Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Fungsi

Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas ihwal Matematika Dasar Integral Fungsi. Tetapi jikalau kita ingin mencar ilmu matematika dasar fungsi kuadrat, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham ihwal matematika dasar turunan fungsi, alasannya yaitu ini yaitu salah satu syarat perlu, semoga lebih cepat dalam mencar ilmu integral fungsi.

Penerapan integral fungsi dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan luas tempat yang bentuknya tidak beraturan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada integral fungsi juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan praktis memahami soal-soal integral fungsi dan menemukan solusinya.

Ketika akan merampungkan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ mampu kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jikalau $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ mampu dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

Keterangan Tambahan:
$\int f(x) = \text{notasi integral tak tentu}$
$F(x)+c = \text{fungsi antiturunan}$
$f(x) = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}$
$c = \text{konstanta}$
$d(x) = \text{diferensial (turunan) dari}\ x$

Aturan Dasar Integral Tak Tentu

1. $\int dx= x + c$
2. $\int k\ dx= kx + c$
3. $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
4. $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
5. $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
6. $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
7. $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
8. $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
9. $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
10. $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
11. $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
12. $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
13. $\int sin\ x\ dx= -cos\ x + C$
14. $\int sin\ u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}cos\ u(x) + c$
15. $\int cos\ x\ dx= sin\ x + C$
16. $\int cos\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}sin\ u(x) + c$
17. $\int tan\ x\ dx= ln\ \left |sec\ x \right | + c$
18. $\int tan\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x) \right | + c$
19. $\int cosec\ x\ dx= ln\ \left |cosec\ x-cotan\ x \right |+ c$
20. $\int cosec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | cosec\ u(x)-cotan\ u(x) \right | + c$
21. $\int sec\ x\ dx= ln\ \left | sec\ x+ tan\ x \right | + c$
22. $\int sec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x)+ tan\ u(x) \right | + c$
23. $\int cot\ x\ dx= ln\ \left | sin\ x \right | + c$
24. $\int cot\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sin\ u(x) \right | + c$

Integral Parsial

$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$

Integral Tentu

Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ yaitu antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Sifat Integral Tentu

1. $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
2. $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
3. $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
4. $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
5. $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
6. $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
7. $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
8. $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
9. Jika $f(x)$ fungsi genap $'f(-x)=f(x)'$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
10. Jika $f(x)$ fungsi ganjil $'f(-x)=-f(x)'$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
11. Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
    'Suatu fungsi $f$ yaitu periodik jikalau terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$'

Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk sekolah tinggi tinggi tinggi negeri atau swasta😊.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(B)\ & -\dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Hasil $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$

Soal diatas, kini mampu kita rubah menjadi;
$\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

2. Diketahui $\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

$ \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C).\ \dfrac{3}{2}$

4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $\int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 24 \dfrac{4}{6} \\
(B)\ & 24 \dfrac{3}{6} \\
(C)\ & 20 \dfrac{4}{6} \\
(D)\ & 20 \dfrac{1}{6} \\
(E)\ & 16 \dfrac{1}{6} \\
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int \limits_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int \limits_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =2\int \limits_{0}^a f(x)dx $
Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$

Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil

• Berlaku $f(-x)=-f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
• Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini yaitu $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =0$.
Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 8
\end{split}$
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int \limits_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int \limits_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int \limits_{0}^4 f(x)\ dx$.
$\begin{split}
\int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\hline
\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + 4 &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx &= 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A).\ 0$

6. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Luas tempat yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 9\dfrac{1}{3} \\
(B)\ & 10\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 11\dfrac{1}{3} \\
(D)\ & 13\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & 14\dfrac{2}{3}
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Keterangan pada soal jikalau kita gambarkan kurang lebih ibarat berikut ini;

Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih ibarat berikut ini;
$\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E).\ 14\dfrac{2}{3}$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(B)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(C)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}+2x + C \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4x}-2x + C
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{x}+2x^{3} + C \\
(B)\ & \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C \\
(C)\ & -\dfrac{16}{x}-x^{3} + C \\
(D)\ & -\dfrac{8}{x}+2x^{3} + C \\
(E)\ & \dfrac{8}{x}-2x^{3} + C
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx=30$ maka $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:

