Matematika Pilar (Pintar Bernalar): Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers (Fkfi)

MMatematika PiLar (Pintar Bernalar): Fungsi Komposisi (FKFI) beriktu ini kita pakai cara PiLar (Pintar Bernalar) dalam mengerjakan FKFI (Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers). Cara PiLar (Pintar Bernalar) yang saya maksud hanya penambahan istilah dalam merampungkan soal-soal matematika secara kreatif, meskipun bergotong-royong tidak benar-benar kreatif😊😊.

Dengan memodifikasi beberapa rumus yang ada untuk merampungkan soal, diperolehlah sebuah cara kreatif 😊😊 untuk menemukan balasan pada soal.

Pada bimbingan test atau bimbingan mencar ilmu cara-cara ibarat ini tidak ajaib lagi, cara ini sering kita dengar dengan beberapa istilah, antara lain: Cara Cepat (*CarCep), Smart Solution (*SS), Jalan Pintas (*JP), Cara Kreatif (*CK), Cara Pintar (*CP), Fastes Solution (*FS), CarE (*Cara Efisien) dan lain sebagainya [*silahkan ditambahkan pada kotak komentar].

Kemarin Pak Anang salah seorang anggota Matematika Nusantara (MN) menyebarkan istilah yang masih tergolong baru, yaitu 'Cara Lirikan'. Jadi ketika ketemu soal, jawabnya tinggal lirik saja atau mengerjakan soal hanya dengan satu, dua, atau tiga lirikan saja.

Istilah-istilah diatas mempunyai tujuan yang sama yaitu agar para siswa lebih simpel dalam memahami materi atau menemukan balasan soal dengan waktu yang lebih cepat. Tetapi diperlukan siswa tetap memahami prosedural-prosedural yang umum dalam merampungkan masalah-masalah matematika.

Agar istilah-istilah yang ada tidak terdengar busuk atau kedaluwarsa, maka kita coba perkenalkan istilah yang gres yaitu "Cara PiLar" (Pinta Bernalar). Ini terispirasi dari aktivitas pemerintah yang kembali mengangkat aktivitas 4 pilar dan sebab adalah semakin lemahnya masyarakat bernalar.

Awalnya ukiran pena ini mau dipakai dengan "Cara Nakal", tetapi sebab adalah akhirnya negatif sehingga istilahnya kita modifikasi kembali. Untuk "Cara Nakal" itu sendiri terinspirasi dari belum dewasa bandel atau belum dewasa yang diberi cap "nakal atau bandal" Anak Nakal itu adalah anak yang mempunyai akal, sedangkan Anak Bandal itu adalah anak yang mampu di andalkan. Jadi kita sebagai seorang guru atau orang tua hanya perlu sedikit kesabaran dan mencar ilmu banyak untuk melihat bagaimana menyebarkan budi anak dengan baik atau bagaimana kita mampu menggandalkan belum dewasa dengan baik.

Kembali kepada Cara PiLar (Pintar Bernalar) Mengerjakan Soal Matematika Tentang FKFI (Fungsi Komposisi Fungsi Invers) yang kita sebutkan di awal. Mari kita coba dengan beberapa contoh soal yang diujikan pada SBMPTN pada beberapa tahun terakhir.

Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$ . Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang mampu kita tuliskan, antara lain;

• Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
• $\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
• $\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1}of^{-1} \right )\left ( x \right )$
• $\left ( f^{-1}of \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
• $\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
• Jika $f\left ( x \right )=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
• Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$

Sedikit penambahan ihwal fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari sebuah fungsi.
Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$,
Untuk Nilai fungsi pertanyaanya adalah berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$.

Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya adalah $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau mampu kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$.

Jika kedua pertanyaan diatas kita jawab menjadi $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum sudah ditampilkan pada sifat komposisi diatas yaitu Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.

