Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang
Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas ihwal Matematika Dasar Teori Peluang. Tetapi bila kita ingin berguru matematika dasar teori peluang, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham ihwal kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi), alasannya yakni ini yaitu salah satu syarat perlu, biar lebih cepat dalam berguru teori peluang. Penerapan teori peluang dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita sanggup menafsir hasil dari berbagai insiden yang belum terjadi, meskipun kebenaran hasil tidak pasti tetapi teori peluang menjadi pedoaman dalam menarik sebuah kesimpulan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada teori peluang sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan praktis memahami soal-soal teori peluang dan menemukan solusinya.
Secara formal (matematis) peluang munculnya suatu insiden dalam suatu eksperimen didefinisikan (disepakati) adalah:
Peluang munculnya suatu insiden dalam suatu eksperimen (percobaan acak) yaitu nilai frekuensi relatif munculnya insiden tersebut bila banyaknya eksperimen tak terhingga
Pada beberapa buku disebutkan juga bahwa Peluang yaitu suatu nisbah yang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan bahwa suatu insiden akan terjadi. Contohnya ialah peluang bahwa angka tertentu akan muncul bila kita melemparkan sebuah dadu. Nisbah ini dinyatakan dengan bilangan pecahan, yaitu jumlah kemungkinan bahwa insiden tertentu akan terjadi dibagi dengan jumlah semua insiden yang mungkin terjadi.
Hitung peluang dinamakan juga probabilitas Nilai probabilitas biasanya diwakili oleh bilangan antara 0 dan 1, nilai 0 mengatakan bahwa suatu insiden tidak akan pernah terjadi, sedangkan nilai 1 mengatakan bahwa suatu insiden pasti akan terjadi. Probabilitas dari 7 dari 10 biasanya ditulis sebagai $0,7$ atau $70 \%$.
Banyak peneliti dalam bidang sains dan perindustrian menggunakan perhitungan probabilitas berdasarkan hasil-hasil di masa lalu untuk memprediksi masa depan dan perencanaan yang akan tiba dilakukan di masa yang akan datang.
Berikut sekedar untuk mengngatkan kita tambahkan beberapa teorema dasar pada teori peluang, yang mungkin memiliki kegunaan untuk merampungkan soal-soal yang berkaitan dengan teorema peluang.
Langkah-langkah Menentukan Peluang Suatu Kejadian
- Daftar himpunan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari percobaan $(S)$, lalu tentukan banyak anggota ruang sampel $n(S)$
- Daftar himpunan semua hasil yang diharapkan dari sebuah insiden $(E)$, lalu tentukan banyak anggota $n(E)$
- Hitung Peluang insiden $E$
$P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
Kisaran Nilai Peluang
\begin{array} \\0 \leq n(E) \leq n(S) & \\
\dfrac{0}{n(S)} \leq \dfrac{n(E)}{n(S)} \leq \dfrac{n(S)}{n(S)} & \\
0 \leq P(E) \leq 1 & \\
\end{array}
Peluang Kejadian Komplemen
Suatu insiden $E$ dan insiden komplemennya $E'$ memenuhi persamaan $P(E)+P(E')=1$ atau $P(E')=1-P(E)$Frekuensi Harapan Peluang Kejadian
$f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $dengan:
💢 $f_{h}(E)$: Frekuensi impian insiden $E$
💢 $ P(E)$: Peluang insiden $E$
💢 $ n$: Banyak percobaan
Penjumlahan Peluang
- Dua insiden $A$ dan $B$ saling lepas bila tidak ada satupun elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
Untuk dua insiden saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$. - Dua insiden $A$ dan $B$ tidak saling lepas bila ada elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
Untuk dua insiden tidak saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
Perkalian Peluang
- Dua insiden $A$ dan $B$ saling bebas bila munculnya insiden $A$ tidak menghipnotis peluang insiden $B$. Untuk $A$ dan $B$ saling bebas, peluang bahwa $A$ dan $B$ terjadi bersamaan ditulis $P(A \cap B)$, dimana $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$.
- Jika munculnya insiden $A$ mempengeruhi peluang munculnya insiden $B$ atau sebaliknya, $A$ dan $B$ yaitu insiden besyarat.
$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A)$
$P(A \cap B)=P(B) \cdot P(A|B)$
dengan $P(B|A)$ yaitu peluang $B$ dengan syarat $A$ sudah terjadi dan $P(A|B)$ yaitu peluang $A$ dengan syarat $B$ sudah terjadi
Berikut kita coba diskusikan soal-soal latihan yang disadur dari soal ujian sekolah, soal ujian nasional atau soal seleksi masuk perguruan tinggi tinggi negeri/swasta. Mari kita simak contoh Soalnya😊
1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Diketahui $A=\{9,7,6,5,4,3,2,1 \}$. Lima anggota $A$ diambil secara acak. Peluang terambilnya lima anggota tersebut berjumlah genap adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{25}{56} \\
(C)\ & \dfrac{5}{12} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{5}{56} \\
\end{align}$
Pada soal disampaikan lima anggota $A$ diambil secara acak, sehingga $S$ yaitu lima dipilih dari delapan, maka:
$\begin{align}
n(S) & = C(8,5) \\
C(n,r) & =\dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\
C(8,5) & = \dfrac{8!}{5!(8-5)!} \\
& = \dfrac{8!}{5!(3)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!(3)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 }{(3)!} \\
& = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 }{3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 8 \cdot 7 =56
\end{align}$
Kejadian yang diharapkan terjadi yaitu lima anggota yang terambil tersebut berjumlah genap, sehingga $E$ yaitu lima dipilih dari delapan dan jumlahnya genap. Dari himpunan $A=\{9,7,6,5,4,3,2,1 \}$ bila dipilih 5 dan mengakibatkan jumlahnya genap, terjadi dikala 4 bilangan ganjil dan 1 bilangan genap atau dikala 2 bilangan ganjil dan 3 bilangan genap maka:
$\begin{align}
n(E) & = C(5,4) \cdot C(3,1) + C(5,2) \cdot C(3,3) \\
& = \dfrac{5!}{4!(5-4)!} \cdot \dfrac{3!}{1!(3-1)!} + \dfrac{5!}{2!(5-2)!} \cdot \dfrac{3!}{3!(3-3)!} \\
& = 5 \cdot 3 + 10 \cdot 1 \\
& = 25
\end{align}$
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{25}{56}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{25}{56}$
2. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)
Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah yaitu ...
