Matematika Dasar: Berguru Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian Matriks

Operasi aljabar pada matriks antara lain penjumlahan matriks, pengurangan matriks, perkalian bilangan real dengan sebuah matriks dan perkalian dua matriks.

Mari kita coba diskusikan dasar-dasar pada operasi hitung matriks ini. Seperti yang disampaikan pada pengenalan matriks sebelumnya bahwa dalam mempelajari matriks, kita harus teliti. Karena kalau salah satu unsur saja maka akan menjadikan kesalahan pada komponen yang lainnya maka akan memaksa kita untuk melakukan penghitungan ulang, dan tentu itu akan sangat membutuhkan waktu yang tidak sedikit.

Operasi hitung pada matriks tidaklah sulit, hanya butuh ketelitian ekstra dalam perhitungannya. Dari semua operasi hitung yang akan kita diskusikan, operasi perkalian dua matriks yang memerlukan energi lebih besar daripada operasi hitung lainnya. Karena kita akan mengkombinasikan operasi perkalian dan penjumlahan. Tapi itu bukan sebuah problem yang berarti, dengan banyak berlatih melakukan perkalian dua matriks, maka kita pasti akan terbiasa dalam elakukan operasi perhitungan dua matriks atau lebih.

Pada Operasi hitung matriks, kenapa tidak ada pembagian? ini terjadi sebab adalah pada perkalian matriks tidak berlaku bersifat komutatif [*Jika sifat komutatif berlaku hanya untuk matriks khusus].

Semisalkan bentuk $ \frac{A}{B} = \frac{1}{B} \times A \neq A \times \frac{1}{B}$.
Dari bentuk inilah maka operasi hitung pembagian pada matriks tidak ada. Yang ada nantinya adalah bentuk invers dari matriks dikalikan dengan matriks bukan inversnya.

Penjulahan Dua Matriks

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $ b_{ij} $.

Jika matriks $C$ adalah jumlah matriks $A$ dengan matriks $B$, ditulis $C = A + B$,
matriks $C$ juga berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ [untuk semua $i$ dan $j$].

Sifat-sifat penjumlahan pada matriks

• Komutatif: $A + B = B + A$
• Assosiatif: $(A + B) + C = A + (B + C)$
• penjumlahan berulang: $ kA = \underbrace{A + A + A + ... + A}_{\text{sebanyak } k} $

Pengurangan dua matriks

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $b_{ij}$.

Jika matriks $C$ adalah pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$, ditulis $C = A - B$,
matriks $C$ juga berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh: $ c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$ [untuk semua $i$ dan $j$].

Catatan:
Dua matriks mampu dijumlahkan atau dikurangkan kalau dan hanya kalau memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

Untuk lebih memahami maksud dari teori di atas, langsung saja kita simak contoh-contoh berikut:

Contoh 1:
Diketahui matriks -matriks berikut:
$A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right)$
$B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) $
$C = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right)$
$D = \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari:
a). $ A + B$
b). $ A - B$
c). $ A + C$
d). $ C + D$

Alternatif Pembahasan: show

a). $ A + B $
$ \begin{align}
A + B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 + 5 & -1 + 2 & 3 + (-1) \\ 1 + 2 & 4 + 1 & (-2) + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ A - B $
$ \begin{align}
A - B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 - 5 & -1 - 2 & 3 - (-1) \\ 1 - 2 & 4 - 1 & (-2) - 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 & -3 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ A + C $
Operasi hitung $ A + C$ tidak mampu dilakukan sebab adalah ordonya berbeda.

d). $ C + D $
$ \begin{align}
C + D & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3 + x & 2 + (-1) \\ (-1) + 2 & 6 + (y + 3) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} x + 3 & 1 \\ 1 & y + 9 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks

Perklaian suatu bilangan real dengan sebuah matriks serng juga disebutkan perkalian skalar.

Misalkan $A$ adalah suatu matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $ k$ adalah suatu bilangan real. Matriks $C$ adalah hasil perkalian bilangan real $ k$ terhadap matriks $A$, dinotasikan: $ C = k.A$ kalau matriks $C$ berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemennya ditentukan oleh: $ c_{ij} = k.a_{ij} $ [untuk semua $ i$ dan $ j$].

Contoh 2:
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right)$,
$ B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $.

