Uji Kompetensi Bentuk Akar Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.2)
Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.2). Soal dari buku kurikulum 2013 yang kita coba diskusikan ialah soal uji kompetensi 1.2, tepatnya dari topik pembahasan bentuk akar.
Pada uji kompetensi tersebut diberikan beberapa soal latihan dan yang kita diskusikan disini ialah dari soal tantangan. Soal-soal yang disajikan pada kurikulum ini banayk mengarah ke soal-soal olimpiade matematika. Seperti sebelumnya soal dan pembahasan uji kompetensi eksponen sudah kita diskusikan, sekarang mari kita mulai berdiskusi perihal bentuk akar;
1a. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3 \cdots}}}}}}}}$
Soal diatas biar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya ialah $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan teladan yang berulang'.
Untuk merampungkan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$
Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\frac{1}{2} a^{3}$
Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{4} a^{6}$
Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{12} a^{6}$
Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ a\ =\frac{1}{12} a^{6}$
$ 1\ =\frac{1}{12} a^{5}$
$ 12\ =\ a^{5}$
$ a=\sqrt[5]{12}$
1b. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}$
Seperti soal (1a), soal diatas biar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya ialah $ \sqrt{2}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan teladan yang berulang'
Untuk merampungkan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$
Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$
Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ b\ =\ b^{2}-2$
$ b^{2}-b-2=0$
Bentuk diatas sudah menjadi bentuk persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan kuadrat salah satunya dengan cara memfaktorkan sehingga kita peroleh:
$ \left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right )=0$
$ b-2=0\ atau\ b+1=0$
$ b+1=0$ sehingga $ b=-1$ tidak memenuhi alasannya ialah ialah akar kuadrat dari bilangan faktual kesudahannya ialah bilangan positif.
Hasil dari soal diatas yang memenuhi ialah $ b-2=0$ sehingga $ b=2$
1c. Tentukan nilai dari:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
Soal diatas biar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya ialah $ 1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}$ yang ditulis secara berulang menjadi
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan teladan yang berulang'.
Untuk merampungkan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}\ =\ c^2$
sekarang kita hanya mencari nilai $ c^2$,
Bentuk soal mampu kita rubah menjadi
$ 1+\frac{1}{c}=c^2$
$ c+1=c^3$
$ c^3-c-1=0$
Sampai pada langkah ini saya kehabisan kata-kata, langsung saya meminta pertolongan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya ialah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhka nilai $ c^2=(1,3247...)^2=1,7548...$
Pemisalan soal mampu juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal mampu menjadi;
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c$
$ \frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c-1$
$ c \sqrt{c} - \sqrt{c} =\ 1$ (lalu dikuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)
$ c^3 -2c^2+c=\ 1$
$ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$
Sampai pada langkah ini saya kembali kehabisan kata-kata, dan kembali saya meminta pertolongan kepada wolframalpha dan diperoleh solusi realnya ialah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,7549...$
Kata sobat (yang saya anggap teman) untuk mencari solusi $ c^3-c-1=0$ atau $ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$ mampu diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini baru saja saya dengar.
Jika pembaca ada wangsit lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.
2. Jika $ a,b$ ialah bilangan asli dengan $ a\leq b $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ ialah bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ (OSN 2005/2006)
$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ ialah bilangan rasional sehingga dpat kita tuliskan sebuah persamaan;
$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ ialah bilangan asli serta $ m\ dan\ n$ keduanya relatif prima (FPB dari $ m\ dan\ n$ ialah 1).
$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=m\sqrt{4}+m\sqrt{b}$
$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=2m+m\sqrt{b}$
$ n\sqrt{3}-2m=m\sqrt{b}-n\sqrt{a}$
$ \left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^2$
$ 3n^2+4m^2-4mn\sqrt{3}=m^2b+n^2a-2mn\sqrt{ab}$
Karena $ a, b, m, n$ semuanya ialah bilangan asli maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$
kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ ialah $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$
Jika $ a=1\ dan\ b=12$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\frac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)
Jika $ a=2\ dan\ b=6$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Jika $ a=3\ dan\ b=4$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Pasangan (a,b) ialah (1,12)
3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
$ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
$ \frac{\sqrt[3]{b c^\frac{1}{2}}}{\sqrt{c a^\frac{1}{3}}}=abc$
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} c^\frac{1}{6}}{c^{\frac{1}{2}} a^\frac{1}{6}}=abc$
$ \frac{b^\frac{1}{3}}{b}=\frac{a\cdot a^\frac{1}{6}\cdot c\cdot c^\frac{1}{2}}{c^\frac{1}{6}}$
$ b^\frac{-2}{3}=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}$
$ b^\frac{-2}{3}=a^\frac{7}{6}\cdot c^\frac{4}{3}$
$ b=a^\frac{-21}{12}\cdot c^\frac{-12}{6}$
$ b=a^\frac{-7}{4}\cdot c^{-2}$
4. Sederhanakan bentuk $ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
$ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
kita coba sederhanakan dengan menggunakan sifat
$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau
$ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$
$ =\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
$ =\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}}$
$ =\sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}}$
$ =\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$
$ =\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
$ =\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}}$
$ =\sqrt{3} -\sqrt{2}$
5. Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari:
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Untuk mencoba merampungkan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan cara merasionalkan penyebut;
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$ \vdots $
$ \frac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$
$ \frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
Dari bentuk yang sudah disederhanakan diatas kalau kita jumlahkan mirip soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+ \cdots +\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$
$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$
dengan melihat hasil simpulan dan yang diminta soal ialah $ \sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai a ialah 1.000.001 dan b ialah 2
6. Hitunglah $ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\cdots$
Untuk meyelesaikan soal ini konsep dasar yang kita pakai sama dengan konsep yang dipakai pada soal nomor 4 yaitu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}$ atau $ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}$
$ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}$
$ =\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}}$
$ =\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7}$
$ =12$
7. Jika $ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$, tentukan nilai $x-y=\cdots$
$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$
Ruas kiri pada soal diatas dengan komplemen kreativitas mampu kita selesaikan, soal mampu kita rubah bentuk menjadi sebagai berikut;
$\left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^2-3^2 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^4-3^4 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^8-3^8 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{64}-3^{64} \right )$
$ x=64\ dan\ y=64 \Rightarrow x-y=0$
Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasSaran atau kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait duduk kasus alternatif penyelesaian Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 sangat diharapkan😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Jadi Kreatif;
Belum ada Komentar untuk "Uji Kompetensi Bentuk Akar Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.2)"
Posting Komentar