$\begin{align}
(A)\ & 0,04 \\
(B)\ & 0,10 \\
(C)\ & 0,16 \\
(D)\ & 0,32 \\
(E)\ & 0,40 \end{align}$
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih
Kasus I: dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yaitu $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$
Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yaitu $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
Sehingga peluang terjadinya perkara pertama yaitu $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$
Kasus II: dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yaitu $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yaitu $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
Sehingga peluang terjadinya perkara kedua yaitu $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$
Makara peluang yang terambil 1 bola merah yaitu peluang perkara pertama atau peluang perkara kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0,4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 0,4$
3. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki yaitu $\dfrac{11}{36}$. Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{161}{180} \\
(B)\ & \dfrac{155}{180} \\
(C)\ & \dfrac{25}{180} \\
(D)\ & \dfrac{19}{180} \\
(E)\ & \dfrac{11}{180} \\
\end{align}$
Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki yaitu $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki yaitu $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi dikala terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
\dfrac{11}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\
\dfrac{11}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{11 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan diatas sanggup kita ambil kesimpulan yang mungkin yaitu $L_{1}=11$ dan $L_{2}=25$ atau $L_{2}=25$ dan $L_{1}=11$.
Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki terjadi dikala terpilih laki-laki dari kelas I dan perempuan di kelas II atau terpilih laki-laki dari kelas II dan perempuan di kelas I atau terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L) & = P(L_{1}) \cdot P(P_{2}) + P(L_{2}) \cdot P(P_{1}) + P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
& = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{5}{30}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{25}{30} + \dfrac{11}{36} \\
& = \dfrac{11}{30} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{19}{30} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{11}{36} \\
& = \dfrac{11}{180} +\dfrac{95}{180} + \dfrac{55}{180} \\
& = \dfrac{11+95+55}{180} \\
& = \dfrac{161}{180}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{161}{180} $
4. Soal SBMPTN 2015 KOde 510 (*Soal Lengkap)
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki yaitu $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{180} \\
(B)\ & \dfrac{26}{180} \\
(C)\ & \dfrac{29}{180} \\
(D)\ & \dfrac{32}{180} \\
(E)\ & \dfrac{35}{180}
\end{align}$
Dari dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa dipilih satu siswa, peluang terpilih keduanya laki-laki yaitu $\dfrac{11}{36}$.
Misal banyak siswa laki-laki di kelas I $L_{1}$ dan di kelas II $L_{2}$
Peluang terpilih keduanya laki-laki yaitu $\dfrac{11}{36}$.
Peluang terpilih keduanya laki-laki terjadi dikala terpilih laki-laki dari kelas I dan laki-laki dari kelas II.
$\begin{align}
P(L_{1} \cap L_{2}) & = P(L_{1}) \cdot P(L_{2}) \\
\dfrac{7}{36} & =\dfrac{L_{1}}{30} \cdot \dfrac{L_{2}}{30} \\
\dfrac{7}{36} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900} \\
\dfrac{7 \cdot 25}{900} & = \dfrac{L_{1} \cdot L_{2}}{900}
\end{align}$
Dari kesamaan diatas sanggup kita ambil kesimpulan yang mungkin yaitu $L_{1}=7$ dan $L_{2}=25$ atau $L_{2}=25$ dan $L_{1}=7$.
Peluang terpilih keduanya perempuan dikala terpilih perempuan dari kelas I dan perempuan di kelas II.
$\begin{align}
P(PP) & = P(P_{1}) \cdot P(P_{2}) \\
& = \dfrac{23}{30} \cdot \dfrac{5}{30} \\
& = \dfrac{115}{900} \\
& = \dfrac{23}{180}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{23}{180} $
5. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Sebuah keranjang berisi $7$ bola kuning dan $4$ bola hijau, Enam bola diambil sekaligus secara acak.
Peluang terambil $4$ bola kuning dan $2$ bola hijau adalah...
$(A)\ \dfrac{28}{77}$
$(B)\ \dfrac{30}{77}$
$(C)\ \dfrac{35}{77}$
$(D)\ \dfrac{39}{77}$
$(E)\ \dfrac{42}{77}$
Peluang sebuah insiden dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ yaitu banyak anggota insiden yang diharapkan,
$n(S)$ yaitu banyak anggota insiden yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa sebuah keranjang berisi $7$ Bola Kuning dan $4$ Bola Hijau, dan enam bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk insiden ini $n(S)$ yaitu akan dipilih $6$ dari $11$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{6}^{11} \\
& = \dfrac{11!}{6!(11-6)!} \\
& = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!} \\
& = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
& = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7
\end{align} $
Untuk $n(E)$ yaitu akan dipilih $4$ dari $7$ dan $2$ dari $4$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{4}^{7} \cdot C_{2}^{4} \\
& = \dfrac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} \cdot \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}{11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} \\
& = \dfrac{7 \cdot 5}{11 \cdot 7} \\
& = \dfrac{35}{77}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{35}{77}$
6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Dalam sebuah kotak tedapat $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau. Diambil dua bola sekaligus.
Jika pengambilan dilakukan sebanyak $600$ kali dengan pengembalian, frekuensi impian terambil bola kedua-duanya hijau adalah...
$(A)\ 30\ \text{kali}$
$(B)\ 150\ \text{kali}$
$(C)\ 200\ \text{kali}$
$(D)\ 225\ \text{kali}$
$(E)\ 450\ \text{kali}$
Peluang sebuah insiden dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ yaitu banyak anggota insiden yang diharapkan,
$n(S)$ yaitu banyak anggota insiden yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan bahwa sebuah kotak $5$ bola merah, $7$ bola putih, dan $4$ bola hijau, dan dua bola diambil sekaligus secara acak.
Untuk insiden ini $n(S)$ yaitu akan dipilih $2$ dari $16$
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{16} \\
& = \dfrac{16!}{2!(16-2)!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15}{2} \\
& = 8 \cdot 15 \\
& = 120 \end{align} $
Untuk $n(E)$ yaitu akan dipilih $2$ hijau dari $4$ hijau.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{4} \\
& = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\
& =\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\
& = 2 \cdot 3 \\
& = 6 \end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{120} \\
& = \dfrac{1}{20} \\
\end{align} $
Frekuensi harapan;
$ \begin{align}
f_{h} & = n \cdot P(E) \\
& = 600 \cdot \dfrac{1}{20} \\
& = \dfrac{600}{20} \\
& = 30 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 30\ \text{kali}$
7. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Sepasang pengantin baru yang baru saja melangsungkan komitmen nikah berencana memiliki empat anak. Si suami menginginkan dari keempat anaknya itu nanti dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki. Sedangkan si istri menginginkan keempat anaknya terdiri dari tiga anak berjenis kelamin sama dan satu yang lainnya berbeda. Pernyataan yang paling tepat berdasarkan perkara tersebut bahwa peluang terjadinya keinginan suami adalah...
