Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan Dan Deret Geometri

Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas wacana Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri. Untuk melengkapi matematika dasar barisan dan deret geometri, kita juga baiknya akan mempelajari matematika dasar barisan dan deret aritmetika dan matematika dasar barisan dan deret geometri tak hingga, dengan memahami ketiga topik ini maka dilema barisan dan deret akan semakin simpel kita pelajari.

Penerapan barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mampu dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada barisan dan deret geometri sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan simpel memahami soal-soal barisan dan deret geometri dan menemukan solusinya.

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal dongeng atau matematika realistik, soal wacana barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan ialah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan mampu kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan mampu kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Geometri

Setelah mampu memahami wacana barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan wacana Barisan dan Deret Bilangan Geometri yang sering disebut hanya Barisan Geometri. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Geometri ($BG$) bila perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ (Barisan Geometri dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}...$ (Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)

Pada Barisan Geometri bila suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan rasio dengan $r$ maka suku-suku Barisan Geometri secara umum mampu kita tuliskan menjadi;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cdots, ar^{n-1}$

Sedangkan bila Barisan Geometri kita tuliskan menjadi Deret Geometri, penulisan menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,

• rasio=$r$
  $r=\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{U_{3}}{U_{2}}=\dfrac{U_{7}}{U_{6}}$
  $r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}$
• Suku ke-n
  $U_{n}=ar^{n-1}$
• Jumlah n suku pertama
  $S_{n}=\dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1}$
  $S_{n}=\dfrac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$
• Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
  $U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
  $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan dan Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami Barisan dan Deret Geomtri ini coba kita diskusikan beberapa teladan soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

1. Soal Ujian Nasional 2007 (*Soal Lengkap)

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya kuman ada 400. Banyak kuman pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 640\ Bakteri \\
(B)\ & 3.200\ Bakteri \\
(C)\ & 6.400\ Bakteri \\
(D)\ & 12.800\ Bakteri \\
(E)\ & 32.000\ Bakteri \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba dengan memisalkan banyak kuman awal atau mula-mula = $a$,
sehingga pada 5 menit berikut banyak kuman ialah $2a$,
5 menit berikutnya banyak kuman ialah $4a$ dan
5 menit berikutnya banyak kuman ialah $8a$.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa 15 menit pertama dari pola barisan sudah menghasilkan barisan hingga kepada suku ke-4.
Sehingga banyak kuman pada 15 menit pertama ialah suku ke-4 yaitu 400.
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{4}=a2^{3}$
$400=8a$
$a=50$
kita peroleh banyak kuman mula-mula ialah 50 bakteri.

Dengan mengikuti pola diatas juga banyak kuman pada 50 menit pertama sama dengan suku ke-7, yaitu:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{7}=50 \cdot 2^{6}$
$U_{7}=50 \cdot 64$
$U_{7}=32.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 32.000\ Bakteri$

2. Soal SM-UNPAD 2007

Sepotong kawat yang panjangnya 124 cm dipotong menjadi 5 penggalan sehingga panjang setiap potongnya membentuk Barisan Geometri. Jika belahan kawat yang paling pendek ialah 4 cm, belahan kawat yang paling panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ cm\\
(B)\ & 64\ cm\\
(C)\ & 68\ cm\\
(D)\ & 72\ cm\\
(E)\ & 76\ cm
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Keterangan yang mampu kita ambil dari soal ialah panjang seluruh tali yang dibagi menjadi 5 penggalan ialah 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 penggalan dengan mengikuti pola Barisan Geometri, maka bila kita urutkan dari panjang tali yang terkecil menjadi,
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4}$
barisan di atas panjang tali terpendek kita misalkan $a$ panjangnya ialah 4 dan jumlah barisan ialah 124, sehingga mampu kita tuliskan menjadi,
$a+ ar+ ar^{2}+ ar^{3}+ ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\dfrac{a \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{4 \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{\left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=31$
$\dfrac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\left (r^{3}+3r^{2}+7r+15 \right )\left ( r-2 \right )=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi ialah $r=2$

Potongan kawat yang paling panjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 64\ cm$

3. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Suku ke-4 suatu Barisan Geometri sama dengan suku ke-8 suatu Barisan Aritmatika. Kedua barisan tersebut mempunyai suku pertama sama dengan 2. Jika rasio Barisan Geometri sama dengan beda BA dan keduanya merupakan bilangan bulat, suku ke-5 Barisan Geometri dikurangi suku ke-11 BA sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 16 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$U_{4} [Barisan Geometri]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita peroleh,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ atau $r=\frac{1}{2}$

Nilai $r$ yang lingkaran ialah yang memenuhi, $r=2$.

