Soal Dan Pembahasan Ujian Nasional Sma Tahun 2017 Aktivitas Ipa Bab Ii

Pada kesempatanan kali ini kembali penulis mncoba mengatakan pembahasan soal ujian nasional tahun 2017 tingkat SMA acara IPA yang merupakan kelanjutan dari pembahasan soal pada postingan terdahulu. Dalam pembahasan ini, penulis tidak mengatakan Trik Cepat dalam mengerjakan soal, namum lebih mengutamakan urutan langkah-langkah dalam penyelesaian soal.

Nomor 11

Hadi, Yuda, dan Toni menabung di bank. Jumlah uang tabungan Yuda dan dua kali uang Toni, Rp150.000,00 lebih banyak dari uang tabungan Hadi. Jumlah uang tabungan Hadi dan Toni ialah Rp1.450.000,00. Jumlah uang tabungan mereka bertiga Rp2.000.000,00. Jumlah uang Yuda dan Toni ialah ....

(A) Rp1.650.000,00
(B) Rp1.450.000,00
(C) Rp1.200.000,00
(D) Rp900.000,00
(E) Rp750.000,00

Pembahasan

Misalkan $a$ uang Hadi, $b$ uang Yuda, dan $c$ uang Toni. Kemudian kita buat model matematika yang sesuai berdasarkan keterangan dari soal. Setelah itu kita selesaikan dengan metode sistem persamaan linier tiga variabel.
$$\begin{align} b+2c=a+150.000\rightarrow b+2c-a&=150.000\\ a+c&=1.450.000\\ a+b+c&=2.000.000 \end{align}$$ 
Substitusi pers.$(2)$ ke pers.$(3)$, diperoleh nilai $b$ sebagai berikut.
$\begin{align*} a+b+c&=2.000.000\\ 1.450.000+b&=2.000.000\\ b&=550.000 \end{align*}$
Jumlahkan pers.$(1)$ dan $(2)$.
$\underline{\begin{align*} b+2c-a &=\;\;\;150.000 \\ a+c&=1.450.000 \end{align*}}_{-}\\ \begin{align*} b+3c&=1.600.000\;\;\;\;\;\;(4) \end{align*}$

Substitusi nilai $b=550.000$ ke pers.$4$ sebagai berikut.
$\begin{align*} b+3c&=1.600.000\\ 550.000+3c&=1.600.000\\ 3c&=1.050.000\\ c&=350.000 \end{align*}$
Sekarang kita telah memperoleh uang Yuda dan Toni berturut-turut Rp$550.000$ dan Rp$350.000$. Sehingga jumlah uang Yuda dan Toni Rp$550.000,00$ $+$ Rp$350.000,00=$ Rp$900.000,00$.

Kunci D

Nomor 12

Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian. Pakaian jenis A memerlukan kain katun 1 m dan kain sutera 2 m, sedangkan pakaian jenis B memerlukan kain katun 2,5 m dan dan kain sutera 1,5 m. Bahan katun yang tersedia 70 m dan kain sutera 84 m. Pakaian jenis A dijual dengan laba Rp50.000,00/buah, sedangkan pakaian jenis B dijual dengan laba Rp60.000,00/buah. Agar penjahit memperoleh laba maksimum, banyak pakaian jenis A dan jenis B yang terjual berturut-turut ialah ....

(A) 20 dan 16
(B) 26 dan 20
(C) 30 dan 6
(D) 16 dan 30
(E) 30 dan 16

Pembahasan

Data dari permasalahan di atas mampu dinyatakan ibarat pada tabel berikut.

Dari tabel tersebut kita memperoleh hubungan sebagai berikut.
$\begin{align*} x+2,5y&\leq 70\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 2x+1,5y&\leqslant 84\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ x&\geqslant 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\\ y&\geqslant 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4) \end{align*}$
Koordinat titik potong pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$ mampu ditentukan dengan metode eliminasi atau substitusi. Misalkan kita gunakan metode substitusi.
Dari persamaan $\begin{align*} x+2,5y&\leq 70\Leftrightarrow x&=70-2,5y \end{align*}$  disubstitusi ke persamaan $(2)$.
$\begin{align*} 2x+1,5y&=84\\ 2(70-2,5y)+1,5y&=84\\ 140-5y+1,5y&=84\\ -3,5y&=-56\\ y&=16 \end{align*}$
Nilai $y=16$ disubstitusi, misalnya ke $x+2,5y= 70$ sehingga diperoleh nillai $x$.
$\begin{align*} 2x+1,5y&=84\\ 2x+1,5(16)&=84\\ 2x+24&=84\\ 2x&=60\\ x&=30 \end{align*}$

Jadi, supaya penjahit memperoleh laba maksimum, banyak pakaian jenis $A$ dan $B$ terjual berturut-turut $30$ buah dan $16$ buah.

Kunci E

Nomor 13

Nilai dari $2x-y$ dari persamaan matriks $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & 3x \\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\end{align*}$  ialah ....