• karena $x=3y+3$, maka
  $ \begin{align}
  dx & = 3 dy \\
  \dfrac{1}{3}dx & = dy
  \end{align} $
• batas bawah yaitu $y=1$ menjadikan $x=3y+3=6$
• batas atas yaitu $y=9$ menjadikan $x=3y+3=30$

dari perubahan di atas, soal mampu kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
& \int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy \\
& = \int \limits_{6}^{30} f(x)\ \dfrac{1}{3}dx \\
& = \dfrac{1}{3} \\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx \\
& = \dfrac{1}{3} \times 30 \\
& = 10
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 10$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$ untuk nilai $k$ bilangan bulat, maka $k^{2}-14=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 140 \\
(B)\ & 135 \\
(C)\ & 130 \\
(D)\ & 125 \\
(E)\ & 120
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$
$ \begin{align}
&\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+14x}{k+12} \right ]_{-2}^{0} \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{(0) \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)}{k+12} \right ] \\
&- \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{-2 \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(-2)^{3}-5(-2)^{2}+14(-2)}{k+12} \right ] \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi- \pi k \right )+\dfrac{-24-20-28}{k+12} \right ] \\
&= \left[ 0 \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \left ( 1-k \right )+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= - \left[0+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= \dfrac{ 72}{k+12}
\end{align} $

$ \begin{align}
(k-9)(k-11) & = \dfrac{ 72}{k+12} \\
(k-9)(k-11)(k+12) & = 72 \\
k^{3}-8k^{2}-141k+1116 & = 0 \\
(k-12)(k^{2}+4k+93) & = 0 \\
k & = 12 \\
k^{2}-14 & = 144-14 \\
& = 130
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 130$

11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar mengelilingi sumbu $y$. Volume benda putar yang terbentuk adalah...satuan volume.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4}\pi \\
(B)\ & \dfrac{2}{5}\pi \\
(C)\ & \dfrac{3}{5}\pi \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}\pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan ihwal Integral Fungsi yaitu;

• Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ yaitu $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
• Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ yaitu $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$

Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jikalau kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih ibarat berikut ini;

Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan garis $x=1$ yaitu $(1,1)$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan sumbu-$x$ atau $y=0$ yaitu $(0,0)$

Volume benda putar yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ dan diputar mengelilingi sumbu-$y$;
$\begin{align}
V &= \pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \left ( 1 \right)^{2}-\left( y^{\frac{1}{3}} \right)^{2} \right)dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left( 1- y^{\dfrac{2}{3}} \right) dy \\
&= \pi \left[ y- \dfrac{3}{5} y^{\dfrac{5}{3}} \right]_{0}^{1} \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} (1)^{\dfrac{5}{3}} \right]-[0] \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} \right] \\
&= \dfrac{2}{5} \pi
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{5} \pi$

12. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $a$ yang memenuhi $\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx=14$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan ihwal Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ yaitu antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, jikalau kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih ibarat berikut ini;
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\
\left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\
\left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
\left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\
a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

13. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & \dfrac{68}{3} \\
(D)\ & \dfrac{64}{3} \\
(E)\ & 9
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan ihwal Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ yaitu antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Jika kita akan menentukan integral harga mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka mampu kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya mampu dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi harga mutlak di atas yang kita pakai hanya penggalan $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$

14. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika luas tempat yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ yaitu $\dfrac{2}{3}$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 2\ \text{atau}\ -2 \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ -\dfrac{5}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan ihwal Integral Fungsi yaitu Luas tempat yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.

Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\
px &= x^{2} \\
x^{2} - px &= 0 \\
x(x - p) &= 0 \\
x=0\ &\ x=p
\end{align}$

Luas tempat yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ yaitu $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\
4 &= p^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= p \\
\pm 2 &= p
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\ \text{atau}\ -2$

15. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6x^{3}-4x^{2}+x + C \\
(B)\ & 6x^{3}-4x^{2} + C \\
(C)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C \\
(D)\ & 4x^{3}-2x^{2}+x + C \\
(E)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$
Soal integral di atas sangat sederhana, coba berlatih lagi soal integral disini

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$

16. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan pemisalan;

misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$

Soal di atas, kini mampu kita rubah menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$

17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 22 \\
(B)\ & 23 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 26
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal fungsi genap;