$(A)$ sama besar dengan peluang keinginan istri
$(B)$ lebih besar dari peluang keinginan istri
$(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri
$(D)$ lebih rasional dari pada keinginan istri
$(E)$ tidak bisa ditentukan
Pengantin baru yang baru saja menikah sama-sama menginginkan anak berjumlah 4 orang, sehingga kemungkinan susunan jenis kelamin anak mereka yaitu sebagai berikut;
$[1]: LLLL\ ,\ [9]:PLLL$
$[2]: LLLP\ ,\ [10]:PLLP$
$[3]: LLPL\ ,\ [11]:PLPL$
$[4]: LLPP\ ,\ [12]:PLPP$
$[5]: LPLL\ ,\ [13]:PPLL$
$[6]: LPLP\ ,\ [14]:PPLP$
$[7]: LPPL\ ,\ [15]:PPPL$
$[8]: LPPP\ ,\ [16]:PPPP$
Peluang keinginan suami dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki peluangnya adalah
$P(s)=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$
Peluang keinginan istri tiga anak jenis kelamin sama dari empat orang anak peluangnya adalah
$P(i)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$
Jawaban yang paling tepat ada pada pilihan $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.
Jika dikerjakan dengan menggunakan rumus-rumus, pengerjaan perkara diatas kurang lebih ibarat berikut ini;
$n(S):$ Banyak susunan jenis kelamin anak yang mungkin dari empat orang anak yaitu $2^{4}=16$
Kejadian yang diharapkan suami, dua laki-laki dan dua perempuan dari empat orang anak;
$n(E_{s})=C_{2}^{4} \cdot C_{2}^{2}=12 \cdot 1=6$
$P(E_{s})=\dfrac{n(E_{s})}{n(S)}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$
Kejadian yang diharapkan istri, tiga anak sama jenis kelamin dari empat orang anak;
$n(E_{i})=C_{1}^{4} \cdot C_{3}^{3} + C_{3}^{4} \cdot C_{1}^{1}$
$n(E_{i})=4 \cdot 1 + 4 v 1=8$
$P(E_{i})=\dfrac{n(E_{i})}{n(S)}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.
8. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{16}{33} \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \\
(D)\ & \dfrac{1}{16} \\
(E)\ & \dfrac{1}{32}
\end{align}$
$4$ koin palsu dicampur dengan $8$ koin asli sehingga banyak koin yaitu $12$ koin.
Dua koin diambil secara acak, maka sampelnya $(S)$ yaitu dipilih secara acak $2$ koin dari $12$ koin.
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{2!(12-2)!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11}{2} \\
& = 66
\end{align} $
Kejadian yang diharapkan $(E)$ terambil satu koin asli dan satu koin palsu.
Untuk $n(E)$ yaitu akan dipilih $1$ dari $4$ dan $1$ dari $8$
$ \begin{align}
n(E) & = C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{8} \\
& = \dfrac{4!}{1!(4-1)!} \cdot \dfrac{8!}{1!(8-1)!} \\
& = 4 \cdot 8 \\
& = 32
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{32}{66} = \dfrac{16}{33}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{16}{33}$
9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Daerah $R$ persegi panjang yang memiliki titik sudut $(-1,1)$, $(4,1)$, $(-1,-5)$, dan $(4,-5)$. Suatu titik akan dipilih dari $R$. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{2}{5} \\
(C)\ & \dfrac{3}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}
\end{align}$
Jika kita gambarkan daerah $R$ dan garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ pada koordinat kartesius, kurang lebih ibarat berikut ini;
Titik yang diharapakan terpilih yaitu titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$, sehingga hasil yang diharapkan ada pada daerah yang berwarna merah pada gambar, luas daerah tersebut yaitu $30-\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6=18$.
Probabilitas akan terpilih titik yang diharapkan yaitu $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{3}{5}$
10. Soal OSK Matematika SMP 2016 (*Soal Lengkap)
Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas $52$ lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas $13$ kartu bernomor $1$ hingga dengan $13$. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor $13$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{13} \\
(B)\ & \dfrac{8}{26} \\
(C)\ & \dfrac{19}{52} \\
(D)\ & \dfrac{31}{104}
\end{align}$
Peluang insiden yang disampakan pada soal di atas sanggup kita hitung menggunakan aturan teorema peluang yaitu $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
Dengan $n(s)=104$ dan dengan memisalkan:
- $A$ yaitu insiden munculnya kartu merah, $n(A)=26$
- $B$ yaitu insiden munculnya kartu nomor $13$, $n(A)=8$
- kartu merah nomor $13$ ada $2$, $n(A \cap B)=2$
$\begin{align}
P(A \cup B) & = P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
& = \dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}-\dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} \\
& = \dfrac{26}{104}+\dfrac{8}{104}-\dfrac{2}{104} \\
& = \dfrac{32}{104}= \dfrac{8}{26}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{8}{26}$
11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)
Peluang Ali, Budi, dan Dian lulus "UAN" masing-masing yaitu $0,7$; $0,8$ dan $0,9$. Peluang lulus hanya satu orang diantara tiga orang tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,082 \\
(B)\ & 0,092 \\
(C)\ & 0,504 \\
(D)\ & 0,82 \\
(E)\ & 0,92
\end{align}$
Peluang Ali lulus $P(A)=0,7$ sehingga peluang Ali tidak lulus $P(A')=0,3$
Peluang Budi lulus $P(B)=0,8$ sehingga peluang Budi tidak lulus $P(B')=0,2$
Peluang Dian lulus $P(C)=0,9$ sehingga peluang Dian tidak lulus $P(D')=0,1$
Peluang insiden $E$ hanya satu yang lulus adalah
$P\left ( A \cap B' \cap D' \right )$ atau $P\left ( A' \cap B \cap D' \right )$ atau $P\left ( A' \cap B' \cap D \right )$
$\begin{align}
P(E)\ & = P\left ( A \cap B' \cap D' \right )+ P\left ( A' \cap B \cap D' \right )+ P\left ( A' \cap B' \cap D \right ) \\
&= 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1+0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9 \\
&= 0,14 + 0,24 +0,54 \\
&= 0,92
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 0,92$
12. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 (*Soal Lengkap)
Satu dadu dilempar $3$ kali. Peluang mata dadu $6$ muncul sedikitnya sekali adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{216} \\
(B)\ & \dfrac{3}{216} \\
(C)\ & \dfrac{12}{216} \\
(D)\ & \dfrac{18}{216} \\
