Bagaimana Cara Memilih Waktu Kematian?

Di media-media massa mirip televisi, radio, koran, kita sering kali mendengar informasi pihak kepolisian mengeluarkan sebuah pernyataan "Mr. X diperkirakan meninggal sekitar 2 jam yang lalu, yaitu pada pukul sekian". Tentu yang menjadi pertanyaan ialah bagaimana pihak kepolisian mampu mengambil sebuah kesimpulan bahwa Mr.X meninggal pada pukul sekian sedangkan pada kenyataannya mereka sendiri tidak berada di tempat kejadian. Apakah hanya sebatas perkiraan saja?

Teman-teman juga mungkin pernah menonton film-film detektif, baik film berjenis kartun maupun film yang diangkat dari kisah-kisah positif mirip CSI Files dan Forensic Files. Kalau teman-teman perhatikan, kasus yang paling sering ditampilkan dalam film maupun dongeng positif ialah kasus penemuan jenazah. Dalam film-film tersebut seorang detektif dan andal forensik mampu menentukan kapan mayat tersebut meninggal dunia. Penentuan perkiraan kapan korban meninggal dunia sangat penting dalam menentukan siapa pembunuh korban. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara detektif dan andal forensik menentukan waktu kematian korban dengan matematika (kalkulus).

Kalkulus merupakan salah satu cabang matematika yang memiliki peranan yang sangat penting dalam memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi oleh umat manusia. Dengan perlindungan kalkulus banyak permasalahan-permasalahan besar yang berhasil dipecahkan. Bagaimana...berminat jadi andal matematika...???

Sir Isac Newton yang hidup pada rentang waktu 1643-1727 merupakan salah satu ilmuwan matematika dan fisika yang sangat fenomenal. Ia berhasil menemukan hukum pendinginan yang dikenal dengan Hukum Pendinginan Newton yang diterbitkan secara anonim dengan judul "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa" pada tahun 170.

Manusia merupakan makhluk berdarah panas. Artinya, suhu tubuh insan tidak banyak dipengaruhi suhu lingkungan. Suhu tubuh insan normal ialah 37,5 ^oC. Pada dikala seseorang meninggal, suhu tubuhnya tidak akan 37,5 ^oC, tetapi turun secara perlahan sehingga dalam jangka waktu tertentu suhunya akan sama dengan suhu lingkungan. Dalam hal ini, suhu lingkungan dianggap lebih rendah dari suhu tubuh insan normal. Pada umumnya, suhu lingkungan ialah 27 ^oC.

Proses penurunan suhu pada tubuh insan dikala mengalami kematian ternyata mengikuti hukum pendinginan Newton. Hukum ini memberikan bahwa penurunan suhu suatu benda yang memiliki suhu lebih tinggi dari lingkungannya berbanding lurus dengan selisih suhu benda tersebut dengan lingkungannya.  Secara matematis, hukum pendinginan Newton dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut.

$\begin{align*} \mathrm{Jika}\;T(t)\;\mathrm{menyatakan}\;\mathrm{fungsi\;suhu}\;\mathrm{benda\;pada\;waktu\;t\;maka}:\\ \end{align*}$  

$\begin{align*} \frac{dT}{dt}=k(T-Te) \end{align*}$  

Pada persamaan tersebut, $\frac{dT}{dt}$ ialah perubahan suhu terhadap waktu, $k$ ialah suatu konstanta dengan satuan 1/waktu, $T$ adalah suhu benda sebagai fungsi waku dan $Te$ ialah suhu lingkungan. Nilai dari $k$ tidak diketahui, namun mampu kita peroleh dari penurunan persamaan di atas. Nilai $k$ mampu diganti menjadi $k$ jika suhu mengalami kenaikan, dan diganti menjadi $-k$ jika suhu mengalami penurunan. Sekarang kita selesaikan persamaan pada Hukum Pendinginan Newton jika suhu mengalami penurunan. Perhatikan bahwa:

$\begin{align*} \frac{dT}{dt}&=-k(T-Te)\\ \frac{dT}{T-Te}&=-kdt\$\end{align*}$

Dengan mengintegralkan kedua ruas pada bentuk terakhir, maka diperoleh persamaan berikut.

