Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)
Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas perihal Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial. Sebelumnya kita sudah mengenal istilah dalam matematika yaitu matematika dasar persamaan kuadrat, lantaran yakni persamaan kuadrat yakni pecahan dari suku banyak, jadi dikala kita berguru persamaan kuadrat, kita sudah berguru perihal suku banyak.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada suku banyak juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan praktis memahami soal-soal suku banyak dan menemukan solusinya.
Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) yakni pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:
- $n$ yakni bilangan cacah dan $a\neq 0$
- $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
- Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.
Nilai Suku Banyak
Nilai suku banyak $f(x)$ berderajat $n$ pada dikala $x=k$ yakni $f(k)$Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama dikala derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya yakni sama.Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak mampu dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diksusikan pada diskusi tersendiri, jadi dikala ini pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.Teorema Sisa
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya yakni $s=f(a)$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya yakni $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
Teorema Faktor
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ memiliki faktor $(x-a)$, maka $f(a)=0$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ memiliki faktor $(ax-b)$, $f \left(\dfrac{b}{a} \right)=0$.
Secara umum bentuk suku banyak suatu $f(x)$ jikalau dibagi $P(x)$ dan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ mampu dituliskan: $f(x)=P(x) \cdot H(x) + S(x)$
- Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)+f(a)$
- Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
Teorema Vieta - Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak
(*François Viète yakni pakar matematika kurun ke-16 kebangsaan Perancis). Persamaan suku banyak yang memiliki akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ yakni akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini yakni sebagai berikut.- $f(x)=ax^{2}+bx+c$, akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
- $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
- $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
- $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
1. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)
Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ yakni $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk merampungkan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali perihal teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$
Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$\begin{align}
x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 & = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
\end{align}$
Untuk $x=1$
$\begin{align}
1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\
1-A+B-1 & = -1+B \\
-A+B & = -1+B \\
A & = 1
\end{align}$
Untuk $x=-1$
$\begin{align}
(-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\
-1+A-B-1 & = 1+B \\
A-B & = 1+B \\
1-B & = 1+B \\
B & = 0
\end{align}$
Nilai $2A+B=2(1)+0=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
2. Soal UM UNDIP 2015 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
$(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
$(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
$(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
Untuk merampungkan soal diatas, kita coba menggunakan teoerma sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas mampu kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:
#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \\
f(b) = bm+n & (-)\\
\hline
f(a) -f(b) = am-bm & \\
f(a) -f(b) = (a -b)m & \\
\dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
\end{array} $
#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \times b\\
f(b) = bm+n & \times a\\
\hline
b \cdot f(a) = abm+bn & \\
a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\
\hline
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\
\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
\end{array} $
Sisa Pembagian yakni $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\
& =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
3. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing menunjukkan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$,
maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ menunjukkan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$
Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$
Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.
$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.
Sisa pembagian yakni $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
4. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)
Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ yakni $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ yakni $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{24} \\
(B)\ & \dfrac{18}{24} \\
(C)\ & -\dfrac{21}{25} \\
(D)\ & -\dfrac{48}{25} \\
(E)\ & -\dfrac{50}{36}
\end{align}$
Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$
$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$
Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\
2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\
\hline
f(1)-2g(1) = 4 & \\
4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\
\hline
5f(1) = 8 &\\
f(1) = \dfrac{8}{5} & \\
g(1) = -\dfrac{6}{5}
\end{array} $
Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$
5. Soal UN 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$
Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$
Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 7 & \\
-a+b = 5 & (+)\\
\hline
2b = 12 & \\
b = 6 & \\
a = 1 &
\end{array} $
Nilai $2a+b=2+6=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$
6. Soal UN 2007 (*Soal Lengkap)
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jikalau dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2x+8 \\
(B)\ & -2x+12 \\
(C)\ & -x+4 \\
(D)\ & -5x+5 \\
(E)\ & -5x+15
\end{align}$
Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang mampu kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$
Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$
$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$
Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$
$mx+n \equiv -2x+8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$
7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
dikala $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
dikala $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$ \begin{align}
f(1) & = f(1) \\
a+b & = 2b+a-1 \\
b & = 1 \\
-2a+b & = 7 \\
-2a+1 & = 7 \\
-2a & = 6 \\
a & = -3 \\
a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\
& = 10
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(B)\ 10$
8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
dikala $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
dikala $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
f(3)+f(-2) & = 6 \\
3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\
4a-8b & = 8 \\
a-2b & = 2 \cdots (1)\\
f(-1) & = f(-1) \\
-3b+a-2 & = -a-2b \\
-b+2a & = 2 \cdots (2)\\
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
a-2b = 2 & \\
-b+2a = 2 & (-)\\
\hline
-a-b = 0 & \\
a+b = 0
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(B)\ 0$
9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)
Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -5\sqrt{2} \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 5\sqrt{2} \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, ibarat berikut ini;
$\begin{align}
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\
x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
\end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\
&= -\dfrac{10}{1} \\
&= -10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ -10 $
10. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2 \\
(B)\ & 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4 \\
(C)\ & 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2 \\
(D)\ & 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21 \\
(E)\ & 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16
\end{align}$
Pembagian suku banyak di atas kita coba bagikan dengan pembagian bersusun kebawah;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$
11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jikalau dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1 \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3} \\
(D)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;
Teorema Sisa
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya yakni $s=f(a)$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya yakni $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\
f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\
10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\
6 &= 3a +2b \\
\hline
f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\
2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\
-2 &= -12a +14b
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-12a+14b = -2 & (\times 1) \\
3a+2b = 6 & (\times 4) \\
\hline
-12a+14b = -2 & \\
12a+8b = 24 & (+) \\
\hline
22b = 22 & \\
b = 1 & 3a+2b = 6 \\
& 3a+2(1) = 6 \\
& a = \dfrac{4}{3}
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$
12. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Agar $(-a +b)x=0$ maka $-a+b=0$ atau $b=a$.