Nilai suku ke-5 Barisan Geometri dikurangi suku ke-11 BA adalah,
$\begin{align}
U_{5} [Barisan Geometri]-U_{11} [BA] &= ar^{4}-(a+10b) \\
&= (2)(2)^{4}-(2+10(2)) \\
&= 32-22 \\
&= 10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 10$

4. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika ialah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 30 \\
(E)\ & 36 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmatika harus kita ketahui;

Misalkan $BA$ dengan $b=2$ ialah $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.

Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan memakai ciri khas dari Barisan Geometri, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$

Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan Barisan Geometri.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan Barisan Geometri sehingga jumlahnya ialah $30$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 30$

5. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmatika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{15} \\
(B)\ & \dfrac{2}{15} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmatika harus kita ketahui;

Misalkan: Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$ ialah $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Misalkan $BA$ dengan $b=b$ ialah $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Karena $u_{1}$ Barisan Geometri sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{1}{5}$

6. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (*Soal Lengkap)

Jika $-2,\ a+3,\ a-1$ membentuk barisan geometri, maka jumlah $11$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari Barisan Geometri $-2,\ a+3,\ a-1$ kita peroleh;

$\begin{align}
u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+3)^{2} & = -2 \cdot (a-1) \\
a^{2}+6a+9 & = -2a+2 \\
a^{2}+8a+7 & = 0 \\
(a+1)(a+7) & = 0 \\
(a+1)=0\ & \text{atau}\ (a+7)=0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-7
\end{align}$

Untuk $a=-1$ maka Barisan Geometri: $-2,\ 2,\ -2,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((-1)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (-1-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{4}{-2} \\
& = -2
\end{align}$

Untuk $a=-7$ maka Barisan Geometri: $-2,\ -4,\ -8,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((2)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (2^{11}-1 \right )}{-2} \\
& = 2^{11}-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -2$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 417 (*Soal Lengkap)

Diberikan barisan geometri $u_{n}$, dengan $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$. Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 15
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari Barisan Geometri yang memenuhi $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$ kita peroleh;

$\begin{align}
u_{3}+u_{4} & = 4(u_{1}+u_{2}) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4(a+ar) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4a+4ar \\
r^{2}+r^{3} & = 4+4r \\
r^{3}+r^{2}-4r-4 & = 0 \\
(r+1)(r+2)(r-2) & = 0 \\
r=-1,\ r=-2,\ & \text{atau}\ r=2 \\
\end{align}$

$\begin{align}
u_{1}u_{4} & = 4u_{2} \\
a \cdot ar^{3} & = 4(ar) \\
a \cdot ar^{3} & = 4ar \\
ar^{2} & = 4
\end{align}$

Untuk $r=-1$ maka $a=4$ Barisan Geometri: $4,\ -4,\ 4,\ -4,\ \cdots$
Untuk $r=-2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ \cdots$
Untuk $r=2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots$

Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah: $0$, $-5$ atau $15$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 15$

8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri ialah $\dfrac{1}{32}$. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 ialah $15$, maka jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\
(B)\ & 40 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 60 \\
(E)\ & 70
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari Barisan Geometri yang disampaikan pada soal, mampu kita peroleh;

$\begin{align}
\dfrac{u_{6}}{u_{1}} & = \dfrac{1}{32} \\
\dfrac{ar^{5}}{a} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r^{5} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r & = \dfrac{1}{2} \\
u_{3}+u_{4} & = 15 \\
ar^{2}+ar^{3} & = 15 \\
\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{8}a & = 15 \\
\dfrac{3}{8}a & = 15 \\
a & = \dfrac{120}{3}=40
\end{align}$

Barisan geometri ialah $40,\ 20,\ 10,\ 5, \cdots$ dan jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut ialah $70$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 70$

9. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Jika tiga bilangan $x,y,\ \text{dan}\ z$ membentuk barisan geometri, maka $\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{x} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{y} \\
(C)\ & \dfrac{1}{z} \\
(D)\ & \dfrac{1}{x+z} \\
(E)\ & \dfrac{1}{x-z}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga bilangan $x,y,z$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
U_{2}^{2} &= U_{3} \cdot U_{1} \\
y^{2} &= z \cdot x \\
\hline
\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z} &= \dfrac{(y-z)-(x-y)}{(x-y)(y-z)} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-xz-y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-y^{2}-y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-2y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{ y(x -2y + z)} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{-y(2y-x-z)} \\
&= \dfrac{1}{-y}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ -\dfrac{1}{y}$

10. Soal UMB-PT 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Suku ke-n suatu deret geometri ialah $u_{n}$. Jika $u_{1}+u_{2}=\dfrac{9}{2}$ dan ${}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3}=3$, maka $u_{n}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4}2^{n-1} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}2^{n } \\
(C)\ & \dfrac{3}{4}2^{n+1} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4}3^{n-1} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}3^{n}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Deret geometri $a, ar, ar^{2}, \cdots, ar^{n-1}$
$\begin{align}
u_{1}+u_{2} &= \dfrac{9}{2} \\
a+ar &= \dfrac{9}{2}
\end{align}$

$\begin{align}
{}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3} &= 3 \\
{}^3\!\log \left( u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\
{}^3\!\log \left( a \cdot ar \cdot ar^{2} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\
{}^3\!\log \left( ar \right)^{3} &= {}^3\!\log 3^{3} \\
ar &= 3 \\
\hline
a+ar &= \dfrac{9}{2} \\
a+3 &= \dfrac{9}{2} \\
a &= \dfrac{9}{2} -3 \\
a &= \dfrac{3}{2} \\
r &= 2
\end{align}$

$\begin{align}
u_{n} &= ar^{n-1} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n-1} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n } \cdot 2^{-1} \\
&= \dfrac{3}{4} \cdot 2^{n }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \dfrac{3}{4}2^{n }$

11. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Diketahui $p,\ x,\ y$ merupakan bilangan real dengan $x \gt 0$. Jika $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$ membentuk barisan geometri, maka $p^{6}x^{-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 125 \\
(B)\ & 50 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Ciri khas barisan geometri yang kita pakai untuk merampungkan soal di atas ialah $U_{2}^{2}=U_{1} \cdot U_{3}$ atau $U_{3}^{2}=U_{2} \cdot U_{4}$. Sehingga untuk barisan $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$, berlaku:
$\begin{align}
U_{2}^{2} &= U_{1} \cdot U_{3} \\
x^{2} &= py \\
y &= \dfrac{x^{2}}{p} \\
\hline
U_{3}^{2} &= U_{2} \cdot U_{4} \\
y^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{2} \cdot x \\
\left( \dfrac{x^{2}}{p} \right) ^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\
\dfrac{x^{4}}{p^{2}} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\
\dfrac{x^{4}}{\dfrac{1}{5}x^{3}} &= p^{2} \\
5x &= p^{2} \\
p^{2} x^{-1} &= 5 \\
\left( p^{2} x^{-1} \right)^3 &= 5^{3} \\
p^{6} x^{-3} &= 125
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 125$

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Diketahui $u_{1}+u_{2}+\cdots$ ialah deret geometri dengan $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=x^{2}$ dan $u_{6}=8$, maka nilai $u_{7}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 16 \\
(D)\ & 27 \\
(E)\ & 32
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret geometri $a+ar+ar^{2}+ \cdots+ ar^{n-1}$, dimana $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=ar^{4}=x^{2}$ dan $u_{6}=ar^{5}=8$ berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
a = x^{-2} & ar^{5} = 8 \\
ar^{4} = x^{2} & x^{-2} \cdot x^{5} = 8 \\
x^{-2} \cdot r^{4} = x^{2} & x^{3} = 8 \\
r^{4} = x^{2} \cdot x^{2} & x = 2 =r \\
r^{4} = x^{4} & U_{7} = U_{6} \cdot r \\
r = x & U_{7} = 8 \cdot 2 =16 \\
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 16$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Diketahui bilangan $a,\ b,\ c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,\ b,\ c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,\ b+2,\ c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{9} \\
(B)\ & \dfrac{20}{9} \\
(C)\ & \dfrac{32}{9} \\
(D)\ & \dfrac{40}{9} \\
(E)\ & \dfrac{80}{9}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmetika harus kita ketahui;