(E)\ & \dfrac{91}{216}
\end{align}$
Untuk satu dadu hasil yang mungkin $n(S)=6$
Hasil yang diharapkan muncul mata dadu $6$, $n(E)=1$
Peluang $6$ terjadi: $P(6)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{1}{6}$
Peluang $6$ tidak terjadi: $P(6')=\dfrac{5}{6}$
Peluang mata dadu $6$ tidak pernah muncul sama sekali yaitu $P(E')$:
$P(E')=\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{125}{216}$
Peluang muncul mata dadu $6$ sedikitnya sekali berarti boleh satu kali, dua kali atau tiga kali, yang tidak boleh yaitu tidak pernah muncul, sehingga:
$\begin{align}
P(E)\ + P \left ( E' \right ) & = 1 \\
P(E)\ & = 1 - P \left ( E' \right ) \\
&= 1- \dfrac{125}{216} \\
&= \dfrac{91}{216}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{91}{216}$
13. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)
SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas yaitu $16$ laki-laki dan $16$ wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang $2$ orang perempuan yang menjadi pengurus OSIS adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{32}{64} \\
(B)\ & \dfrac{15}{64} \\
(C)\ & \dfrac{6}{64} \\
(D)\ & \dfrac{2}{64} \\
(E)\ & \dfrac{1}{64}
\end{align}$
Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan susunan pengurus yang mungkin dari pemilihan $6$ kelas dimana pengurus yang mungkin dari setiap kelas ada dua kemungkinan (P atau W) adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = P\ I \cdot P\ II\ \cdot \cdots \cdot P\ VI \\
& = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\
& = 64
\end{align} $
Banyak kemungkinan pengurus dua orang wanita, berarti pengurus terdira dari $2$ perempuan dan $4$ pria.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{6} \\
& = \dfrac{6!}{2!(6-2)!} \\
& = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} \\
& = 15
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{15}{64}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{15}{64} $
14. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)
Suatu pin ATM terdiri dari tiga angka berbeda, tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa angka kartu ATM tersebut memiliki nomor cantik $123$, $234$, $345$, $567$, $678$, atau $789$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{500} \\
(B)\ & \dfrac{3}{448} \\
(C)\ & \dfrac{3}{360} \\
(D)\ & \dfrac{3}{324} \\
(E)\ & \dfrac{3}{243}
\end{align}$
Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan pin ATM yang mungkin yaitu $n(S)$
$ \begin{align}
n(S) & = Angka\ I \cdot Angka\ II\ \cdot Angka\ III \\
& = 9 \cdot 9 \cdot 8 \\
& = 648
\end{align} $
Kejadian yang diharapkan $ E :123$, $234$, $345$, $567$, $678$, atau $789$ maka $n(E)=6$
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{648} = \dfrac{3}{324}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{3}{243} $
15. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)
Jika $4$ mata uang logam dilempar, maka peluang muncul minimal dua sisi gambar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{6}{11} \\
(B)\ & \dfrac{6}{16} \\
(C)\ & \dfrac{10}{16} \\
(D)\ & \dfrac{11}{16} \\
(E)\ & \dfrac{15}{16}
\end{align}$
Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, banyak keseluruhan hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah koin $4$ kali dimana hasil yang mungkin dari setiap pelemparan ada dua kemungkinan (A atau G) adalah:
$ \begin{align}
n(S) & = P\ I \cdot P\ II\ \cdot P\ III \cdot P\ IV \\
& = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\
& = 16
\end{align} $
Banyak kemungkinan muncul minimal dua sisi gambar dari $4$ kali pelemparan yaitu $2$ gambar dan $2$ angka atau $3$ gambar dan $1$ angka atau $4$ gambar dan $0$ angka.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{4} + C_{3}^{4} + C_{4}^{4} \\
& = 6 + 3 + 1 \\
& = 10
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{10}{16}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{10}{16} $
16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)
Misalkan $x$ dan $y$ yaitu $2$ bilangan berbeda yang diambil dari himpunan $3,\ 3^{2},\ 3^{3}, 3^{4}, \cdots ,3^{15}$. Probabilitas bahwa ${}^x\!\log y$ memperoleh bilangan bulat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{3^{15}} \\
(B)\ & \dfrac{30}{3^{15}} \\
(C)\ & \dfrac{8}{105} \\
(D)\ & \dfrac{1}{7} \\
(E)\ & \dfrac{15}{16}
\end{align}$
Sedikit tunjangan dari sifat logaritma yaitu ${}^{x^{n}}\!\log y^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^x\!\log y$.
Banyak bilangan ${}^x\!\log y$ yang mungkin yaitu $15 \cdot 14 =210$
Berdasarkan sifat logaritma di atas, biar ${}^x\!\log y$ yaitu bilangan bulat maka $x \lt y$ dan $y$ kelipatan $x$, kemungkinannya adalah
- Saat $x=3^{1}$ maka $y=3^{2},\ 3^{3}, \cdots ,3^{15}$ ada $14$ kemungkinan
- Saat $x=3^{2}$ maka $y=3^{4}, 3^{6}, \cdots ,3^{14}$ ada $6$ kemungkinan
- Saat $x=3^{3}$ maka $y=3^{6}, 3^{9}, 3^{12}, 3^{15}$ ada $4$ kemungkinan
- Saat $x=3^{4}$ maka $y=3^{8}, 3^{12}$ ada $2$ kemungkinan
- Saat $x=3^{5}$ maka $y=3^{10}, ,3^{15}$ ada $2$ kemungkinan
- Saat $x=3^{6}$ maka $y=3^{12}$ ada $1$ kemungkinan
- Saat $x=3^{7}$ maka $y=3^{14}$ ada $1$ kemungkinan
- Saat $x=3^{8}$ dan seterusnya maka $y$ tidak ada yang memenuhi
- Total banyak susunan yaitu $14+6+4+2+2+1+1=30$
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{30}{210} = \dfrac{1}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{7} $
17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)
Dari $26$ abjad alfabet dipilih satu per satu $8$ abjad sembarang dengan cara pengembalian dan disusun sehingga membentuk kata. Probabilitas bahwa di antara kata-kata yang terbentuk mengandung "SIMAKUI" dalam satu rangkaian kata yang tidak terpisah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{26}{26^{8}} \\
(B)\ & \dfrac{52}{26^{8}} \\
(C)\ & \dfrac{26}{\binom{26}{8}} \\
(D)\ & \dfrac{52}{\binom{26}{8}} \\
(E)\ & \dfrac{1}{8}
\end{align}$
Banyak susunan kata yang mungkin terbentuk dari pengambilan abjad sebanyak $8$ kali yaitu $26 \cdot 26 \cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26=26^{8}$.