SOAL SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)

Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
(A) $f^{-1}\left ( x \right )+4$
(B) $4-f^{-1}\left ( x \right)$
(C) $f^{-1}\left ( x+4 \right)$
(D) $-f^{-1}\left ( x \right)-4$
(E) $f^{-1}\left ( x \right)-4$

Alternatif Pembahasan: show

$g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( x-2 \right)=a$ dan $f\left ( x+2 \right)=a$.
$g\left ( x-2 \right)=a$
$g^{-1}\left ( a \right )=x-2$
$g^{-1}\left ( a \right )+2=x$

$f\left ( x+2 \right )=a$
$f^{-1}\left ( a \right )=x+2$
$f^{-1}\left ( a \right )=g^{-1}\left ( a \right )+2+2$
$f^{-1}\left ( a \right )=g^{-1}\left ( a \right )+4$
$f^{-1}\left ( a \right )-4=g^{-1}\left ( a \right )$
$g^{-1}\left ( a \right )=f^{-1}\left ( a \right )-4$

SOAL SBMPTN 2016 Kode 324 (*Soal Lengkap)

Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
(A) $g^{-1}\left ( x \right )-4$
(B) $g^{-1}\left ( x \right)-2$
(C) $\frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2$
(D) $\frac{1}{2}\left (g^{-1}\left ( x \right)-2 \right)$
(E) $\frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kenakalan ibarat soal sebelumnya yaitu memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$g\left ( 4+2x \right)=y$
$g^{-1}\left ( y \right )=4+2x$
$g^{-1}\left ( y \right )-4=2x$
$\frac{1}{2} \left (g^{-1}\left ( y \right )-4 \right )=x$
$\frac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2=x$

$f\left ( x \right )=y$
$f^{-1}\left ( y \right )=x$
$f^{-1}\left ( y \right )=\frac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2$

$\therefore f^{-1}\left ( x \right )=\frac{1}{2} g^{-1}\left ( x \right )-2$

SOAL SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)

Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
(A) $2x+8$
(B) $2x-8$
(C) $8-2x$
(D) $\frac{x}{2}-4$
(E) $4-\frac{x}{2}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini mampu kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan mampu $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita mampu bandel dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan $\frac{x}{2}+3=a$
$\frac{x}{2}=a-3$
$x=2a-6$

$f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-\left ( 2a-6 \right)$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-2a+6$
$f^{-1}\left ( a \right)= 8-2a$

$\therefore f^{-1}\left ( x \right )=8-2x$ $\C$

SOAL SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$
(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-\frac{3}{2}$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $3$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini mampu kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit bandel memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$
atau mampu kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$

$f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2}$
$f \left ( -1 \right)= \frac{-p+q}{-1+2}$
$q= \frac{-p+q}{1}$
$q= -p+q$
$p=0$

$f \left ( x \right)= \frac{q}{x+2}$
$f^{-1} \left ( \frac{q}{x+2} \right)= x$
kita misalkan $\frac{q}{x+2}=2q$ sebab adalah kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$q=2qx+4q$
$-3q=2qx$
$x=\frac{-3q}{2q}$

$\therefore f^{-1}\left ( 2q \right )=-\frac{3}{22}$ $\C$

SOAL SBMPTN 2013 Kode 427 (*Soal Lengkap)

Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ adalah $\cdots$
(A) $-1$
(B) $0$
(C) $1$
(D) $2$
(E) $3$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menjawab soal ini mampu juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan mampu $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita mampu bandel dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\frac{x-6}{x+3}=-2$ sebab adalah kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$x-6=-2x-6$
$-6+6=-3x$
$x=0$

$f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{0-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{-1}$

$\therefore f^{-1}\left ( -2 \right )=-1$ $\A$

Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk lebih mantap lagi bekerja secara pilar, coba ambil beberapa soal latihan yang lain dan kalau masih ada kendala maka mari kita diskusikan. Tetap kita ingatkan bahwa cara pilar ini adalah alternatif penyelesaian, kalau merasa ada cara yang lain lebih simpel kalian terapkan silahkan skip cara ini.

Silahkan disimak juga Kumpulan Soal Lengkap dan Modul atau Ebook Untuk Menghadapi SBMPTN (*lihat disini).

Jika tertarik untuk membahas soal Ujian Nasional SMA, silahkan di simak Kumpulan Soal Ujian Nasional [UN] Untuk SMA - Update 2018 (*lihat disini)

Jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan😊CMIIW. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mengerjakan pembagian pecahan super keren;

Bagikan Artikel ini