Persamaan Garis Singgung Bundar (Pgsl)

Kita telah mengetahui bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap lingkaran,yaitu memotong bundar di dua titik berlainan, memotong bundar di satu titik (menyinggung), dan tidak memotong lingkaran. Garis yang menyinggung bundar inilah yang dinamakan dengan Garis Singgung Lingkaran.

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$. Garis $g$ disebut garis singgung bundar di titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $AP$ tegak lurus $g$. Persamaan garis singgung bundar di titik $A(x_{1},y_{1})$ diperlihatkan pada tabel berikut.

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Perhatikan gambar berikut.

Lingkaran berpusat di $(a,b)$ berjari-jari $r$. $g$ yaitu garis singgung bundar dengan gradien $m$. Persamaan garis singgung bundar dengan titik pusat $(a,b)$ dan bergradien $m$ diperlihat pada tabel berikut.

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui suatu Titik di Luar Lingkaran

Melalui suatu titik di luar bundar mampu dibuat dua buah garis singgung lingkaran.

Persamaan umum garis singgung bundar melalui sebuah titik $C(x_{1},y_{1})$ yang terletak di luar bundar yaitu :

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

Dimana $m$ yaitu gradien garis singgung dan mampu ditentukan dengan cara berikut.

• substitusi persamaan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ke persamaan bundar sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat.
• dari persamaan kuadrat pada point pertama, dengan mengambil nilai $D=0$ maka akan diperoleh nilai $m$.

Berikut beberapa referensi soal terkait Persamaan Garis Singgung Lingkaran.

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkatan $x^{2}+y^{2}=13$ di titik $A(2,-3)$.

Jawab
Persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ditentukan oleh rumus:

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

Substitusi titik $A(2,-3)$ ke rumus diperoleh:

$\begin{align*}x_{1}x+y_{1}y&=r^{2}\\2x+(-3)y&=13\\2x-3y&=13\end{align*}$

Jadi, persamaan garis singgung bundar tersebut yaitu $2x-3y=13$.

Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung bundar $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=20$ di titik $(4,-5)$.

Jawab

Persamaan garis singgung bundar $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:

$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$

Substitusi titik $(4,-5)$ ke rumus tersebut,maka diperoleh:
$\begin{align*}(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)&=r^{2}\\(4-2)(x-1)+(-5-1)(y+1)&=20\\2(x-1)-6(y+1)&=20\\2x-2-6y-6&=20\\2x-6y-28&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bundar tersebut yaitu $2x-6y-28=0$.

Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}+4x-6y-27=0$ di titik $(4,1)$.

Jawab
Persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+B+C=0$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:

$x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C=0$

Substitusi titik $(4,1)$ ke rumus tersebut maka diperoleh:
$\begin{align*} x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C&=0\\4x+y+\frac{4}{2}(x+4)+\frac{-6}{2}(y+1)-27&=0\\4x+y+2x+8-3y-3-27&=0\\6x-2y-22&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung bundar tersebut yaitu $\begin{align*} 6x-2y-22&=0 \end{align*}$ .

Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}=9$ dengan gradien $2$.

Jawab
Persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dan bergradien $m$ ditentukan oleh rumus berikut:

$\begin{align*} y&=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}} \end{align*}$

Dari soal tersebut, kita peroleh $m=2$, dan $r=3$, kemudian disubstitusi ke rumus sehingga diperoleh:

$\begin{align*} y&=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ y&=2x\pm 3\sqrt{1+2^{2}}\\ y&=2x\pm 3\sqrt{5} \end{align*}$ 

Jadi, persamaan garis singgung bundar tersebut ada dua, yaitu $\begin{align*} y&=2x+\sqrt{5}\;\textrm{dan}\;y=2x-3\sqrt{5} \end{align*}$

Contoh 5

Salah satu persamaan garis singgung bundar pada bundar $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ yang sejajar dengan dengan garis $5x-12y+15=0$ yaitu ....