$\begin{align*}\int \frac{dT}{T-Te}&=\int-kdt\\ ln\left | T-Te \right |&=-kt+C\\ T-Te&=Ce^{-kt}\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(1) \end{align*}$ 

Substitusi $t=0$ dan $T=T_{0}$ ke persamaan (1), maka diperoleh:

$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T_{0}-Te&=Ce^{0}\\ C&=T_{0}-Te\\ \end{align*}$

Kemudian $C=T_{0}-Te$  kita substitusi kembali ke persamaan (1) akan diperoleh solusi dari Hukum Pendinginan Newton sebagai berikut:

$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T-Te&=(T_{0}-Te)c^{-kt}\\ T&=(T_{0}-Te)c^{-kt}+Te\;\;\;\;\;\;\;\;.....(2) \end{align*}$

 dengan $T_{0}$ ialah suhu awal benda.

Agar waktu kematian $t_{m}$ mampu diperkirakan, maka persamaan untuk nilai $k$ harus ditentukan terlebih dahulu. Misalkan $T_{1}$ menyatakan suhu tubuh mayat pada waktu $t_{1}$. Denga mensubstitusi $T=T_{1}$ dan $t=t_{1}$ ke persamaan (2) diperoleh persamaan berikut.

$\begin{align*} T_{1}&=(T_{0}-T_{2})e^{-kt_{1}}+T_{e}\\ e^{-kt_{1}}&=\frac{T_{1}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}}\\ k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\;\;\;\;\;\;\;.....(3) \end{align*}$

Jika kita substitusi $t_{1}=t_{m}$ dan $T_{1}=T_{m}$ dimana $T_{m}$ ialah suhu mayat dikala baru saja meninggal, maka diperoleh sebuah persamaan untuk menentukan waktu kematian seseorang, yaitu sebagai berikut.

$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right ) \;\;\;\;\;\;(4)\end{align*}$

Contoh Kasus

Telah terjadi perampokan dan pembunuhan yang menewaskan satu orang korban laki-laki di tempat Banjaran, Kabupaten Bandung. Suhu ruangan tempat bencana dikala itu berkisar $20^{circ}$. Suhu pada tubuh korban dikala ditemukan ialah $29^{circ}$, kemudian setelah 1 jam, suhu tubuhnya diukur kembali dan telah berkembang menjadi $24^{circ}$C. Mayat ditemukan pada hari minggu pukul 07.00 pagi. Kapan pembunuhan tersebut dilakukan?

Mengungkapkan kasus ini tentu saja kita bekerja layaknya seorang detektif. Kita kumpulkan terlebih dahulu data-data yang ada.
 $\begin{align*} T_{0}&=29^{\circ}\\ T_{e}&=20^{\circ}\\ T_{1}&=24^{\circ}\\ T_{m}&=37^{\circ}\\t_{1}&=1\\ \end{align*}$
Nilai $k$ ditentukan dengan persamaan (3) di atas.

$\begin{align*} k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-frac{1}{1}ln\left ( \frac{24-20}{29-20} \right )\\ &=-ln(\frac{4}{9})\\ &\approx 0,811 \end{align*}$

Sehingga waktu kematian diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (4).

$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{37-20}{29-20} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{17}{9} \right )\\ &\approx -0,784\;\;\mathrm{jam} \end{align*}$

Artinya mayat tersebut ditemukan sekitar 0,784 jam, atau setara dengan 47 menit setelah meninggal. Dengan demikian waktu meninggal korban diperkirakan pukul 06.13 pagi. Pembunuh belum jauh dari lokasi kejadian, dan masih mampu secepat mungkin ditangka.

Dengan memanfaatkan Hukum Pendinginan Newton ini, maka tidak heran banyak pelaku-pelaku pembunuhan mampu segera ditangkap. Semoga ilmu ini mampu membuka cakrawala berpikir kita, membuka mata hati hati kita bahwa matematika itu menarik, dan menyenangkan. Source - Belajar Kalkulus - Majalah 1000 guru

Bagikan Artikel ini