Banyaknya susunan kata yang mengandung mengandung abjad SIMAKUI berada pada dua kemungkinan yaitu SIMAKUIX atau XSIMAKUI. Banyak susunan yang mungkin adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|cc}
(26) & S & I & M & A & K & U & I \\
\hline
S & I & M & A & K & U & I & (26)\\
\end{array} $
Total banyak susunan yaitu $26+26=52$
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{52}{26^{8}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{52}{26^{8}}$
18. Soal UMB-PT 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)
Sebuah benda bersisi $6$ tak beraturan sisinya diberi nomor $1,2,3,4,5,$ dan $6$. Jika benda tersebut dilempar, maka benda akan jatuh pada salah satu sisinya. Jika $P(n)$ yaitu nilai peluang benda tersebut jatuh pada sisi bernomor $n$ dan $P(n)=\dfrac{a}{2^{n-1}}$ maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{31} \\
(B)\ & \dfrac{21}{41} \\
(C)\ & \dfrac{26}{24} \\
(D)\ & \dfrac{32}{63} \\
(E)\ & \dfrac{36}{71}
\end{align}$
Nilai $P(n)$ untuk masing-masing $n$ sanggup kita jabarkan sebagai berikut:
- $n=1$ maka $P(1)=\dfrac{a}{2^{1-1}}=\dfrac{a}{1}$
- $n=2$ maka $P(2)=\dfrac{a}{2^{2-1}}=\dfrac{a}{2}$
- $n=3$ maka $P(3)=\dfrac{a}{2^{3-1}}=\dfrac{a}{4}$
- $n=4$ maka $P(4)=\dfrac{a}{2^{4-1}}=\dfrac{a}{8}$
- $n=5$ maka $P(5)=\dfrac{a}{2^{5-1}}=\dfrac{a}{16}$
- $n=6$ maka $P(6)=\dfrac{a}{2^{6-1}}=\dfrac{a}{32}$
$ \begin{align}
P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) & = 1 \\
a+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{16}+\dfrac{a}{32} & = 1 \\
32a +16a+8a+4a+2a+a & = 32 \\
63a & = 32 \\
a & = \dfrac{32}{63}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{32}{63}$
19. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)
Sebuah kotak berisi $2$ koin $Rp200$, $4$ koin $Rp500$, dan $6$ koin $Rp1000$. $6$ koin diambil tanpa pengembalian dimana setiap koin memiliki peluang terpilih yang sama. Peluang bahwa enam koin yang terambil memiliki jumlah minimal $Rp5000$ adalah....
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{37}{924} \\
(B)\ & \dfrac{91}{924} \\
(C)\ & \dfrac{127}{924} \\
(D)\ & \dfrac{132}{924} \\
(E)\ & \dfrac{262}{924}
\end{align}$
Dari pengambilan $6$ koin sekaligus dari $12$ koin yang tersedia banyak hasil yang ungkin terjadi adalah
$ \begin{align}
n(S) & = C_{6}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{6! \cdot (12-6)!} \\
& = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!}=924
\end{align}$
Koin yang terambil jumlahnya minimal $Rp5000$, maka kemungkinan yang terambil adalah
- $6$ koin $Rp1000$, banyak kemungkinan yaitu $C_{6}^{6}=1$
- $5$ koin $Rp1000$ dan $1$ koin $Rp500$ atau $5$ koin $Rp1000$ dan $1$ koin $Rp200$, banyak kemungkinan yaitu $C_{5}^{6} \cdot C_{1}^{4}+C_{5}^{6} \cdot C_{1}^{2}=6 \cdot 4+6 \cdot 2=36$
- $4$ koin $Rp1000$ dan $2$ koin $Rp500$, banyak kemungkinan yaitu $C_{4}^{6} \cdot C_{2}^{4}=15 \cdot 6=90$
- Total banyak kemungkinan yaitu $1+36+90=127$
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{127}{924}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{127}{924}$
20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)
$3$ orang siswa kelas $X$, $4$ orang siswa kelas $XI$ dan $2$ orang siswa kelas $XII$ dipanggil ke ruang kepala sekolah. Kepala sekolah akan menunjuk $2$ orang siswa sebagai ketua dan sekretaris mewakili sekolah untuk mengikuti rapat teknis porseni tingkat kabupaten. Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{36} \\
(B)\ & \dfrac{13}{36} \\
(C)\ & \dfrac{14}{36} \\
(D)\ & \dfrac{20}{36} \\
(E)\ & \dfrac{26}{36}
\end{align}$
Banyak susunan pengurus yang mungkin terjadi dengan tidak ada syarat yaitu $n(S)=9 \cdot 8=72$
Pengurus yang diharapkan terpilih $2$ orang siswa sebagai ketua dan sekretaris dimana keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris. Sehingga ada $2$ kemungkinan yaitu:
- ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas XI atau X, banyak susunan $2 \cdot 7=14$
- ketua dari kelas XI dan sekretaris X, banyak susunan $4 \cdot 3=12$
- Total banyak susunan pengurus yaitu $14+12=26$
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{26}{72} = \dfrac{13}{36}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{13}{36}$
21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)
Diketahui dalam sebuah ruangan terdapat tiga kelompok orang, yaitu kelompok ibu sebanyak $3$ orang, kelompok bapak sebanyak $4$ orang, dan kelompok anak sebanyak $2$ orang. Mereka hendak duduk pada sebuah kursi panjang. Peluang bahwa mereka akan duduk berdampingan berkelompok adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{140} \\
(B)\ & \dfrac{1}{210} \\
(C)\ & \dfrac{1}{1260} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2520} \\
(E)\ & \dfrac{1}{7560}
\end{align}$
Banyak posisi duduk tanpa aturan yaitu $n(S)=9!=9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Banyak posisi duduk tiga kelompok secara berkelompok;
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{ibu} & \text{bapak} & \text{anak} \\
\hline
(3!) & (4!) & (2!) \end{array} $
Banyak posisi duduk yaitu $n(E)=\left( 3! \cdot 4! \cdot 2! \right) \cdot 3!$
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{\left( 3! \cdot 4! \cdot 2! \right) \cdot 3!}{9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1} \\
& = \dfrac{ 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 }{9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5 } \\
& = \dfrac{1} {210}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{210}$
22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)
Sebuah dadu dilempar sebanyak $6$ kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan $5$ dalam minimal $5$ kali pelemparan adalah
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{13}{729} \\
(B)\ & \dfrac{12}{729} \\
(C)\ & \dfrac{11}{729} \\
(D)\ & \dfrac{3}{729} \\
(E)\ & \dfrac{2}{729}
\end{align}$
Pada sebuah dadu bermata enam $S=\{1,2,3,4,5,6\}$, peluang muncul angka $\geq 5$ dalam sekali percobaan yaitu $P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
Dari $6$ kali percobaan muncul angka $\geq 5$ minimal $5$ kali, sehingga hal ini mungkin terjadi pada dua kemungkinan yaitu:
- muncul $5$ kali $\geq 5$ dan $1$ kali $\lt 5$, sehingga peluangnya yaitu $C_{5}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5} \cdot C_{1}^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{1}$
- muncul $6$ kali $\geq 5$, sehingga peluangnya yaitu $C_{6}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6}$
$ \begin{align}
P(E) & = C_{5}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5} \cdot C_{1}^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{1}+C_{6}^{6} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6} \\
& = 6 \cdot \dfrac{1}{3^{5}} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{3} +1 \cdot \dfrac{1}{3^{6}} \\
& = \dfrac{12}{3^{6}} + \dfrac{1}{3^{6}} \\
& = \dfrac{13}{3^{6}}= \dfrac{13}{729}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{13}{729}$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Sekolah $P$ akan mengirim $2$ perwakilan grup band untuk Pentas Musik Nusantara pada peringatan Hari Sumpah Pemuda. Sekolah tersebut memiliki $6$ grup band putra dan $4$ grup band putri. Berdasarkan penilaian, kemampuan grup band tersebut merata sehingga penentuan kedua perwakilan grup band dilakukan dengan cara mengambil secara acak satu per satu. Peluang terambil grup band putra pada pengambilan pertama dan grup band putri pada pengambilan kedua adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{6}{25} \\
(C)\ & \dfrac{4}{15} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{13}{25}
\end{align}$
Banyak grup keseluruhan yaitu $10$ grup yang terdiri dari $6$ grup putra dan $4$ grup putri.