• Dari barisan geometri $a,\ b,\ c$ kita peroleh $b^{2}=ac\ \cdots \text{pers.(1)}$
• Dari barisan aritmetika $a,\ b,\ c-2$ kita peroleh $2b=a+c-2\ \cdots \text{pers.(2)}$
• Dari barisan geometri $a,\ b+2,\ c+10$ kita peroleh $(b+2)^{2}=a(c+10)\ \cdots \text{pers.(3)}$

Jika kita subsitusi $\text{pers.}(1)$ dan $(2)$ ke $\text{pers.}(3)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
(b+2)^{2} & = a(c+10) \\
b^{2}+4b+4 & = a c+10a \\
ac+2(a+c-2)+4 & = a c+10a \\
2 a+2c-4+4 & = 10a \\
a+ c & = 5a \\
c & = 4a\ \cdots\ \text{pers.(4)} \\
2b & = a+ c-2 \\
2b & = a+ 4a-2 \\
2b+2 & = 5a \\
a & = \dfrac{2b+2}{5}\ \cdots \text{pers.(5)}
\end{align}$

$\text{pers.}(4)$ dan $(5)$ kita substitusikan ke $\text{pers.}(1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
b^{2} & = ac \\
b^{2} & = a \left( 4a \right) \\
b^{2} & = 4a^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{2b+2}{5} \right)^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{4b^{2}+8b+4}{25} \right) \\
25b^{2} & = 16b^{2}+32b+16 \\
9b^{2}-32b-16 & = 0
\end{align}$
Jumlah semua nilai $b$ yang mungkin ialah $b_{1}+b_{2}=-\dfrac{-32}{9}=\dfrac{32}{9}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{32}{9}$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $n$ ialah bilangan asli. Misalkan $S(n)$ menyatakan jumlah setiap digit dari $n$ (secagai contoh: $n=1234$. $S(1234)=1+2+3+4=10$), maka nilai $S\left( S(n) \right)$ yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$ adalah...
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini rencana mau tidak diketik, lantaran ialah tidak termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Tetapi lantaran ialah termasuk kategori soal HOTS kita tampilkan pada barisan aritmetika dan barisan geometri;

Dari persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$;

• $n \gt S(n) \gt S\left( S(n) \right)$, berdasarkan ketidaksamaan ini semoga menerima hasil penjumlahan $2013$ maka $n$ ialah bilangan $4$ angka dan kurang dari $2013$
• Jika $1000 \geq n \leq 1999$, maka $S(n)_{max}=S(1999)=1+9+9+9=28$ dan $S \left( S(n) \right)_{max}=S(28)=2+8=10$

$\begin{align}
n+S(n)+S\left( S(n) \right) & \leq n + 28 +10 \\
2013 & \leq n + 38 \\
2013-38 & \leq n \\
1975 & \leq n \\
1975 & \leq n \lt 2013
\end{align}$
Dari batasan nilai $n$ di atas kita coba lakukan uji nilai $n$;

UJI NILAI
$n$	$S(n)$	$S \left( S(n) \right)$	$n+S(n)+S\left( S(n) \right)$
$1975$	$1+9+7+5=22$	$2+2=4$	$1975+22+4=2001$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1979$	$1+9+7+9=26$	$2+6=8$	$1979+26+8=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1985$	$1+9+8+5=23$	$2+3=5$	$1985+23+5=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1991$	$1+9+9+1=20$	$2+0=2$	$1991+20+2=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$2003$	$2+0+0+3=5$	$5=5$	$2003+5+5=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

Nilai $S\left( S(n) \right)$ yang mungkin ialah $2, 5,\ 8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ (1)\ (2)\ (3)$

15. Soal SBMPTN 2013 Kode 127 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ berturut-turut ialah suku ke-2, ke-3 dan ke-4 suatu barisan geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac}{2b+3}=1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Barisan $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ ialah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\dfrac{ac}{2b+3} &= 1 \\
ac &= 2b+3 \\
\hline
b^{2} &= 2b+3 \\
b^{2}-2b-3 &= 0 \\
(b-3)(b+1) &= 0 \\
b=3\ \ b=-1 &
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 3$