Karena $P(x)$ habis dibagi $x+a$
$ \begin{align}
P(x) & = ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
P(-a) & = a(-a)^{3}+(-a)^{2}+b(-a)+1 \\
0 & = -a^{4}+a^{2}+(a)(-a)+1 \\
0 & = -a^{4}+a^{2}-a^{2}+1 \\
a^{4} & = 1 \\
a & = \pm 1 \\
b & = \pm 1 \\
ab & = 1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 1$
13. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Agar $(-a +b)x=0$ maka $-a+b=0$ sehingga berlaku $b=a$.
Karena $P(x)$ dibagi $x-4$ bersisa $51$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\
f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+(a)(4)-a \\
51 & = 64a -16a +4a-a \\
51 & = 51a \\
a & = 1 \\
b & = 1 \\
a+b & = 2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(E)\ 2$
14. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
b-2a & = 0 \\
b & = 2a \\
\hline
\dfrac{b}{2a} & = \dfrac{2a}{2a} \\
& = 1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 1$
15. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
P(x) & \equiv \left( k \right)\left(x^{2}+2\right) \left(x+b \right) \\
ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a & \equiv kx^{3}+kbx^{2}+2kx+2bk
\end{align} $
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
bx^{2} \equiv kbx^{2} & \rightarrow b=kb \rightarrow k=1 \\
ax^{3} \equiv kx^{3} & \rightarrow a=k \rightarrow a=1 \\
-a \equiv 2bk & \rightarrow -a=2bk \rightarrow -1=2b \\
\hline
ab & = (1) \cdot -\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
16. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 15 \\
(B)\ & 13 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -13 \\
(E)\ & -15
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
10x+4bx-4b-22 & \equiv -2x+a \\
(10 +4b)x-4b-22 & \equiv -2x+a \\
\hline
10+4b & \equiv -2 \rightarrow b=-3 \\
-4b-22 & \equiv a \rightarrow a=-10 \\
a+b & = -13
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ -13$
17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ yakni faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
f(x) &= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\
f(a) &= a(a)^{3}+(a+b)(a)^{2}-b(a)+a+b \\
2 &= a(a)^{3}+(0)(a)^{2}-b(a)+0 \\
2 &= a(a)^{3}-(-a)(a)+0 \\
0 &= a^{4}+a^{2}-2 \\
0 &= \left(a^{2}+2 \right)\left(a^{2}-1 \right) \\
0 &= \left(a^{2}+2 \right)\left(a-1 \right)\left(a+1 \right) \\
\hline
a =1 & \rightarrow b=-1 \\
a =-1 & \rightarrow b=+1 \\
a+b & = -1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(B)\ -1$
18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Agar $(b-a-2)x+b-3=0$, maka $ b-a-2 =0$ dan $b-3=$ sehingga berlaku $b=3$ atau $b-a-2 =0 \rightarrow a=1$. Nilai $a+b=4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 4$
19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)
Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ yakni suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jikalau dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 35 \\
(E)\ & 45
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\
P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
-a+b = 10 & \\
a+b = 20 & (+) \\
\hline
2b = 30 & \\
b = 15 & \\
a = 5
\end{array} $
Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(2) &= 2a+ b \\
P(2) &= 2(5)+ (15)=25
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 25$
20. Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)
Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan yakni Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.