Untuk menerima peluang grup band putra pertama dan kedua putri sanggup kita hitung dengan peluang kejadi bersyarat atau peluang terpilih putra pertama dan putri kedua dengan syarat pertama sudah terpilih putra.
$\begin{align}
P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A) \\
P(Pa_{1} \cap Pi_{2}) &= P(Pa_{1}) \cdot P(Pi_{2}|Pa_{1}) \\
&= \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \\
&= \dfrac{24}{90}= \dfrac{4}{15}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{4}{15}$
24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Suatu alat percobaan bisa mengeluarkan satu kartu secara acak dari seperangkat kartu remi yang ada di dalamnya dengan menekan sebuah tombol pada alat tersebut. Terdapat $52$ kartu yang terdiri dari $26$ warna hijau dan $26$ warna merah.
Kartu yang sudah keluar dimasukkan kembali ke dalam alat. Bila tombol alat tersebut ditekan sebanyak $260$ kali, frekuensi impian keluarnya kartu king merah dari $4$ kartu king adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20\ \text{kali} \\
(B)\ & 18\ \text{kali} \\
(C)\ & 10\ \text{kali} \\
(D)\ & 9\ \text{kali} \\
(E)\ & 6\ \text{kali}
\end{align}$
Untuk menghitung frekuensi impian sebuah peluang kejadian, sebagai tahap awal kita harus sanggup menentukan peluang insiden yang diharapkan. Kejadian yang diharapkan yaitu keluar kartu king merah dari $52$ kartu.
$E$ = Kejadian yang diharapkan Muncul kartu king merah maka $n(E) = 2$
$S$ = Kejadian yang mungkin terjadi dari satu set kartu remi, maka $n(S) = 52$
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26} $
Aturan untuk menghitung frekuensi harapan yaitu $ f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $ dengan $n$ yaitu banyak percobaan.
$\begin{align}
f_{h}(E) &= n\ \cdot P(E) \\
&= 260\ \cdot \dfrac{1}{26} \\
&= \dfrac{260}{26} \\
&= 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 10\ \text{kali}$
25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Peluang hidup seekor gajah, unta, dan rino di sebuah kebun binatang untuk jangka waktu $30$ tahun ke depan berturut-turut yaitu $30\%$, $25\%$, dan $20\%$. Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan rino keduanya mati untuk jangka waktu tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1,5\% \\
(B)\ & 4,5\% \\
(C)\ & 12,0\% \\
(D)\ & 18,0\% \\
(E)\ & 75,0\% \\
\end{align}$
Dalam waktu $30$ tahun ke depan
- Peluang gajah, hidup $P \left( G \right)=30\%$, mati $P \left( G' \right)70\%$
- Peluang unta, hidup $P \left( U \right)=25\%$, mati $P \left( U' \right)=75\%$
- Peluang badak, hidup $P \left( B \right)=20\%$, mati $P \left( B' \right)=80\%$
Peluang bahwa hanya gajah saja yang hidup sedangkan unta dan rino keduanya mati untuk jangka waktu tersebut, bila kita jawab dalam kalimat yaitu gajah hidup dan unta mati dan badak mati.
$\begin{align}
P \left( E \right) &= P \left( G \right) \cdot P \left( U' \right) \cdot P \left( B' \right) \\
&= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\
&= 30\% \cdot 75\% \cdot 80\% \\
&= 18,0\%
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 18,0\%$
26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Sebuah kotak berisi $10$ bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil dua bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambilnya sedikitnya $1$ bola merah yaitu $\dfrac{1}{5}$, maka banyaknya bola biru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 9 \\
\end{align}$
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi yaitu terpilih $2$ bola dari $10$ bola
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{10} \\
& = \dfrac{10!}{2! (10-2)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!}=45
\end{align} $
Hasil yang diharapkan yaitu paling sedikit satu bola merah, banyak kemungkinan yang diharapkan yaitu terambil dua bola merah dari banyak bola merah atau terambil satu bola merah dari banyak bola merah dan satu bola biru dari banyak bola biru.
Jika kita misalkan banyak bola merah adalam $m$, sehingga banyak bola biru yaitu $10-m$ sehingga banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{10-m} \\
& = \dfrac{m(m-1)(m-2)!}{2! \cdot (m-2)!} + \dfrac{m(m-1)!}{1! \cdot (m-1)!} \cdot \dfrac{ (10-m)!}{1! (10-m-1)!} \\
& = \dfrac{m(m-1) }{2 } + m \cdot (10-m) \\
& = \dfrac{m^{2}-m }{2 } + \dfrac{20m-2m^{2})}{2 } \\
& = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 }
\end{align} $
Peluang insiden $E$ yaitu $\dfrac{1}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{\dfrac{-m^{2}+19m }{2 }}{45} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 \cdot 45 } \\
\dfrac{18}{90} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{90} \\
\hline
-m^{2}+19m & = 18 \\
m^{2}-19m+18 & = 0 \\
(m-1)(m-18) & = 0 \\
m=1 \ \text{atau} m=18 &
\end{align}$
Banyak bola biru dikala $m=1$ yaitu $10-1=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 9$
27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=120$ dan $m \lt n$. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih yaitu $\dfrac{5}{7}$, maka nilai $m+n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 34 \\
(B)\ & 26 \\
(C)\ & 23 \\
(D)\ & 22 \\
(E)\ & 21 \\
\end{align}$
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi yaitu terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{m+n} \\
& = \dfrac{(m+n)!}{2! (m+n-2)!} \\
& = \dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}
\end{align} $
Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan yaitu paling sedikit satu bola putih, banyak kemungkinan yang diharapkan yaitu terambil dua bola putih dari $m$ bola atau terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.
Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\
& = \dfrac{m!}{2! (m-2)!} + \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\
& = \dfrac{m (m-1)}{2} + m \cdot n \\
& = \dfrac{m (m-1)}{2} + 120 \\
& = \dfrac{m (m-1)+240}{2}
\end{align} $
Peluang insiden $E$ paling sedikit satu bola putih yaitu $\dfrac{5}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{5}{7} & = \dfrac{\dfrac{m (m-1)+240}{2}}{\dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}} \\
\dfrac{5}{7} & = \dfrac{ m (m-1)+240}{ (m+n)(m+n-1) }
\end{align}$
Dari persamaan di atas, dengan mensubstitusi nilai $n=\dfrac{120}{m}$ sehingga kita peroleh sebuah persamaan kudrat dengan variabel $m$. Lalu dengan memfaktorkan akan kita peroleh nilai $m$ lalu nilai $n$.