16. Soal SBMPTN 2013 Kode 124 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ berturut-turut ialah suku ke-2, ke-3 dan ke-4 suatu barisan geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac}{b+2}=1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Barisan $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ ialah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\dfrac{ac}{b+2} &= 1 \\
ac &= b+2 \\
\hline
b^{2} &= b+2 \\
b^{2}- b-2 &= 0 \\
(b-2)(b+1) &= 0 \\
b=2\ \ b=-1 &
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 2$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 121 (*Soal Lengkap)

Hasil kali $5$ suku pertama suatu berisan geometri ialah $32$. Jika jumlah suku ketiga dan suku keempat barisan tersebut ialah $6$, maka suku keenam barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 16
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Hasil kali $5$ suku pertama suatu berisan geometri ialah $32$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a \cdot ar \cdot ar^{2} \cdot ar^{3} \cdot ar^{4} &= 32 \\
a^{5}r^{10} &= 32 \\
\left( a r^{2} \right)^{5} &= 2^{5} \\
a r^{2} &= 2 \\
\hline
U_{3}+U_{4} &= 6 \\
ar^{2}+ar^{3} &= 6 \\
ar^{2}(1+r) &= 6 \\
2(1+r) &= 6 \\
r &= 2 \\
\hline
a r^{2} &= 2 \\
a (4) &= 2 \\
a &= \dfrac{1}{2} \\
U_{6} &= a r^{5} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (2)^{5} \\
&= (2)^{4}=16
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 16$

18. Soal SNMPTN 2012 Kode 223 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ ialah suku pertama, $r$ ialah rasio, dan $S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ ialah jumlah $n$ suku pertama deret geometri, maka nilai $a+r$ adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ ialah jumlah $n$ suku pertama deret geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{1} &= 3 \left( 2^{(1)+1}-2 \right) \\
U_{1} &= 6 \\
\hline
S_{2} &= 3 \left( 2^{(2)+1}-2 \right) \\
U_{1}+U_{2} &= 18 \\
U_{2} &= 12 \\
\hline
S_{3} &= 3 \left( 2^{(3)+1}-2 \right) \\
U_{1}+U_{2}+U_{3} &= 42 \\
U_{3} &= 24 \\
\hline
r &= \dfrac{12}{6}=2 \\
a+r &= 6+2 \\
&= 8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 8$

19. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$. Jika bilangan yang terbesar ditambah $12$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$, Misal bilangan itu ialah $a,\ a+6,\ a+12$ dan bila $a+12+12$ barisan $a,\ a+6,\ a+12+12$ ialah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+6)^{2} &= a(a+12+12) \\
a^{2}+12a+36 &= a^{2}+24a \\
12a+36-24a &= 0 \\
-12a &= -36 \\
a &= 3
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah
$\begin{align}
a+a+6+a+12 &= 3a+18 \\
&= 3(2)+18 \\ &= 27
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 27$

20. Soal SNMPTN 2011 Kode 171 (*Soal Lengkap)

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$. Jika bilangan yang terkecil ditambah $7$ dan bilangan yang terbesar ditambah $2$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 52 \\
(D)\ & 50 \\
(E)\ & 48
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$, Misal bilangan itu ialah $a,\ a+16,\ a+32$ dan barisan bermetamorfosis $a+7,\ a+16,\ a+32+2$ ialah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+16)^{2} &= (a+7)(a+34) \\
a^{2}+32a+256 &= a^{2}+41a+238 \\
32a-41a+256-238 &= 0 \\
-9a+18 &= 0 \\
-9a &= -18 \\
a &= 2
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah:
$\begin{align}
a+a+16+a+32 &= 3a+48 \\
&= 3(2)+48 \\
&= 54
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 54$

21. Soal SNMPTN 2011 Kode 854 (*Soal Lengkap)

Jika $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ membentuk barisan geometri dan $a \times b \times c \times d \times e=128$, maka di antara kelima suku barisan itu yang mampu ditentukan nilainya ialah suku ke...
$\begin{align}
(A)\ & pertama \\
(B)\ & kedua \\
(C)\ & ketiga \\
(D)\ & keempat \\
(E)\ & kelima
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Lima bilangan membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a \times b \times c \times d \times e &= 128 \\
a \times ar \times ar^{2} \times ar^{3} \times ar^{4} &= 128 \\
a^{5}r^{10} &= 128 \\
\left( a r^{2} \right)^{5} &= 128 \\
a r^{2} &= \sqrt[5]{128} \\
U_{3} &= \sqrt[5]{128}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ ketiga$