(A) $-7$
(B) $-1$
(C) $1$
(D) $7$
(E) $8$

Pembahasan

$\begin{align*}\begin{pmatrix} 5 & 3x \\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\\ \begin{pmatrix} 5-7 & 3+2y \\ y-2x-1 & 2-6 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0-2 & 18+2 \\ 0-8 & -12+8 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -2 & 3+2y \\ {\color{Red} y-2x-1} & -4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -2 & 20 \\ {\color{Red} -8} & -4 \end{pmatrix} \end{align*}$
Dengan kesamaan matrik diperoleh:
$\begin{align*} y-2x-1&=-8\\ -2x+y&=-7\;\;\;..(\mathrm{bagi\;dengan}\;-1)\\ 2x-y&=7 \end{align*}$ 
Jadi, nilai dari $2x-y$ ialah $7$.

Kunci D

Nomor 14

Diketahui matriks $K=\begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\textrm{dan}\; D=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$  . Jika $KA=B$, $KC=D$, nilai dari $\begin{align*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$ ialah ....

(A) $\begin{align*} \begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(B) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}$
(C) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(D) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(E) $\begin{align*} \begin{pmatrix} -14 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} KA&=B\\ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2k \\ 2m \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align*}$
$\begin{align*} 2k&=8\;\;\;\Leftrightarrow k=4\\ 2m&=-2\Leftrightarrow m=-1 \end{align*}$ 

$\begin{align*} KC&=D\\ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ k+l&=6\;\;\;\;....(*)\\ m+n&=2\;\;\;\;....(**) \end{align*}$ 

Substitusi $k=4$ dan $m=-1$ ke persamaan $(*)$ dan $(**)$.
$\begin{align*} k+l&=6\;\;\;\;\;\;....(*)\\ 4+l&=6\\ l&=2\\ m+n&=2\;\;\;\;\;\;....(**)\\ -1+n&=2\\ n&=3 \end{align*}$ 
Sehingga matriks $\begin{align*} K=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$ .
$\begin{align*} K\begin{pmatrix} -2 \\ 11 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$ 

Kunci A

Nomor 15
Suatu barisan geometri: $16,8,4,2,...$, maka jumlah $n$ suku pertama ialah ....
(A) $\begin{align*} 2^{n-5}-32 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} 2^{5-n}-32 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 32-2^{5-n}\end{align*}$
(D) $\begin{align*} 32-2^{n-5}\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 32-\left(\frac{1}{2}\right)^{5-n} \end{align*}$

Pembahasan
Dari barisan geometri diperoleh:
$\begin{align*} U_{1}&=a=16\\ r &=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\\ \end{align*}$
Oleh alasannya rasio $\begin{align*} r=\frac{1}{2}<1 \end{align*}$ , maka jumlah $n$ suku pertama ditentukan oleh rumus:

$\begin{align*} S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} \end{align*}$

Sehingga,

$\begin{align*} S_{n}&=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\\ &=\frac{16\left(1-(\frac{1}{2})^{n}\right)}{1-\frac{1}{2}}\\ &=\frac{16(1-2^{-n})}{\frac{1}{2}}\\ &=32(1-2^{-n})\\&=32-32.2^{-n}\\&=32-2^{5}.2^{-n}\\&=32-2^{5-n} \end{align*}$ 

Jadi, jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah\begin{align*}S_{n}=32-2^{5-n}\end{align*}

Kunci C

Nomor 16

Adit menabung setiap bulan di bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun ialah ....

(A) Rp1.015.000,00
(B) Rp1.150.000,00
(C) Rp1.290.000,00
(D) Rp1.320.000,00
(E) Rp1.340.000,00

Pembahasan

Besar tabungan Adit dari bulan pertama ke bulan berikutnya membentuk pola barisan aritmetika. Dari soal tersebut diperoleh:

$\begin{align*}U_{1}&=a=80.000\\b&=5.000\end{align*}$

Kita tahu bahwa 1 tahun = 12 bulan, dan dengan memanfaatkan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika kita mampu menghitung jumlah uang tabungan Adit selama 1 tahun.

$\begin{align*} S_{n}&=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\\ &=\frac{12}{2}\left(2(80.000)+(12-1)5000\right)\\ &=6(160.000+11\times 5.000)\\ &=6(215.000)\\ &=1.290.000 \end{align*}$

Kunci C

Nomor 17

Suatu zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 ialah ....

(A) $100$ gram
(B) $50$ gram
(C) $25$ gram
(D) $12,5$ gram
(E)  $6,25$ gram

Pembahasan

Dari soal diketahui:

Lama zat radioaktif meluruh $t=14.00-06.00=8$ jam

Massa mula-mula $N_{0}=1.600$ gram

Waktu paruh $T_{\frac{1}{2}}=2$ jam

Massa zat radioaktif yang tersisa setelah meluruh selama 8 jam.