Dengan sedikit bernalar, untuk melewati beberapa tahap di atas sanggup kita gunakan data $mn=120$ dan $m \lt n$. Berdasarkan data tersebut, nilai $(m,n)$ yang mungkin hanya ada tiga yaitu $(10,12)$, $(5,24)$ dan $(2,60)$.
Lalu dengan menguji nilai-nilai $(10,12)$, $(5,24)$ dan $(2,60)$ ke $\dfrac{5}{7} = \dfrac{ m (m-1)+240}{ (m+n)(m+n-1) }$ kita peroleh $m=10$ dan $n=12$, sehingga nilai $m+n=22$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 22$
28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Di dalam sebuah kotak terdapat $m$ bola merah dan $n$ bola putih dengan $m+n=16$. Jika bola diambil dua bola sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambil dua bola tersebut berbeda warna yaitu $\dfrac{1}{2}$. Nilai dari $m^{2}+n^{2}$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 200 \\
(B)\ & 160 \\
(C)\ & 146 \\
(D)\ & 136 \\
(E)\ & 128 \\
\end{align}$
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi yaitu terpilih dua bola dari $m+n$ bola
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{m+n} = C_{2}^{16} \\
& = \dfrac{16!}{2! (16-2)!} \\
& = 120
\end{align} $
Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan yaitu kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan yaitu terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.
Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & =C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\
& = \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\
& = m \cdot n
\end{align} $
Peluang insiden $E$ kedua bola berbeda warna yaitu $\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{2} & = \dfrac{mn}{120} \\
mn & = 60 \\
\hline
m^{2}+n^{2} & = (m+n)^{2}-2mn \\
& = 16^{2}-2(60) \\
& = 256-120 \\
& = 136
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 136$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dalam sebuah kotak terdapat bola merah dengan jumlah $2n$ dan bola putih dengan jumlah $3n$. Jika dilakukan pengambilan dua bola sekaligus dengan peluang terambilnya warna berbeda yaitu $\dfrac{18}{35}$, maka nilai $\dfrac{5n-1}{n}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{12}{3} \\
(B)\ & \dfrac{13}{3} \\
(C)\ & \dfrac{14}{3} \\
(D)\ & \dfrac{15}{3} \\
(E)\ & \dfrac{16}{3}
\end{align}$
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi yaitu terpilih dua bola dari $5n$ bola
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{5n} \\
& = \dfrac{(5n)!}{2! (5n-2)!} \\
& = \dfrac{(5n)(5n-1)}{2}
\end{align} $
Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan yaitu kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan yaitu terambil satu bola merah dari $2n$ bola dan satu bola putih dari $3n$ bola.
Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & =C_{1}^{2n} \cdot C_{1}^{3n} \\
& = \dfrac{(2n)!}{1! (2n-1)!} \cdot \dfrac{(3n)!}{1! (3n-1)!} \\
& = (2n) (3n) =6n^{2}
\end{align} $
Peluang insiden $E$ kedua bola berbeda warna yaitu $\dfrac{18}{35}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{6n^{2}}{\dfrac{(5n)(5n-1)}{2}} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{12n^{2}}{ (5n)(5n-1)} \\
\dfrac{9}{7} & = \dfrac{6n^{2}}{ (n)(5n-1)} \\
45n^{2}-9n & = 42n^{2} \\
3n^{2}-9n & = 0 \\
3n(n-3) & = 0 \\
n=0\ &\ n= 3 \\
\hline
\dfrac{5n-1}{n} & = \dfrac{5n-1}{n} \\
& = \dfrac{5(3)-1}{3}= = \dfrac{14}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{14}{3}$
30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $mn=54$. Jika diambil dua bola secara sekaligus dan peluang terambilnya kedua bola berbeda warna yaitu $\dfrac{18}{35}$, maka $m+n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 55
\end{align}$
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi yaitu terpilih dua bola dari $(m+n)$ bola
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{m+n} \\
& = \dfrac{(m+n)!}{2! (m+n-2)!} \\
& = \dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}
\end{align} $
Dari pengambilan dua bola sekaligus, hasil yang diharapkan yaitu kedua bola berbeda warna, banyak kemungkinan yang diharapkan yaitu terambil satu bola putih dari $m$ bola dan satu bola merah dari $n$ bola.
Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & =C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{n} \\
& = \dfrac{m!}{1! (m-1)!} \cdot \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \\
& = m \cdot n
\end{align} $
Peluang insiden $E$ kedua bola berbeda warna yaitu $\dfrac{18}{35}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{mn}{\dfrac{(m+n)(m+n-1)}{2}} \\
\dfrac{18}{35} & = \dfrac{2(54)}{ (m+n)(m+n-1)} \\
\dfrac{1}{35} & = \dfrac{ 6 }{ (m+n)(m+n-1)} \\
(m+n)(m+n-1) & = (35)(6) \\
(m+n)(m+n-1) & = (7)(5)(3)(2) \\
(m+n)(m+n-1) & = (15)(14)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 15$
31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dua buah dadu dilempar sekaligus. Peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipattan $3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 55
\end{align}$
Pada pelemparan dua buah dadu hasil yang mungkin atau ruang sampelnya adalah: ${(1,1),\ (1,2),\ (1,3), \cdots (5,6),(6,6)}$.
Banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=36$
Hasil yang diharapkan muncul mata dadu berjumlah lebih dari $5$ dan kelipatan $3$. Untuk mempermudah cukup kita analisis kelipatan tiga lebih dari $5$ yaitu yang jumlahnya $6, 9, 12$ anggotanya adalah: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, dan $(6,6)$.
Banyak anggota insiden yang diharapkan atau $n(E)=10$
Peluang insiden $E$, $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{10}{36}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{10}{36}$
32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Dinda memiliki password yang terdiri dari satu abjad diantara huruf-huruf $a,i,u,e,o$. Peluang Dianda gagal mengetikkan password-nya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\
(B)\ & \dfrac{4}{5} \\
(C)\ & \dfrac{3}{5} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{1}{5}
\end{align}$
Pasaword Dinda hanya terdiri dari satu abjad saja sehingga $n(E)=1$. Hasil yang mungkin terketik yaitu $a,i,u,e,o$, banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=5$.
Peluang Dinda gagal adalah:
$\begin{align}
P(E') & =1-P(E) \\
& =1- \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& =1- \dfrac{1}{5}= \dfrac{4}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{4}{5}$
33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Peluang sukses seseorang melemparkan bola ke keranjang basket yaitu $\dfrac{3}{5}$. Jika ia melemparkan bola tersebut tiga kali, maka peluang sukses semua lemparan tersebut itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{125} \\
(B)\ & \dfrac{27}{125} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5} \\
(D)\ & \dfrac{3}{5} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Peluang lemparan berhasil yaitu $\dfrac{3}{5}$, sehingga peluang gagal yaitu $1-\dfrac{3}{5}= \dfrac{2}{5}$
KArena yang diminta yaitu peluang ketiga lemparan berhasil, secara kalimat kita jawab, lemparan pertama berhasil dan lemparan kedua berhasil dan lemparan ketiga berhasil.