A. $5x-12y+10=0$

B. $5x-12y-10=0$

C. $5x+12y-10=0$

D. $5x+12y+10=0$

E. $5x-12y+68=0$

Jawab

Misalkan gradien garis $5x-12y+15=0$ yaitu $m_{2}$ dan gradien garis singgung bundar yaitu $m_{2}$. Oleh alasannya yaitu sejajar maka:

$m_{2}=m_{1}$

Kita tahu bahwa, gradien garis $ax+by+c=0$ yaitu $m=-\frac{a}{b}$, sehingga:

$\begin{align*} 5x-12y+15=0\Rightarrow m_{1}&=-\frac{a}{b}\\ m_{1}&=-\frac{5}{-12}\\ m_{1}&=\frac{5}{2} \end{align*}$

Sehingga gradien garis singgung bundar adalah:

$\begin{align*} m_{2}=m_{1}\Rightarrow m_{2}=\frac{5}{12} \end{align*}$  

Pusat Lingkaran

$\begin{align*} P(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})&=(-\frac{2}{-2},-\frac{4}{2})\\&=(1,-2)\\ \end{align*}$

Jari-Jari Lingkaran

$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{(-2)^{2}}{4}+\frac{4^{2}}{4}-(-4)}\\ r&=\sqrt{1+4+4}\\ r&=9 \end{align*}$

Selanjutnya menentukan persamaan garis singgung bundar yang bergradien $\begin{align*} m=\frac{5}{12} \end{align*}$ sebagai berikut.

$\begin{align*} y-b&=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ y-(-2)&=\frac{5}{12}(x-1)\pm 3\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{169}{144}}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm3\left(\frac{13}{12} \right )\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm\frac{39}{12} \end{align*}$ 

Ada dua PGS yang mungkin yaitu;

PGS I

$\begin{align*} y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}+\frac{39}{12}\\ y+2&=\frac{5}{12}x+\frac{34}{12}\\ 12y+24&=5x+34\\ 5x-12y+10&=0 \end{align*}$ 

PGS II

$\begin{align*} y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}-\frac{39}{12}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{44}{12}\\ 12y+24&=5x-44\\ 5x-12y-68&=0 \end{align*}$ 

Jadi, jawaban yang tepat yaitu opsi A

Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}-10x+4y+19=0$ yang sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$.

Jawab
Misalkan gradien garis $2y+6x-5=0$ yaitu $m_{1}$ dan gradien garis singgung lingkaram $m_{2}$.

$\begin{align*}m_{1}=-\frac{6}{2}=-3\end{align*}$

Garis singgung bundar sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$, maka $m_{2}=m_{1}=-3$.
Titik pusat lingkaran
$\begin{align*}P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\&=\left(-\frac{1}{2}(-10),-\frac{1}{2}(4)\right)\\&=(5,-2)\end{align*}$

Jari-jari lingkaran
$\begin{align*}r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\r&=\sqrt{\frac{(-10)^{2}}{4}+\frac{(4)^{2}}{4}-19}\\r&=\sqrt{25+4-19}\\r&=\sqrt{10}\end{align*}$

Persamaan garis singgung
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)±r\sqrt{m^{2}+1}\\y+2&=-3(x-5)±\sqrt{10}\sqrt{(-3)^{2}+1}\\y+2&=-3x+15±\sqrt{10}\sqrt{10}\\y+2&=-3x+15±10\end{align*}$

PGS I
$\begin{align*}y +2&=-3x+15+10\\y+3x-23&=0\end{align*}$
PGS II
$\begin{align*}y+2&=-3x+15-10\\y+3x-3&=0\end{align*}$
Jadi persamaan garis singgung bundar yang dimaksud yaitu $y+3x-23=0$ dan $y+3x-3=0$.

Semoga bermanfaat.
Salam Matematika...

Bagikan Artikel ini