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $

$\begin{align}
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ &\Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ &\Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\
F(4)-F(0) = 8\ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8 \\
\hline
\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ &\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\
\dfrac{1}{2} \cdot \left( F(6)-F(4) \right) & = 11 \\
F(6)-F(4) = 22\ &\Rightarrow\ \int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx = 22 \\
\hline
\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ &\Rightarrow\ \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\
F(2)-F(6) & = -6 \\
F(6)-F(2) = 6\ &\Rightarrow\ \int \limits_{2}^{6} f(x)\ dx = 6 \\
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, mampu kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{6} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx + \int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 6 &= 8 + 22 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 30-6 \\
&= 24 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C) \ 24$

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x)=f(-x)$. Jika nilai $\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6$, $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx = 1$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal fungsi genap;

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $

$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6\ &\Rightarrow \ 2 \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 6 \\
\int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3\ &\Rightarrow \ \left | F(x) \right | _{0}^{3} = 3 \\
F(3)-F(0) = 3 \ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3 \\
\hline
\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= 1
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, mampu kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 1 &= 3 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 3-1 =2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B) \ 2$

19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal sifat integral tentu;

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$

$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\
\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\
\hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\
& = 0 + -5 \\
& = -5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A) \ -5$

20. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x+5)=f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 3$ dan $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx =-2$ maka nilai $\int \limits_{5}^{15} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal sifat integral tentu;

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
• Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
  $'$Suatu fungsi $f$ yaitu periodik jikalau terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$

Karena $f(x+5)=f(x)$ maka $f(x)$ periodik dengan periode $5$, sehingga berlaku:

• $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
• $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;

Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{5}^{15} f(x) dx &= \int \limits_{5}^{6} f(x) dx+\int \limits_{6}^{10} f(x) dx+\int \limits_{10}^{11} f(x) dx+\int \limits_{11}^{15} f(x) dx \\
&= -2+3+(-2)+3 \\
&= 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D) \ 2$

21. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui fungsi $f(x)$ yaitu fungsi genap, Jika nilai $\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx = 260$ dan $\int \limits_{2}^{4} f(x) dx = 2$ maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx+\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 7
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal sifat integral tentu;

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ yaitu fungsi genap dan $3x^{2}$ yaitu fungsi genap alasannya yaitu $f(-x)=f(x)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
2 \cdot \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
\int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{5} 3x^{2}\ dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \left | x^{3} \right | _{0}^{5} &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx +125 &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x) &= 5
\end{align}$

$\begin{align}
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{2}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 2 +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5-2 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
3 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D) \ 3$

22. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ dan $x \gt 0$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 2$ dan $\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx = -3$ maka $\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -17 \\
(B)\ & -11 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 17
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal integral tentu;

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$

Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ maka $f(x)=f(-x)+3$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{1}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
2 &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{1}^{5} 3\ dx \\
2 - \int \limits_{1}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx \\
2 - \left | 3x \right | _{1}^{5} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(-x) \right | _{1}^{5} \\
2 - (15 -3) &= (-1) \cdot \left( F(-5)-F(-1) \right) \\
-10 &= (-1) \cdot \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\
-10 &= \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
\hline
\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{3}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
-3 &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{3}^{5} 3\ dx \\
-3 - \int \limits_{3}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx \\
-3 - \left | 3x \right | _{3}^{5} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(-x) \right | _{3}^{5} \\
-3 - (15 -9) &= (-1) \cdot \left( F(-5)-F(-3) \right) \\
-9 &= (-1) \cdot \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
-9 &= \int \limits_{-5}^{-3} f(x)\ dx
\end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, mampu kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx + \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
&= 9 - 10 \\
&= -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B) \ -1$

23. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{1}{2}x^{4}-6x^{3}+2x^{2}-5x+C \\
(B)\ & \frac{1}{2}x^{4}-6x^{3}+ x^{2}-5x+C \\
(C)\ & \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+ x^{2}-5x+C \\
(D)\ & \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C \\
(E)\ & \frac{1}{2}x^{4}-6x^{3}-2x^{2}-5x+C
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Materi pokok dari soal ini yaitu Integral Fungsi, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Integral Fungsi.

$\begin{align}
& \int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right ) \\
& = \dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\
& = \dfrac{2}{4}x^{4}-\dfrac{9}{3}x^{3}+\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\
& = \dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C$

Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akibat semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait duduk perkara alternatif penyelesaian soal Integral Fungsi sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Mengenal salah satu matematikawan Indonesia;

Bagikan Artikel ini