATRIKS $ 3 \times 3 $ Cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ mampu menggunakan cara Sarrus, mari kita coba edit-edit caranya;
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $

determinan matriks $A$ adalah:

Catatan : Metode Sarrus hanya mampu digunakan untuk matriks $ 3 \times 3$ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, mampu mengggunakan Metode Kofaktor. Metode kofaktor ini mampu digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi.

Contoh:
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
$ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $

DETERMINAN MATRIKS $ 3 \times 3 $ Metode Kofaktor
Untuk mampu menghitung determinan matriks dengan menggunakan metode kofaktor, kita harus mengenal sub matriks atau minor sebuah matriks.

Pengertian minor suatu matriks
Minor suatu matriks $A$ yang dilambangkan dengan $ M_{ij}$ yakni matriks cuilan dari $A$ yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-$i$ dan elemen-elemen pada kolom ke-$j$.

Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $

Adapun Minor matriks $A$ pada baris satu:

 $ M_{11}, \, M_{12} , \, $ dan $ M_{13} \, $ merupakan submatriks $(minor)$ hasil perluasan baris ke-1 dari matriks $A$.

Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks $A$ dilambangkan dengan $k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $ . Bentuk $|M_{ij}| $ menyatakan determinan dari minor $ M_{ij} $ .
Untuk menentukan nilai determinan matriks $A$ dengan metode kofaktor cukup mengambil satu perluasan saja, misalkan perluasan baris ke-1.

Determinan matriks A berdasarkan perluasan baris ke-1
$ |A| = a_{11}. k_{11} + a_{12}.k_{12} + a_{13}.k_{13} $

$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . |M_{11}| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . |M_{12}| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . |M_{13}| $

$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{12}.(-1)^{(1+2)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +$$ a_{13}.(-1)^{(1+3)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

$ |A| = a_{11}.(-1)^{2} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{12}.(-1)^{3} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +$$ a_{13}.(-1)^{4} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

$ |A| = a_{11}.1. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{12}.(-1) . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{13}.1 . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

$ |A| = a_{11}. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| - a_{12}. \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

Catatan: menentukan determinan dengan metode kofaktor mampu menggukanan sembarang ekspansi, misalkan perluasan baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau mampu juga menggunakan perluasan kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.

Contoh:
Tentukan determinan matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $

Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan perluasan baris ke-1

Menentukan minor baris ke-1

Menentukan kofaktor perluasan baris ke-1
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)}. |M_{11}| = (-1)^2. 12 = 12 $

$ k_{12} = (-1)^{(1+2)}. |M_{12}| = (-1)^3. (-4) = (-1).(-4) = 4 $

$ k_{13} = (-1)^{(1+3)}. |M_{13}| = (-1)^4. (-3) = -3 $

Menentukan determinan perluasan baris ke-1
$\begin{align}
|B| & = b_{11}.k_{11} + b_{12}.k_{12} + b_{13}.k_{13} \\
& = 2.12 + 1.4 + 3.(-3) \\
& = 24 + 4 + (-9) \\
& = 19
\end{align} $

Jadi determinan matriks $B$ yakni $19$.

Sifat-sifat Determinan Matriks

Misalkan ada matriks $A$, $B$, dan $C$ yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :

1. $ |A^t| = |A| $
2. $ |A.B| = |A| . |B| $
3. $ |A^n| = |A|^n $
4. $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5. $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $

Untuk sifat nomor 2, mampu juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.

Contoh:
1). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $

Tentukan nilai dari
a). $ |A| \, $ dan $ |B| $
b). $ |A^t| $
c). $ |A.B| $
d). $ |A^5| $
e). $ |A^{-1}| $
f). $ |3A| $

Penyelesaian: Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan

a). $ |A| = 4.3 - 2.5 = 12 - 10 = 2 \, $ dan $ |B| = (-2).1 - (-1).(-3) = -2 - 3 = -5 $

b). untuk menentukan nilai $ |A^t| \, $ kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
Sehingga $ |A^t| = |A| = 2 $

c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian $ AB \, $ lalu mencari determinannya.
Sehingga $ |A.B| = |A|.|B| = 2 . (-5) = -10 $

d). Kita tidak perlu mencari nilai $ A^5$, langsung menggunakan sifat nomor 3.
Sehingga $ |A^5| = |A|^5 = 2^5 = 32 $

e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai $ A^{-1}$ [inversnya].
Sehingga $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} $

f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
Sehingga $ |3A_{2 \times 2}| = 3^2 . |A| = 9 . 2 = 18 $



2). Suatu matriks A berordo $ 3 \times 3 \, $ memiliki nilai determinan $5$, tentukan nilai determinan $2A$?
Penyelesaian:
Berdasarkan sifat nomor 5,

$ |2A| = |2A_{3 \times 3} | = 2^3 . |A| = 8 . 5 = 40 $

Jadi, determinan matriks $2A$ yakni $40$.

3). Dari persamaan matriks berikut
$ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $

tentukan nilai determinan matriks $A$?

Penyelesaian :
Untuk merampungkan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu lantaran yakni akan sulit dan butuh waktu
yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2 dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.