Jika kita tuliskan peluang ketiganya berhasil adalah:
$ \begin{align}
P(E) & = P(I) \cdot P(II) \cdot P(III) \\
& = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \\
& = \dfrac{27}{125}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{27}{125}$
34. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Dalam supermarket terdapat $12$ ibu-ibu dan $4$ cendekia balig cukup akal yang sedang berbelanja. Dari $16$ orang tersebut akan dipilih $2$ orang secara acak untuk medapatkan $2$ undian berhadiah dengan setiap orang hanya berhak memperoleh $1$ hadiah. Peluang kedua hadiah dimenangkan oleh ibu-ibu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{11} \\
(B)\ & \dfrac{1}{5} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{11}{20} \\
(E)\ & \dfrac{33}{64}
\end{align}$
Peluang sebuah insiden dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ yaitu banyak anggota insiden yang diharapkan,
$n(S)$ yaitu banyak anggota insiden yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan ada $12$ ibu-ibu dan $4$ remaja, dan akan dipilih $2$ orang sekaligus secara acak.
Untuk insiden ini $n(S)$ yaitu akan dipilih $2$ orang dari $16$ orang.
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{16} \\
& = \dfrac{11!}{2!(16-2)!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!} \\
& = \dfrac{16 \cdot 15}{2} \\
& = 120
\end{align} $
Untuk $n(E)$ yaitu akan dipilih $2$ ibu-ibu dari $12$ ibu-ibu.
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{12} \\
& = \dfrac{12!}{2!(12-2)!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} \\
& = \dfrac{12 \cdot 11 }{2!} \\
& = 66
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{66}{120} \\
& = \dfrac{11}{20}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{11}{20}$
35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Suatu mesin permainan melempar bola bernomor $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sebanyak $70$ kali. Frekunesi impian muncul bola dengan nomor bilangan prima adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14\ \text{kali} \\
(B)\ & 21\ \text{kali} \\
(C)\ & 28\ \text{kali} \\
(D)\ & 35\ \text{kali} \\
(E)\ & 42\ \text{kali}
\end{align}$
Peluang sebuah insiden dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ yaitu banyak anggota insiden yang diharapkan,
$n(S)$ yaitu banyak anggota insiden yang mungkin terjadi.
Untuk insiden ini ruang sampel yaitu $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sehingga $n(S)=10$
Sedangkan untuk insiden yang diharapkan yaitu bilangan prima yaitu $2,3,5,7$, sehingga $n(E)=4$.
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{4}{10} \\
& = \dfrac{2}{5} \\
\end{align} $
Frekuensi harapan;
$ \begin{align}
f_{h} & = n \cdot P(E) \\
& = 70 \cdot \dfrac{2}{5} \\
& = \dfrac{140}{5} \\
& = 28 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 28\ \text{kali}$
36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Di dalam sebuah kantong terdapat $3$ dadu berwarna hitam, $2$ dadu berwarna coklat, dan $2$ dadu berwarna merah. Jika diambil $2$ buah dadu secara acak, peluang terambil kedua dadu berlainan warna yaitu $\dfrac{a}{b}$ dengan $\dfrac{a}{b}$ merupakan bilangan pecahan yang paling sederhana. Nilai $a+b=\cdots$
Peluang sebuah insiden dirumuskan $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ yaitu banyak anggota insiden yang diharapkan,
$n(S)$ yaitu banyak anggota insiden yang mungkin terjadi.
Pada soal disampaikan ada $3$ dadu berwarna hitam, $2$ dadu berwarna coklat, dan $2$ dadu berwarna merah, dan akan dipilih $2$ dadu sekaligus secara acak.
Untuk insiden ini $n(S)$ yaitu akan dipilih $2$ dadu dari $7$ dadu.
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{7} \\
& = \dfrac{7!}{2!(7-2)!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} \\
& = \dfrac{7 \cdot 6}{2} \\
& = 21
\end{align} $
Untuk $n(E)$ yaitu akan dipilih $2$ dadu dan kedua dadu berlainan warna.
Dalam Bahasa Indonesia sanggup kita tuliskan yang terpilih yaitu $1$ Hitam dari $3$ Hitam dan $1$ Coklat dari $2$ Coklat atau $1$ Hitam dari $3$ Hitam dan $1$ Merah dari $2$ Merah atau $1$ Coklat dari $2$ Coklat dan $1$ Merah dari $2$ Merah.
Secara matematis sanggup kita tuliskan
$ \begin{align}
n(E) & = C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} + C_{1}^{3} \cdot C_{1}^{2} + C_{1}^{2} \cdot C_{1}^{2} \\
& = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\
& = 6 + 3 + 4 \\
& = 13
\end{align} $
$ \begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{13}{21} \equiv {a}{b} \\
\hline
a+b & =13+21=34
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $34$
37. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)
Joni melakukan pelemparan $3$ koin seimbang dan menyingkirkan koin yang menghasilkan angka. Selanjutnya Pino melakukan pelemparan koin yang tersisa bila ada. Peluang Pino melakukan pelemparan koin dengan hasil tepat satu angka adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{64} \\
(B)\ & \dfrac{3}{16} \\
(C)\ & \dfrac{15}{64} \\
(D)\ & \dfrac{5}{16} \\
(E)\ & \dfrac{27}{64}
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal matematika dasar materi pokok Teorema Peluang sanggup dipelajari juga pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar teori peluang, bila ingin melatih bentuk soal yang lebih banyak ihwal teori peluang.
- Anggota Ruang sampel untuk $1$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf yaitu $2$ yaitu $A$ dan $H$
- Anggota Ruang sampel untuk $2$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf yaitu $4$ yaitu $AA$, $AH$, $HA$, $HH$
- Anggota Ruang sampel untuk $3$ koin yang terdiri dari Angka dan Huruf yaitu $8$ yaitu $AAA$, $AAH$, $AHA$, $AHH$, $HAA$, $HAH$, $HHA$, $HHH$
- Jika hasil pelemparan Joni yaitu $3$ abjad $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{1}{8} \right)$, maka peluang Pino menerima tepat satu angka adalah: $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{64}$
- Jika hasil pelemparan Joni yaitu $2$ abjad $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{3}{8} \right)$, maka peluang Pino menerima tepat satu angka adalah: $\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{32}$
- Jika hasil pelemparan Joni yaitu $1$ abjad $\left( \text{*peluangnya}\ \dfrac{3}{8} \right)$, maka peluang Pino menerima tepat satu angka adalah: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{16}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ \dfrac{27}{64}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar akhir penilaian harian matematika,
- lembar akhir penilaian selesai semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Matematika disajikan lewat lagu, mari kita simak pada video berikut;
Belum ada Komentar untuk "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Teori Peluang"
Posting Komentar