Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar

Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas perihal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Tetapi untuk melengkapi matematika dasar limit fungsi, ada dua materi limit yang juga harus kita pahami yaitu Limit Fungsi Trigonometri dan Limit Fungsi Tak hingga. Penerapan limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam mempelajari turunan dan hingga kepada integral.

Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada limit fungsi aljabar juga sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan simpel memahami soal-soal limit fungsi aljabar dan menemukan solusinya.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang memakai konsep limit fungsi.

Contoh sederhananya dikala kita mengukur berat badan dan karenanya terlihat yaitu $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini bergotong-royong belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah mampu mewakili hasil pengukuran, alasannya ialah yaitu berat badan kita yaitu mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" yaitu salah satu kata kunci dalam berguru limit fungsi.

Limit Fungsi Aljabar ini merupakan dasar atau modal kita dalam mencoba merampungkan duduk perkara yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan hingga kepada Integral Fungsi.

Beberapa sampel soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional) atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.

Pembahasan limit fungsi aljabar yang kita jabarkan di bawah ini masih jauh dari sempurna, jadi bila ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sedikit informasi komplemen yang mungkin tidak terlalu penting, kemarin siswa baru selesai penilaian harian perihal limit dan ada beberapa siswa yang mendapatkan nilai sempurna, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini alasannya ialah yaitu hasil sempurna.

Sebagai catatan sederhana perihal limit fungsi yaitu baik untuk limit fungsi aljabar dan trigonometri.

Berdasarkan defenisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ mampu ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.

Tetapi bila nilai yang dihasilkan yaitu bentuk tak tentu antara lain $\dfrac{0}{0}, \, \dfrac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan akar sekawan atau dengan manipulasi aljabar lainnya, selama tidak menyalahi aturan-aturan pada matematika.

Menyelesaikan Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran

Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:

• $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
• $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
• $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dengan mengalikan akar sekawan

Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:

• $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
• $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
• $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Teorema Limit Fungsi Yang Sangat Penting Dalam merampungkan Masalah Limit Fungsi

Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ yaitu fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} c=c$
• $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Metode L'Hospital atau Menggunakan Turunan

Cara merampungkan limit dengan turunan ini yaitu komplemen alasannya ialah yaitu kita harus sudah mengenal atau berguru Turunan Fungsi. Tetapi bila belum mengenal atau berguru Fungsi Turunan, memakai cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{0}{0} \,$
Maka manipulasi aljabar pada limit fungsi tersebut diselesaikan dengan turunan, yaitu:
$ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)} =
\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime \prime} (x)}{g^{\prime \prime} (x)}=L$

Mari kita simak rujukan Soal Limit Fungsi dan Pembahasannya 😊

1. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$

2. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{6} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\
& = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{6}$

3. Soal UM UPI 2009

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 4 \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)+\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

4. Soal UM UNPAD 2006

$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 21
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, alasannya ialah yaitu bila $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit yaitu $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$

Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{4} &= b \\
2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\
&= 21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ yaitu dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -35 \\
(B)\ & -30 \\
(C)\ & -15 \\
(D)\ & -3 \\
(E)\ & -1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, alasannya ialah yaitu bila $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit yaitu $\infty$.

Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ yaitu $0$ maka $x-2$ yaitu salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\
1 &= m \\
2a &= n-2m=n-2 \\
b &= -2n
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} (x+n) & =-3 \\
2+n & =-3 \\
n &= -3-2 \\
n &= -5
\end{align}$

Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\dfrac{7}{2}$

Nilai $ab=-\dfrac{7}{2} \cdot 10 = -35$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$

6. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & B=A^{2} \\
(B)\ & 4B^{2}=A \\
(C)\ & 4B=A^{2} \\
(D)\ & 4B=A \\
(E)\ & A+B=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, alasannya ialah yaitu bila $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit yaitu $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$

Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0}{lim} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$

7. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226(*Soal Lengkap)

Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\dfrac{b+c}{a}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, alasannya ialah yaitu bila $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit yaitu $\infty$.

Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ yaitu salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\
-1 &= n \\
b &= n-m \\
b &= -1-m \\
a &= m
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx+n) & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx-1) & =-4 \\
m-1 & =-4 \\
m &= -4+1 \\
m &=-3
\end{align}$

Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2+1}{-3}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

9. Soal UM UGM 2014 Kode 531 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{6}{7} \\
(D)\ & \dfrac{9}{8} \\
(E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\
& = \sqrt{4+2h^{2}} \\
f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\
& = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\
& = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\
& = \dfrac{5}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{5}{4}$

10. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan limit ini untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, alasannya ialah yaitu $x \to 0$ maka $m \to 1$.
Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah mampu kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}}$.

Soal ini mampu kita kerjakan dengan mengalikan akar sekawan tetapi prosesnya lebih panjang jadi untuk soal ini kita coba dengan memakai turunan;
turunan $m-1$ yaitu $1-0=1$.
turunan $1-m^{\frac{2}{3}}$ yaitu $0-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}=-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$

11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}+3) \\
(B)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}+2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}( \sqrt{3}+1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2) \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}-2)
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.

Jarak dua titik mampu kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

• Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ yaitu $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
• Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ yaitu $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
• Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ yaitu $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
• Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ yaitu $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
• Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ yaitu $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square ABCD \\
& = AB+BC+CD+DA \\
& = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 3+y+\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\
& = AC+CD+DA \\
& = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 2+2\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\
& = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\
& = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\
& = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\
& = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\
& =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$

12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{5+2\sqrt{5}}{5} \\
(B)\ & \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{5-2\sqrt{5}}{5} \\
(E)\ & \dfrac{5-\sqrt{5}}{5}
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.

Jarak dua titik mampu kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

• Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ yaitu $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
• Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ yaitu $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
• Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ yaitu $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
• Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ yaitu $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
• Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ yaitu $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
• Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ yaitu $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\
& = BC+CD+DB \\
& = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square OABD \\
& = OA+AB+BD+DO \\
& = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\
& = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\
& = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\
& = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\
& = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\
& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\
& = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27}=-\dfrac{1}{3^{5}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bulat positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal limit di atas sehingga karenanya ibarat yang diharapkan, kita coba dengan memakai turunan. Kita anggap pada turunan pertama nilai limit untuk $x \to -3$ karenanya yaitu $-\dfrac{1}{3^{5}}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{a}x^{-1}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-\frac{1}{ax^{2}}}{3bx^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3bx^{2} \cdot ax^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3abx^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{3ab(-3)^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{ ab3^{5}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
ab & = 1
\end{align}$
Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $ab=1$ yaitu $a=1$ dan $b=1$, maka $a+b=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\
(B)\ & \dfrac{1}{128} \\
(C)\ & \dfrac{1}{256} \\
(D)\ & \dfrac{1}{512} \\
(E)\ & \dfrac{1}{1024}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal limit diatas, kita coba dengan memisalkan $\sqrt{x}=p$ sehingga $x^{2}=p^{4}$ dan alasannya ialah yaitu $x \to 4$ maka $p \to 2$, perubahan pada soal menjadi;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \times \dfrac{p+\sqrt{3p-2}}{p+\sqrt{3p-2}} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p^{2}-(3p-2)}{\left (p^{2}-4 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{(p-2)(p-1)}{\left (p-2 \right )\left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{ (p-1)}{ \left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \dfrac{ (2-1)}{ \left (2+2 \right )\left (2^{2}+4 \right )\left (2+\sqrt{3(2)-2} \right )} \\
& = \dfrac{1}{ \left (4 \right )\left (8 \right )\left (4 \right )} = \dfrac{1}{128}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{128}$

15. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\
& = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\
& = 3+\sqrt{9}=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

16. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{3-\sqrt{x+1-\sqrt{2x+5}}} \times \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{3-x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \\
(B)\ & 5-2\sqrt{6} \\
(C)\ & 2\sqrt{6} \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 5+2\sqrt{6}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\
& = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\
& = 5+2\sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$

18. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

19. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -12 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\
& = -16 \\
4-a & = 4-(-16)=20
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$

20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{2\sqrt{5}} \\
(B)\ & 2\sqrt{5} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{4}{5\sqrt{5}} \\
(E)\ & \dfrac{4}{5} \sqrt{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $

21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Misalkan $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2} $, maka bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ harus $0$, alasannya ialah yaitu bila $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit yaitu $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & = 0 \\
a(4)^{2}+b(4)-\sqrt{4} & = 0\\
16a +4b -2 & = 0\\
16a +4b & = 2 \\
8a +2b & = 1
\end{align}$

Karena nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ untuk $x=4$ yaitu $0$ maka $x-4$ yaitu salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv (x-4)(mx+n) \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+nx-4mx-4n \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+(n-4m)x-4n \\
a &= m \\
\sqrt{x} &= 4n
\end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16} &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{(x-4)(x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ (ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{ (x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\dfrac{ (a(4)+\dfrac{1}{4}\sqrt{4}) }{ (4+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
4a+\dfrac{1}{2} &= 4 \\
4a &= \dfrac{7}{2} \\
a &= \dfrac{7}{8} \\
\hline
8 \left( \dfrac{7}{8} \right) +2b & = 1 \\
7 +2b & = 1 \\
2b & = -6 \\
b & = -3
\end{align}$

Nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ dinotasikan $\left \lfloor a-2b \right \rfloor$
$\begin{align}
\left \lfloor a-2b \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{7}{8}-2(-3) \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{7}{8}+6 \right \rfloor \\
& = 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 10x \\
(E)\ & 5x^{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari informasi pada soal, yang ditanyakan yaitu $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal yaitu turunan fungsi $f(x)$.
Defenisi turunan fungsi $f(x)$ yaitu $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\
f'(x) &=10x
\end{align}$

Tetapi bila ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi,
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\
& = 10x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 10x$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(E)\ & -6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Bentuk soal limit fungsi di atas mampu kita kerjakan dengan memakai turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\
& = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\
& = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\
& = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$

24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{A}{2} \\
(B)\ & \dfrac{A}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\
&= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \dfrac{A}{2}$

25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2-A}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{A}{2} \\
(C)\ & \dfrac{A-2}{4} \\
(D)\ & \dfrac{A}{4} \\
(E)\ & \dfrac{A+2}{4} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{A-2}{4}$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{2}{15} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{15} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{15} \\
(E)\ & \dfrac{2}{15} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right ) &= 2 \\
\dfrac{\sqrt[3]{2a+b}}{2+1} &= 2 \\
\sqrt[3]{2a+b} &= 6
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\
&= \dfrac{0}{15}=0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 0$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12}A \\
(B)\ & \dfrac{1}{12}(A-2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{12}(A-1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{12}(A-6) \\
(E)\ & \dfrac{1}{12}(A-8)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right ) &= A \\
\dfrac{\sqrt[3]{a(2)^{3}+b}}{2-1} &= A \\
\sqrt[3]{8a +b} &= A
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\
&= \dfrac{A-8}{12}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $\dfrac{1}{12}(A-8)$

28. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{5}{6} \\
(C)\ & \dfrac{6}{7} \\
(D)\ & \dfrac{7}{6} \\
(E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3)(x-3)}{(2x-1)(x-3)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3) }{(2x-1) } \\
& = \dfrac{(3+3) }{(2(3)-1) } = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ \dfrac{6}{5}$

Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada

• lembar balasan penilaian harian matematika,
• lembar balasan penilaian tamat semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait duduk perkara alternatif penyelesaian soal Limit Fungsi Aljabar sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Bagaimana Matematika mampu mensugesti abjad kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;

Bagikan Artikel ini