$\begin{align*} N_{t}&=N_{0}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\\ &=1.600\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{8}{2}}\\ &=1.600\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\\ &=\frac{1.600}{16}\\ &=100 \end{align*}$ 

Jadi, massa zat yang tersisa ialah 100 gram.

Kunci A

Nomor 18

Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I ialah Rp20.000,00 dengan laba $40%$. Modal untuk tas model II ialah Rp30.000,00 dengan laba $%30%$. Jika modal yang tersedia setiap harinya ialah Rp1.000.000,00 dan paling banyak hanya mampu memproduksi 40 tas, laba terbesar yang mampu dicapai pengrajin tas tersebut ialah ....

(A) $30%$
(B) $34%$
(C) $36%$
(D) $38%$
(E) $40%$

Pembahasan
Data dari soal di atas mampu disajikan ke dalam tabel berikut ini.

Model matematikanya berdasarkan tabel di atas sebagai berikut.

$\begin{align*} x+y&=40\;\;\;\;\;\;\;....(1)\\ 20.000x+30.000y=1.000.000\;\;\mathrm{atau}\;\;2x+3y&=100\;\;\;\;\;....(2)\\ \end{align*}$ 

Fungsi Keuntungan $f(x,y)=8.000x+9.000y$

Nilai $x$ dan $y$ mampu dicari dengan eliminasi atau substitusi kedua persamaan tersebut. Misalkan dengan metode substitusi.

Dari persamaan $(1)$

$\begin{align*} x+y=40\;\Leftrightarrow \;x=40-y \end{align*}$   kemudian disubstitusi ke persamaan $(2)$.

$\begin{align*} 2x+3y&=100\\ 2(40-y)+3y&=100\\ 80-2y+3y&=100\\ y&=20 \end{align*}$ 

Nilai $y=20$ disubstitusi ke $x=40-y$ diperoleh.

$\begin{align*} x&=40-y\\ x&=40-20\\ x&=20 \end{align*}$  
Keuntungan maksimum diperoleh dikala nilai $x=y=20$.
$\begin{align*} f(x,y)&=8.000x+9.000y\\ f(20,20)&=8.000(20)+9.000(20)\\ &=160.000+180.000\\ &=340.000 \end{align*}$
Persentase laba sebagai berikut.
$\begin{align*} \%U&=\frac{U}{Hb}\times 100\%\\ &=\frac{340.000}{1.000.000}\times 100\%\\ &=34\% \end{align*}$

Kunci B

Nomor 19

Nilai dari \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x^{2}-3}}\] ialah ....

(A) $-16$
(B) $-4$
(C) $4$
(D) $16$
(E) $32$

Pembahasan
Jika langsung disubstitusi diperoleh nilai limit penyebut sama dengan 0. Oleh alasannya itu terlebih dahulu kita rasionalkan penggalan penyebut dengan cara dikali dengan akar sekawan dari penyebut yaitu $(1+\sqrt{x-3})$.
\[\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x-3}}&=\lim_{x\rightarrow4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x-3}}\times \frac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt {x-3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x^{2}-16)(1+\sqrt {x-3})}{1-(x-3)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x+4)(x-4)(1+\sqrt {x-3})}{-(x-4)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}-(x+4)(1+\sqrt {x-3})\\ &=-(4+4)(1+\sqrt{4-3})\\ &=(-8)(2)\\ &=-16 \end{align*}\]

Kunci A

mmm

Nomor 20

Nilai $\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty }\left (2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \end{align*}$  ialah ....

(A) $-\frac{1}{2}$ 

(B) $-\frac{1}{4}$

(C) $0$

(D) $\frac{1}{4}$

(E) $\frac{1}{2}$

Pembahasan

Limit tak hingga bentuk akar dimana fungsi di dalam akar merupakan fungsi kuadrat, mampu ditentukan dengan rumus berikut.

\[\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r})=\left\{\begin{matrix} \infty ,\mathrm{untuk}\;a>p\\ \frac{b-q}{2\sqrt{a}},\mathrm{untuk}\;a=p\\ -\infty ,\mathrm{untuk}\;a<p \end{matrix}\right.\]

Kita gunakan rumus tersebut untuk merampungkan soal ini.

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty }\left (2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) &=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{(2x)^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})\\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})\\ \end{align*}$ 

Dari bentuk limit terakhir diperoleh $a=p=4$, $b=0$ dan $q=1$. Oleh alasannya $a=p=4$, maka:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})&=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ &=\frac{0-1}{2\sqrt{4}}\\ &=\frac{-1}{2(2)}\\ &=-\frac{1}{4} \end{align*}$ 

Kunci B

Demikianlah pembahasan ujian nasional penggalan II ini diberikan. Apabila dalam pembahasan ini ditemukan kesalah atau kekeliruan, mohon dengan sangat kritik dan sarannya. Penulis mampu dihubungi via fesbuk: Yan Fardian atau e-mail: yanfardian876@gmail.com. biar bermanfaat dan terima kasih.

Bagikan Artikel ini