Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal Bse Matematika Sma Kelas 2 Ipa)

Kita sanggup pertanyaan dari sobat grup sebelah, mumpung lagi ada waktu luang kita bahas yuk Mat, kata Tika yang dari tadi asyik senyum-senyum sendiri melihat telepon pintarnya.

Tentang apa soalnya Tika, apakah kamu yakin kita bisa selesaikan soalnya, balas Mat.

Ini soalnya ada beberapa Mat sepertinya ihwal Aplikasi Turunan Fungsi, aku yakin kamu bisa koq,. Kita bahas satu persatu aja iya Mat...

Soal Pertama:

Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi $x$ unit barang jenis A sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi biar biaya produksi per unitnya minimum.

Alternatif Pembahasan: show

Dari soal kita ketahui bahwa setiap harinya biaya produksi $x$ unit ialah $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$.
Jadi untuk setiap hari, pembuatan $x$ unit barang jenis A diperlukan biaya sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$,
Misal:
Untuk $1$ unit total biayanya ialah $2(1)^{3}-4.000(1)^{2}+6.000.000(1)=5.996.002$ dan biaya per unitnya $5.996.002$
Untuk $2$ unit total biayanya ialah $2(2)^{3}-4.000(2)^{2}+6.000.000(2)=11.984.016$ dan biaya per unitnya $5.992.008$
Untuk $3$ unit biayanya ialah $2(3)^{3}-4.000(3)^{2}+6.000.000(3)=17.964.054$ dan biaya per unitnya $5.988.018$
dan seterusnya...
Jika unit diproduksi semakin banyak sepertinya biaya semakin besar tetapi biaya per unitnya semakin murah. Untuk itulah kita diminta coba hitung berapa unit yang akan di produksi biar biaya minimum.

Biaya pembuatan $x$ unit barang jenis A diperlukan biaya sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$. Jika fungsi biaya pembuatan $1$ unit barang jenis A kita misalkan dengan $B$, maka biaya untuk pembuatan $1$ unit ialah $B=\frac{2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x}{x}=2x^{2}-4.000x+6.000.000$

Dari fungsi biaya produksi $1$ unit $B=2x^{2}-4.000x+6.000.000$. Untuk menghitung nilai $B$ kapan minimum, kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu dikala $B'=0$.
$B=2x^{2}-4.000x+6.000.000$
$B'=4x-4.000$
dikala $B'=0$ maka kita peroleh
$4x-4.000=0$
$4x=4.000$
$x=\frac{4000}{4}=1.000$
Jadi biar biaya pembuatan 1 unit barang jenis A minimum baiknya diproduksi $1.000$ unit setiap hari.

Soal Kedua:

Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibuat talang air. Kedua tepinya dilipat selebar $x$, ibarat pada gambar berikut.

Jika lebar seng tersebut $40\ cm$, tunjukkan bahwa:
(a). luas penampang talang ialah $L (x) = 40x – 2x^{2}$;
(b). tentukan ukuran penampang $L(x) = 40x – 2x^{2}$.

Alternatif Pembahasan: show

Talang seng umumnya berfungsi untuk mengkontrol aliran air hujan pada ruma, sehingga talang seng berada diatas tepat dibawah dan diujung atap rumah. Jika belum bisa membayangkan talang seng itu atau belum mengenal talang seng, coba di search pada google image dengan kata kunci "talang seng". Mungkin dengan melihat gambar yang lebih kasatmata proses perhitungan lebih simpel dipahami.

Lebar seng $40\ cm$ lalu pada kedua sisi seng dilipat selebar $x$ sehingga lebar penampang seng sekarang ialah $40-2x$, dan tinggi talang ialah $x$.

Yang dimaksud dengan luas penampang talang $(L)$ ialah luas lantai talang (*pada gambar diatas yang biru) dikalikan tinggi talang (*pada gambar merah).
$L=(40-2x)(x)=40x – 2x^{2}$.
Untuk pertanyaan yang (a) sepertinya sudah terbukti, tetapi untuk pertanyaan (b) sepertinya masih ada yang kurang kalimatnya, seharusnya tentukan ukuran penampang talang biar luas penampang talang maksimum.

