Persamaan Lingkaran

Dalam matematika, bulat didefenisikan sebagai himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan dengan pusat lingkaran, sedangkan jarak tersebut dinamakan dengan jari-jari lingkaran.

Lingkaran bukan lagi istilah asing bagi belum dewasa sekolah alasannya yakni pada setiap jenjang pasti menemukan materi terkait lingkaran. Dalam ukiran pena ini, akan dibahas mengenai bulat secara analitik yang lebih dikhususkan bagi belum dewasa SMA.

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas memperlihatkan sebuah bulat dengan titik pusat $O(0,0)$ berjari-jari $r$ dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran, serta $Q$ ialah proyeksi titik $P$ pada sumbu $X$. Akibatnya $\triangle OPQ$ ialah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik $Q$. Dengan memanfaatkan teorema pythagoras kita peroleh:

$\begin{align*} OQ^{2}+PQ^{2}&=r^{2}\\ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=r^{2} \end{align*}$

Dengan demikian, mampu disimpulkan:

Persamaan bulat dengan titik pusat $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah:
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Titik $P$ merupakan sembarang titik yang terletak pada lingkaran,maka persamaan berlaku untuk semu titik.

Sekarang, kita perhatikan pola soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan bulat yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=5^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=25\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan bulat dengan titik pusat $O(0,0)$ dengan jari-jari $5$ satuan ialah $x^{2}+y^{2}=25$

Soal 2
Tentukkan persamaan bulat yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $\sqrt{3}$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=(\sqrt{3})^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=3\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan bulat dengan titik pusat $O(0,0)$ dengan jari-jari $\sqrt{3}$ satuan ialah $x^{2}+y^{2}=3$

mmmm

Soal 3
Tentukan jari-jari dan diameter bulat $4x^{2}+4y^{2}=1$.
Jawab

$\begin{align*} 4x^{2}+4y^{2}&=1\\ x^{2}+y^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\\ r&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \textrm{Jadi}:\;r&=\frac{1}{2}\;\textrm{satuan}\\ D&=1\;\textrm{satuan} \end{align*}$

2. Persamaan Lingkaran dengan Titik Pusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$.

 Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas memperlihatkan sebuah bulat dengan titik pusat $A(a,b)$, dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran. Titik $Q$ merupakan proyeksi titik $P$ pada garis $y=b$, akhirnya terbentuk segitiga siku-siku $AQP$ dengan siku-siku di $Q$. Perhatikan $\triangle AQP$, dimana $AQ=(x-a)$, $PQ=(y-b)$, dan $AP=r$, sehingga dengan memanfaatkan teorema pythagoras pada segitiga tersebut diperoleh:

$\begin{align*} AQ^{2}+PQ^{2}&=AP^{2}\\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2} \end{align*}$ 

Oleh alasannya yakni $P$ sembarang titik pada bulat maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap titik yang terletak pada lingkaran. Dari uraian tersebut, mampu dibuat kesimpulan sebagai berikut.

Persamaan bulat dengan titik pusat $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Perhatikan pola soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan bulat yang berpusat di titik $(2,3)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

Misalkan titik pusat $A(2,3)$ dan $r=5$

$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}&=5^{2}\\ (x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)&=25\\x^{2}+y^{2}-4x-6y-16&=0\end{align*}$

Jadi, persamaan bulat dengan titik pusat $(2,3)$ dengan jari-jari $5$ satuan ialah $x^{2}+y^{2}-4x-6y-16=0$

Demikianlah uraian materi pada kesempatan kali ini. Apabila dalam uraian materi ini ditemukan kesalahan dalam pembahasannya,segera dikomentari di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.

Salam Matematika....

Bagikan Artikel ini