Tentukan hasil dari :
a). $ 3A $
b). $ -2B $
c). $ A + 3B $
d). $ 2A - 3B $

Alternatif Pembahasan: show

a). $ 3A $
$ \begin{align}
3A & = 3\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3.2 & 3.(-1) \\ 3.1 & 3.4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 3 & 12 \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ -2B $
$ \begin{align}
-2 B & = -2 \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -2.5 & -2.2 \\ -2.2 & -2.1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -10 & -4 \\ -4 & -2 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ A + 3B $
$ \begin{align}
A + 3B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 + 15 & -1 + 6 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 17 & 5 \\ 7 & 7 \end{matrix} \right)
\end{align} $

d). $ 2A - 3B $
$ \begin{align}
2A - 3B & = 2\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 4 - 15 & -2 - 2 \\ 2 - 2 & 8 - 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -11 & -4 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Perkalian Dua Matriks

Jika $C$ adalah matriks hasil perkalian matriks $A_{m \times n} $ dan matriks $B_{n \times p}$, dinotasikan $C = A \times B$, maka:

• Matriks $C$ berordo $ m \times p$.
• Elemen-elemen matriks $C$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, dinotasikan $c_{ij}$, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-$i$ matriks A dan elemen kolom ke-$j$ matriks B, kemudian dijumlahkan.
• Dinotasikan $ c_{ij} = a_{i1}.b_{1j} + a_{i2}.b_{2j} + a_{i3}.b_{3j} + ... + a_{in}.b_{nj} $

Catatan :

• Pada perkalian dua matriks $ AB $ alhasil belum tentu sama dengan $ BA $
• Dua matriks mampu dikalikan kalau dan hanya kalau banyak kolom matriks pertama [*disebelah kiri] sama dengan banyak baris matriks kedua [*disebelah kanan].

Sifat-sifat perkalian pada matriks

• Assosiatif: $(A \times B) \times C = A \times (B \times C) $
• Distributif: $ A \times (B+C) = A \times B + A \times C $
• Pangkat: $ A^n = \underbrace{A \times A \times A \times ... \times A}_{n \text{ faktor}}$

Contoh 3:
Diketahui matriks -matriks berikut:
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
$ B = \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right)$
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right)$
$ D = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right)$

$ P = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right)$
$ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) $

Tentukan hasil dari :
a). $ AB$
b). $ CD$
c). $ DC$
d). $ PQ$
e). $ PC$

Alternatif Pembahasan: show

a). $ AB $
$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ CD $
$ \begin{align}
CD & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 1.5+2.7 & 1.6+2.8 \\ 3.5 + 4.7 & 3.6 + 4.8 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5+14 & 6+16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ DC $
$ \begin{align}
DC & = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5.1+6.3 & 5.2+6.4 \\ 7.1 + 8.3 & 7.2 + 8.4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5+18 & 10+24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 23 & 24 \\ 31 & 46 \end{matrix} \right)
\end{align} $

terlihat bahwa hasil $ CD \neq DC $

d). $ PQ $
$ \begin{align}
PQ & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1.1 + 3.(-3) + 2.6 & -1.2 + 3.5 + 2.(-2) \\ 1.1 + 1. (-3) + 1.6 & 1.2 + 1. 5 + 1.(-2) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1 + (-9) + 12 & -2 + 15 + (-4) \\ 1 + (-3) + 6 & 2 + 5 + (-2) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right)
\end{align} $

e). $ PC $
operasi $ PC $ tidak mampu dihitung sebab adalah tidak memenuhi syarat ordonya, adalah banyak kolom matriks $ P $ [$3$ kolom] tidak sama dengan banyak baris matriks $ C $ [ada 2 baris].

Diskusi sederhana ihwal operasi hitung matriks diatas masih tergolong sangat sederhana. Tetapi apa yang kita diskusikan di atas sudah mampu menjadi modal kita untuk menaiki anak tangga berikutnya untuk lebih mengenal dunia matriks. Jika tertarik untuk mencoba menjawab soal-soal masuk perguruan tinggi tinggi negeri ihwal matriks, apa yang disampaikan di atas mungkin belum cukup.

Dengan menambah frekuensi latihan dan berlatih operasi hitung pada matriks, maka teman-teman pasti akan mampu untuk melahap semua soal-soal yang berkaitan dengan operasi hitung matriks mirip operasi penjumlahan, pengurangan, kali skalar, dan kali dua matriks. [Konsep Matematika]

Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Bagikan Artikel ini