Dari fungsi $L(x) = 40x – 2x^{2}$. Untuk menghitung nilai $L$ kapan maksimum, kita coba dengan memakai turunan pertama yaitu dikala $L'=0$.
$L(x) = 40x – 2x^{2}$
$L'(x)=40-4x$
dikala $L(x)'=0$ maka kita peroleh
$40-4x=0$
$4x=40$
$x=\frac{40}{4}=10$
Jadi biar luas penampang maksimum pada tepinya dilipat selebar $10$, sehingga lebar lantai talang $20\ cm$ dan tinggi talang $10\ cm$.

Soal Ketiga:

Luas sebuah juring lingkaran yang berjari-jari $r$ ialah $4\ cm^{2}$.
(a). Tunjukkan bahwa kelilingnya ialah $K(r)\ cm$ dengan $K(r) = 2 \left( r+\frac{4}{r} \right)$.
(b). Tentukan nilai minimum $K$.

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui bahwa Luas Juring ialah $L_{J}=4\ cm^{2}$ dengan jari-jari $r$, berdasarkan isu ini bisa kita simpulkan bahwa:
$L_{J}=4\ cm^{2}$
$L_{J}=\frac{\theta }{2 \pi} \times L_{\odot}$
$4=\frac{\theta }{2 \pi} \times \pi r^{2}$
$\frac{\theta }{2 \pi}=\frac{4}{\pi r^{2}}$

Keliling Juring sanggup kita hitung dengan aturan
$K_{J}=\frac{\theta }{2 \pi} \times K_{\odot}+2r$
$K_{J}=\frac{4}{\pi r^{2}} \times 2 \pi r+2r$
$K_{J}=\frac{8 \pi r}{\pi r^{2}}+2r$
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}= 2 \left( r+\frac{4}{r} \right)$

Untuk serpihan (a) sudah terbukti, untuk serpihan (b) nilai minimum $K$ kita coba memakai turunan pertama yaitu memakai $K'=0$.
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}= 8r^{-1}+2r$
$K'_{J}= -8r^{-2}+2$
$K'_{J}=-\frac{8}{r^{2}}+2$
Untuk $K'_{J}=0$, maka
$-\frac{8}{r^{2}}+2=0$
$-8+2r^{2}=0$
$r^{2}-4=0$
$(r-2)(r+2)=0$
$r=2$ atau $r=-2$
Nilai $r$ yang memenuhi ialah $r=2$ alasannya ialah ialah $r$ ialah sebuah panjang jari-jari.

Keliling minimum $K$ ialah dikala $r=2$
$K(2) = 2 \left( 2+\frac{4}{2} \right)$
$K(2) = 2 \left( 2+2 \right)$
$K(2) = 8$

Soal Keempat:

Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume $V$. Upah buruh $(c)$ berbanding pribadi dengan panjang serpihan yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling ganjal kaleng.
(a). Jika tinggi kaleng $t$ dan jari-jari ganjal $r$, buktikan bahwa $c = k \left( \frac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$
dengan $k = \text{konstanta}$.
(b). Buktikan bahwa upah buruh $(c)$ paling murah jikalau tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.

Alternatif Pembahasan: show

Upah buruh ialah dari berapa banyak tabung yang tanggapan dikerjakan $(k)$. Untuk setiap tabung buruh harus mempatri sebanyak tiga kali yaitu keliling lingkaran sebanyak 2 kali dan satu kali tinggi tabung.

Upah buruh $(c)$, sanggup kita hitung menjadi dalam persamaan;
$c=k(t+2(2 K_{\odot})$
$c=k(t+2(2 \pi r)$
$c=k(t+4 \pi r)$
dimana kita ketahui bahwa $V=\pi r^{2} \times t$
$c=k \left( \frac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$

Untuk serpihan (a) sudah terbukti, untuk serpihan (b) upah buruh $(c)$ paling murah jikalau tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.