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap kuman tertentu. Setiap $\dfrac{1}{2}$ hari kuman membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat $2$ bakteri. Jika setiap $2$ hari $\dfrac{1}{4}$ dari jumlah kuman mati, banyak kuman setelah tiga hari adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48\ \text{bakteri} \\
(B)\ & 64\ \text{bakteri} \\
(C)\ & 96\ \text{bakteri} \\
(D)\ & 128\ \text{bakteri} \\
(E)\ & 192\ \text{bakteri}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertumbuhan kuman yang diamati pada soal di atas memakai konsep deret geometri dengan $r=2$. Untuk merampungkan soal di atas mampu digunakan rumus suku ke-n barisan geometri yaitu $U_{n}=ar^{n-1}$.

Tetapi lantaran ialah yang diminta banyak kuman dalam waktu tiga hari, kita kerjakan secara manual;

• Hari Pertama: $2 \rightarrow 4 \rightarrow 8$
• Hari Kedua: $8 \rightarrow 16 \rightarrow 32$
  Bakteri mati $\dfrac{1}{4}$, sehingga tinggal $32-8=24$
• Hari Ketiga: $24 \rightarrow 48 \rightarrow 96$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 96$

23. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 barisan geometri berturut-turut ialah $12$ dan $96$. Rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & U_{n}=6 \cdot 2^{n+1} \\
(B)\ & U_{n}=6 \cdot 2^{n} \\
(C)\ & U_{n}=3 \cdot 2^{n} \\
(D)\ & U_{n}=3 \cdot 2^{n-1} \\
(E)\ & U_{n}= 2^{n-1}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita ketahui bahwa suku ke-$n$ barisan geometri ialah $U_{n}=a \cdot r^{n-1}$.
Pada soal diberitahu bahwa pada barisan aritmatika suku ke-3 ialah $12$ sehingga berlaku $U_{3}=a \cdot r^{3-1}$ atau $12 =a r^{2}$.
Suku ke-6 ialah $96$ sehingga berlaku $U_{6}=a \cdot r^{6-1}$ atau $96 =a r^{5}$.

Dari kedua persamaan di atas mampu kita tentukan nilai $a$ dan $r$;
$\begin{align}
ar^{5} =\ & ar^{2} \cdot r^{3} \\
96 =\ & 12 \cdot r^{3} \\
\dfrac{96}{12} =\ & r^{3} \\
8 =\ & r^{3} \\
2 =\ & r \\
\hline
ar^{2} =\ & 12 \\
a(4) =\ & 12 \\
a =\ & 3 \\
\hline
U_{n}=\ & a \cdot r^{n-1} \\
U_{n}=\ & 3 \cdot 2^{n-1}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ U_{n}=3 \cdot 2^{n-1}$

24. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Modal sebesar $Rp2.000.000,00$ disimpan di bank dengan suku bunga bermacam-macam $2\%$ per tahun. Besar modal pada selesai tahun kedua adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & Rp2.040.000,00 \\
(B)\ & Rp2.040.400,00 \\
(C)\ & Rp2.080.000,00 \\
(D)\ & Rp2.080.800,00 \\
(E)\ & Rp2.122.400,00
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan modal $Rp2.000.000,00$ disimpan di bank dengan suku bunga bermacam-macam $2\%$ per tahun maka modal pada kahir tahun pertama adalah:
$\begin{align}
& 2.000.000 + 2\% \times 2.000.000 \\
=\ & 2.000.000 + \dfrac{2}{100} \times 2.000.000 \\
=\ & 2.000.000 + 40.000 \\
=\ & 2.040.000
\end{align} $

Modal pada kahir tahun kedua adalah:
$\begin{align}
& 2.040.000 + 2\% \times 2.040.000 \\
=\ & 2.040.000 + \dfrac{2}{100} \times 2.040.000 \\
=\ & 2.040.000 + 40.800 \\
=\ & 2.080.800
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ Rp2.080.800,00$

Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan dilema Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas ialah coretan kreatif siswa pada

• lembar akhir penilaian harian matematika,
• lembar akhir penilaian selesai semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk saran yang sifatnya membangun terkait dilema alternatif penyelesaian Soal Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Jadi Kreatif;

Bagikan Artikel ini