Persamaan Garis Singgung Bulat Dari Titik Pada Bulat

Lingkaran yaitu tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar [sebidang]. Jarak yang sama disebut jari-jari bundar dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran. Perkenalan singkat perihal lingkarannya mungkin sudah cukup, lantaran yaitu yang akan kita diskusikan disini yaitu persamaan garis singgung bundar dari titik yang terletak pada lingkaran.
Permasalahan ini juga yang ditanyakan salah satu pelajar Indonesia yang sedang mempelajari perihal persamaan garis singgung bundar dari titik pada bundar di salah satu Forum Matematika.

Mari berdiskusi:

Diketahui titik pusat bundar $O (a,b)$ dan sebuah titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pada lingkaran
Tentukan Persamaan garis singgung g yang melalui titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$

Penyelesaian:
Misal persamaan garis adalah
$ g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan bundar adalah
$ L:\ \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
OP yaitu jari-jari (r), dan garis OP melalui O (a,b) dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya mampu kita bentuk sebagai berikut:
$ \frac{(y-y_1)}{(y_2-y_1 )}=\frac{(x-x_1)}{(x_2-x_1 )}$
$ \frac{(y-y_1)}{(b-y_1 )}=\frac{(x-x_1)}{(a-x_1 )}$
$(y-y_1 )(a-x_1 )=(x-x_1 )(b-y_1 )$
$ ay-x_1 y-ay_1+x_1 y_1=bx-x y_1-bx_1+x_1 y_1$
$ (a-x_1 )y=(b-y_1 )x-bx_1+x_1 y_1+ay_1-x_1 y_1$
Gradient OP, $ m_{OP}=\frac{(b-y_1)}{(a-x_1 )} $
Garis OP dan garis g saling tegak lurus sehingga:
$ m_{OP}\times m_{g}=-1 $
$ \frac{(b-y_1)}{(a-x_1 )}\times m_{g}=-1 $
$ m_{g}=\frac{x_1-a}{b-y_1}$
Persamaan garis g adalah
$ y-y_1 = m_g (x-x_1)$
$ y-y_1=\frac{x_1-a}{b-y_1} (x-x_1)$
$ (y-y_1 )(b-y_1 )=(x_1-a )(x-x_1 )$
$ by-yy_1-by_1+y_1^2=xx_1-x_1^2-ax+ax_1$
$ by-yy_1-by_1+y_1^2-xx_1+x_1^2+ax-ax_1=0$
$ x_1^2-xx_1+ax-ax_1+y_1^2-yy_1+by-by_1=0$
$ x_1^2-ax_1+y_1^2-by_1=xx_1-ax+yy_1-by . . .(1)$

Titik $ P (x_1,y_1 )$ pada bundar sehingga diperoleh persamaan:
$ (x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$
$ x_1^2-2ax_1+a^2+y_1^2-2by_1+b^2=r^2$
$ x_1^2-ax_1-ax_1+a^2+y_1^2-by_1-by_1+b^2=r^2$
$ x_1^2-ax_1+y_1^2-by_1=r^2-b^2-a^2+ax_1+by_1 . . .(2)$

Dari persamaan (1)dan (2) diperoleh:
$ xx_1-ax+yy_1-by=r^2-b^2-a^2+ax_1+by_1$
$ xx_1-ax+yy_1-by+b^2+a^2-ax_1-by_1=r^2$
$ xx_1-ax_1-ax+a^2+yy_1-by-by_1+b^2=r^2$
$ (x-a) x_1+(a-x)a+(y-b)y_1+(b-y)b=r^2$
$ (x-a) x_1-(x-a)a+(y-b) y_1-(y-b)b=r^2$
$ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Kesimpulan:
Persamaan garis singgung bundar $ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 ) $ pada bundar yaitu :
$ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2 $

Jika Pusat bundar (0,0) maka kita substitusi nilai a=0 dan b=0 maka persamaan garis singgung bundar $ x^2+y^2=r^2 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 ) $ pada bundar yaitu :
$(x)(x_1 )+(y)(y_1 )=r^2$

Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $
kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,\ dan\ r^2$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2 $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$(x+\frac{1}{2} A)(x_1+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_1+\frac{1}{2} B)=\frac{1}{4} A^2+\frac{1}{4} B^2-C $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{4} A^2+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+\frac{1}{4} B^2=\frac{1}{4} A^2+\frac{1}{4} B^2-C $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{4} A^2+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1$$+\frac{1}{4} B^2-\frac{1}{4} A^2-\frac{1}{4} B^2+C=0 $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+C=0 $

Persamaan garis singgung bundar $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 )$ pada bundar yaitu :
$ xx_1+ yy_1+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+C=0 $

Dikoreksi jikalau ada yang salah dan untuk mendownload file Download Persamaan Garis Singgung Lingkaran😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Mari kita coba berguru geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;

Bagikan Artikel ini