Soal Kelima:

Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri sehabis $t$ menit diberikan oleh persamaan $N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$, $0 \leq t \leq 20$
Tentukan kapan pertumbuhan bakteri tersebut
(a). menurun,
(b). meningkat, dan
(c). mencapai maksimum.

Alternatif Pembahasan: show

Untuk melihat kapan pertumbuhan bakteri menurun, meningkat dan maksimum pada dikala $0 \leq t \leq 20$ sanggup kita hitung dengan memakai turunan pertama $N'(t)$.
$N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$
$N'(t) = 60t – 3t^{2}$

(a) Bakteri menurun saat
$N'(t) < 0 \\
60t – 3t^{2} < 0 \\
3t^{2}-60t\ > 0 \\
t(3t-60)\ > 0 \\
t < 0\ \text{atau}\ t < 20$

(b) Bakteri meningkat dikala
$N'(t) > 0 \\
60t – 3t^{2} > 0 \\
3t^{2}-60t < 0 \\
t(3t-60) < 0 \\
0 < t < 20$

Jika masih kesulitan merampungkan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

(c) Bakteri mencapai masksimum dikala $t=20$ alasannya ialah ialah $N"(t)=60-6t$ bernilai negatif dikala $t=20$.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $N(t)$ dikala $t=0$ dan $t=20$, maka akan diperoleh masksimum dikala $t=20$.

Soal Keenam:

Setelah satu jam $x$ miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan $T(x) = x^{2} \left(1- \frac{x}{9} \right)$, $0 \leq t \leq 6$
Rata-rata perubahan $T(x)$ bersesuaian dengan ukuran dosis $x$. $T(x)$ disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?
b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?
c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?

Alternatif Pembahasan: show

Untuk melihat sensitivitas tubuh menurun, meningkat dan maksimum pada dikala $0 \leq t \leq 6$ sanggup kita hitung dengan memakai turunan pertama $T'(x)$.
$T(x) = x^{2} \left(1- \frac{x}{9} \right)$
$T(x) = x^{2}- \frac{1}{9}x^{3}$
$T'(x) = 2x- \frac{1}{3}x^{2}$

(a) sensitivitas tubuh meningkat dikala
$T'(x) > 0 \\
2x- \frac{1}{3}x^{2} > 0 \\
\frac{1}{3}x^{2}-2x < 0 \\
x(\frac{1}{3}x-2) < 0 \\
0 < x < 6$

Jika masih kesulitan merampungkan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

(b) sensitivitas tubuh meningkat dikala
$T'(x) < 0 \\
2x- \frac{1}{3}x^{2} < 0 \\
\frac{1}{3}x^{2}-2x\ > 0 \\
x(\frac{1}{3}x-2)\ > 0 \\
x < 0\ \text{atau}\ x > 6$

(c) sensitivitas tubuh maksimum dikala $x=6$ alasannya ialah ialah $T"(x)=2- \frac{2}{3}x$ bernilai negatif dikala $x=6$.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $T(x)$ dikala $x=0$ dan $t=6$, maka akan diperoleh masksimum dikala $x=6$

Sudah Mat, soalnya sudah habis... Untuk soal keempat serpihan (b) besok kita diskusikan lagi, sepertinya kita masih kesulitan bagaimana membuktikannya.

Oh iya Mat soal ini ternya diambil dari Buku Sekolah Elektronik (BSE) yang sempat menjadi acara andalan pemerintah dalam memajukan pendidikan di Indonesia. Untuk teman-teman yang mau melihat pribadi soal pada bukunya silahkan download saja BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika SMA Kelas 2 IPA yang ditulis oleh Wahyudin Djumanta dan rekan.

Hari ini kami diskusinya berdua dan biasanya diskusinya bertiga bersama Ema,.. nah siapa tahu Tika dan Mat ada kesalahan dalam perhitungan diatas tidak usah sungkan iya untuk mengkreksi. Sampai jumpa, jangan lupa juga lihat diskusi kami yang lainnya dan Semoga Bermanfaat.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Bagikan Artikel ini