$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(a) & = 1 \\
(a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\
(a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & (a+1)=0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & a = -1
\end{align} $
$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$ \begin{align}
f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\
f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\
& = 1-1-2 \\
& = -2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(E)\ -2$
21. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ memiliki sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\
& = -2-p -q +6 \\
& = 4-p -q
\end{align} $
Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\
& = -2+3+4-1 \\
& = 4
\end{align} $
Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
$ \begin{align}
4-p-q & = 4 \\
-p-q & = 4-4 \\
-p-q & = 0 \\
p+q & = 0
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 0$
22. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ jikalau dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ jikalau dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2007 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 2007
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(2007) & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c
\end{align} $
Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(-2007) & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\
a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\
2007c & = -2007c \\
2007c+2007c & = 0 \\
4014c & = 0 \\
c & = 0
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 0$
23. Soal SNMPTN 2008 (*Soal Lengkap)
Nilai $m+n$ yang mengakibatkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{4}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
-ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\
\left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\
-m +2 & = 0 \\
m & = 2 \\
\hline
na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}+a^{4} & = 0 \\
\left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\
n & = -1 \\
\hline
m+n & = 2-1 \\
m+n & = 1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(B)\ 1$
24. Soal SNMPTN 2009 (*Soal Lengkap)
Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ yakni $x-1$. Faktor yang lain adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+3x+3 \\
(B)\ & x^{2}+x-3 \\
(C)\ & x^{2}+3x-3 \\
(D)\ & x^{2}+2x+3 \\
(E)\ & x^{2}-7x+3
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Faktor suku banyak $f(x)$ yakni $(x-a)$ maka $f(a)=0$
$ \begin{align}
(1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\
1+k +1-3 & = 0 \\
k-1 & = 0 \\
k & = 1
\end{align} $
Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ x^{2}+2x+3$
25. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ yakni suku banyak yang bersisa $a$ dikala dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ dikala dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
g(1) & = 0 \\
a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\
a -b +a-b & = 0 \\
2a -2b & = 0 \\
a & = b
\end{align} $
Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ dikala dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ dikala dibagi $g(x)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\
f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\
f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\
a & = 3a +a^{2}+1 \\
0 & = a^{2}+2a+1 \\
0 & = (a+1)(a+1) \\
a & = -1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ -1$
26. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ jikalau dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ jikalau dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ jikalau dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ jikalau dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ jikalau dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-2 \\
(B)\ & 3x-2 \\
(C)\ & 3x+2 \\
(D)\ & 4x+2 \\
(E)\ & 5x-2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
f(-1) & = -2 \\
f(2) & = 3
\end{align} $
Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ jikalau dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ jikalau dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(-1) & = 3 \\
g(2) & = 2
\end{align} $
Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ jikalau dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\
\hline
f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\
(-2) \cdot (3) & =-m+n \\
-6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\
\hline
f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\
(3) \cdot (2) & =2m+n \\
6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-m+n = -6 & \\
2m+n = 6 & (-) \\
\hline
-3m = -12 & \\
m = 4 \\
n = -2
\end{array} $
Sisa pembagian yakni $mx+n \equiv 4x-2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ 4x-2$
27. Soal SNMPTN 2018 (*Soal Lengkap)
Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ yakni $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -9 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -6 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
p(1) & = -17 \\
-17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\
-17 & = 1-a -2b -4a-4 \\
-14 & = -5a-2b \\
14 & = 5a +2b
\end{align} $
Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan menggunakan metode horner-kino kurang lebih ibarat berikut ini:
$ \begin{align}
-3a-4 & = -5a+2 \\
-3a+5a & = 4+2 \\
2a & = 6 \\
a & = 3 \\
\hline
5a +2b &= 14 \\
5(3) +2b &= 14 \\
2b & = 14-15 \\
b & = -\dfrac{1}{2} \\
\hline
4ab & = 4 \cdot 3 \cdot -\dfrac{1}{2} \\
& = -6
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ -6$
28. Soal SNMPTN 2013 (*Soal Lengkap)
Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\
(1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\
1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\
a + b &= 0 \\
a & = -b
\end{align} $
Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga mampu kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.
Dengan menggunakan metode horner-kino jikalau $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih ibarat berikut ini:
$ \begin{align}
-2a-b-8 & = 0 \\
-2(-b)-b-8 & = 0 \\
2b-b-8 & = 0 \\
b & = 8
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ 8$
29. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\
P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\
P(1) \cdot 4 &= 8 \\
P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\
\end{align} $
Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(D)\ 2$
30. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing menunjukkan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ menunjukkan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\
\hline
P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\
2 &= n \\
\hline
P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\
2 &= 2m+n \\
2 &= 2m+2 \\
2-2 &= 2m \\
0 &= m \\
\end{align} $
Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yakni $(E)\ 2$
31. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)
Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $ dibagi oleh $x^{2}-1$ yakni $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Catatan calon guru perihal Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\
P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\
\hline
P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\
P(1) &= 1 \\
\hline
P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\
P(-1) &= -9 \\
\end{align} $
Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\
P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\
1 &= A+1 -B \\
0 &= A -B \\
B &= A \\
\hline
P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\
-9 &= A -1 -9B \\
-8 &= A -9B \\
-8 &= B -9B \\
-8 &= -8B \\
1 &= B \\
A &= 1 \\
\end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar balasan penilaian harian matematika,
- lembar balasan penilaian simpulan semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😂 mari kita lihat kreativitas siswa ini lewat matematika;
Belum ada Komentar untuk "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)"
Posting Komentar