$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
\left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \right| \\
\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| . \left|A \right| .\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right|.\left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\
(4.3-2.5).(1.3-2.2).|A|.(2.6-2.1) & = (4.10-0.2).(0.3-3.1) \\
(12-10).(3-4).|A|.(12-2) & = (40 - 0).(0 - 3) \\
2.(-1).|A|.(10) & = (40).(- 3) \\
(-20).|A| & = -120 \\
|A| & = \frac{-120}{-20} = 6
\end{align} $

Jadi, nilai determinan matriks A yakni $6$.

Invers Matriks

Invers suatu matriks dilambangkan $ A^{-1}$, $ A^{-1}$ melambangkan invers dari matriks $A$. Secara umum hanya matriks persegi yang memiliki invers. Berikut penjelasannya ihwal invers.

Invers matriks $ 2 \times 2 $

Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $

$det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $

invers matriks $A$ yakni $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

Contoh:
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $

Penyelesaian:
Determinan matriks $A$
$ |A| = 3.1 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $

Invers matriks $A$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = -1 \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $

Jadi, invers matriks $A$ yakni $ A ^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $

Invers matriks $ 3 \times 3$ dengan metode kofaktor

Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks $A$ adalah
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $

$adj(A)$ artinya adjoin dari matriks $A$ yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.

Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $

dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $

maka adjoin matriks A yakni $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.

Catatan :
Rumus invers matriks A yakni $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $, dari rumus ini diperoleh:

• Jika $ |A| = 0$ [determinan$ = 0$], maka matriks tidak punya invers [disebut matriks singular]
• Jika $ |A| \neq 0 $ [determinan $ \neq 0$], maka matriks memiliki invers [disebut matriks non singular]

Contoh:
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right)$

Penyelesaian:
Menentukan determinan matriks $A$
$ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right)$
Menentukan Minor matriks $A$

Menentukan matriks kofaktornya:
$ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $

$ k_{11} = (-1)^{(1+1)} . |M_{11}| = (-1)^2 . (-1) = -1 $

$ k_{12} = (-1)^{(1+2)} . |M_{12}| = (-1)^3 . (-1) = 1 $

$ k_{13} = (-1)^{(1+3)} . |M_{13}| = (-1)^4 . (-6) = -6 $

$ k_{21} = (-1)^{(2+1)} . |M_{21}| = (-1)^3 . (1) = -1 $

$ k_{22} = (-1)^{(2+2)} . |M_{22}| = (-1)^4 . (-8) = -8 $

$ k_{23} = (-1)^{(2+3)} . |M_{23}| = (-1)^5 . (-12) = 12 $

$ k_{31} = (-1)^{(3+1)} . |M_{31}| = (-1)^4 . (-2) = -2 $

$ k_{32} = (-1)^{(3+2)} . |M_{32}| = (-1)^5 . (-2) = 2 $

$ k_{33} = (-1)^{(3+3)} . |M_{33}| = (-1)^6 . (-3) = -3 $

Sehingga matriks kofaktornya:
$K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right)$
$K = \left( \begin{matrix} -1 & 1 & -6 \\ -1 & -8 & 12 \\ -2 & 2 & -3 \end{matrix} \right)$

Menentukan adjoin matriks $A$
$adj(A) = K^t = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $

invers matriks $A$
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $

$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{-1}{9} & \frac{8}{9} & \frac{-2}{9} \\ \frac{6}{9} & \frac{-12}{9} & \frac{3}{9} \end{matrix} \right) $

Sifat-sifat Invers Matriks

Misalkan ada matriks $A$, $B$, dan $C$ yang memiliki invers serta $I$ yakni matriks identitas. Berikut beberapa sifat-sifat invers:

1. $ (A^{-1})^{-1} = A $
2. $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
3. $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
4. $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
5. $ AB = C \, \text{ maka } \, \left\{ \begin{array}{c} A = C.B^{-1} \\ B = A^{-1} . C \end{array} \right. $

Contoh :
1). Dari persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, $ tentukan matriks X yang berordo $ 2 \times 2$?

Penyelesaian:
Untuk merampungkan soal ini kita menggunakan sifat nomor 5 pada sifat-sifat invers yaitu $ AB = C \rightarrow B = A^{-1} \cdot C $
langsung kita gunakan sifat nomor 5.

$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan invers)} \\
X & = \frac{1}{4.3 - 2.5} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan perkalian)} \\
X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \\
X & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Jadi, diperoleh mariks $ X = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) $

2). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B^{-1} = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) \, , $ tentukan nilai $ (A^{-1}. B)^{-1} $

Penyelesaian:
Kita menggunakan sifat nomor 1 dan nomor 4 pada sifat-sifat invers
$ \begin{align}
(A^{-1}. B)^{-1} & = (B)^{-1} . (A^{-1})^{-1} \, \, \, \, \text{(sifat nomor 4)} \\
& = (B)^{-1} . A \, \, \, \, \text{(sifat nomor 1)} \\
& = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Jadi, diperoleh hasil $ (A^{-1}. B)^{-1} = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) $

Determinan matriks dan Invers matriks yang sudah kita edit-edit diatas masih tergolong sangat sederhana. Untuk lebih memantapkan lagi pengetahuan kita ihwal matriksnya dan penerapannya ada baiknya kita tetap melatih diri dengan mencoba merampungkan masalah-masalah yang berkaitan dengan matriks. Mungkin duduk duduk masalah matriks dari soal-soal SBMPTN yang sudah lewat mampu jadi modal dasar untuk lebih mengenal matriks. [Konsep Matematika]

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Bagikan Artikel ini