Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi?

Misalkan kita memiliki dua buah fungsi, ialah fungsi $f$ dan fungsi $g$. Fungsi $f$ memetakan dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, dan kita tulis $f:A\rightarrow B$. Fungsi $g$ memetakan dari himpunan $B$ ke himpunan $C$, dan kita tulis $g:\rightarrow C$. 

Misalkan $\begin{align*} x\in A \end{align*}$. Jika $x$ dipetakan oleh fungsi $f$ menghasilkan $f(x)$, kemudian $f(x)$ dipetakan oleh $g$ menghasilkan $g(f(x))$, maka proses tersebut dinamakan dengan mengkomposisikan fungsi $g$ dengan $f$, dan  fungsi yang dihasilkan disebut $komposisi\;fungsi$ $g$ dan $f$ ialah fungsi yang memetakan himpunan $A$ ke himpunan $C$. Komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditulis $g\circ f$ yang dibaca $g$ bundaran $f$.
Fungsi komposisi mampu diilustrasikan mirip pada gambar berikut.

Dari uraian di atas kita peroleh defenisi fungsi komposisi dan syarat dua buah fungsi mampu dikomposisikan sebagai berikut.

Defenisi dan Syarat Fungsi Komposisi

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
$f:A\rightarrow B$ ditentukan dengan rumus $f(x)$, dan
$g:B\rightarrow C$ ditentukan dengan rumus $g(x)$.

Maka fungsi komposisi dari fungsi $f$ dan fungsi $g$ ditentukan oleh rumus:

$\begin{align*} (g\circ f)(x)=g(f(x)) \end{align*}$ 

Syarat semoga fungsi $f$ dan fungsi $g$ mampu dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $g\circ f$ ialah irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong dan $R_{f}\subseteq D_{g}$
Sedangkan komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditentukan oleh rumus:

 $\begin{align*}(f\circ g)(x)=f(g(x)) \end{align*}$

Syarat semoga fungsi $g$ dan fungsi $f$ mampu dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $f\circ g$ ialah irisan antara daerah hasil fungsi $g$ dan daerah asal fungsi $f$ bukan himpunan kosong dan $R_{g}\subseteq D_{f}$ .

Sifat - Sifat Fungsi Komposisi

a) Tidak berlaku sifat komutatif

$(f\circ g)(x)≠(g\circ f)$

b) Berlaku sifat asosiatif

$((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ (g\circ f))(x)$

c) Memiliki fungsi identitas
Misal $I$ ialah fungsi $I(x)=x$ memenuhi $f\circ I= I\circ f= f$ maka $I$ ialah fungsi identitas.

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal fungsi komposisi.

Contoh Soal 1

Diketahui $f:R\rightarrow R$ dengan $f(x)=2x$ dan $g:R\rightarrow R$ dengan $g(x)=2x+1$. Tentukanlah:

(a) $(f\circ g)(x)$

(b) $(g\circ f)(x)$

Jawab

Diketahui:

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=2x\\ (g\circ f)(x)&=2x+1 \end{align*}$ 

Ditanyakan:

(a) $(f\circ g)(x)$

(b) $(g\circ f)(x)$

Penyelesaian

(a). $(f\circ g)(x)$

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=f(2x+)\\ &=2(2x+1)\\ &=4x+2 \end{align*}$

Jadi, $(f\circ g)(x)=4x+2$

(b) $(g\circ f)(x)$

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=g(2x)\\ &=2(2x)+1\\ &=4x+1 \end{align*}$ 

Jadi, $(g\circ f)(x)=4x+1$

Contoh Soal 2

Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}-x+3$ dan $g(x)=3x-2$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)=….$

(A) $\begin{align*} 3x^{2}-4x+3 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} 3x^{2}-3x+7 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 3x^{2}+5x+3 \end{align*}$
(D) $\begin{align*} 6x^{2}-12x+9\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 9x^{2}-15x+9\end{align*}$

Pembahasan

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(3x-2)\\ &=(3x-2)^{2}-(3x-2)+3\\ &=9x^{2}-12x+4-3x+2+3\\ &=9x^{2}-15x+9\\ \end{align*}$

Jadi, $\begin{align*} (f\circ g)(x) &=9x^{2}-15x+9\\ \end{align*}$ 

Jawaban D

Contoh Soal 3

Diketahui fungsi $f:R\rightarrow R$ ditentukan oleh rumus $f(x)=2x+3$ dan  $g:R\rightarrow R$ ditentukan dengan rumus $g(x)=x^{2}+x-2$. Nilai dari $(g\circ f)(-4)=....$
(A) $-20$
(B) $-16$
(C) $0$
(D) $18$
(E) $23$

Pembahasan
Sebelum menentukan nilai $(g\circ f)(-4)$, terlebih dahulu kita tentukan rumus fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x+3)\\ &=(2x+3)^{2}+(2x+3)-2\\ &=4x^{2}+12x+9+2x+3-2\\ &=4x^{2}+14x+10 \end{align*}$ 

Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)(x) &=4x^{2}+14x+10 \end{align*}$ .

Kemudian kita cari nilai dari $(g\circ f)(-4)$, ialah dengan cara substitusi $x=-4$ ke $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=4x^{2}+14x+10\\ (g\circ f)(-4)&=4x^{2}+14x+10\\ &=4(-4)^{2}+14(-4)+100\\ &=64-56+10\\ &=18 \end{align*}$ 

Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)(-4) &=18 \end{align*}$

Jawaban D

Contoh Soal 4

UN SMA 2017 Prog. IPS

Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}+5x-15$ dan fungsi $g(x)=x+2$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)= ....$

(A) $\begin{align*} x^{2}+9x+7 \end{align*}$ 

(B) $\begin{align*} x^{2}+9x-1 \end{align*}$ 

(C) $\begin{align*} x^{2}+7x+7 \end{align*}$ 

(D) $\begin{align*} x^{2}+5x+7 \end{align*}$
(E) $\begin{align*} x^{2}+5x-7 \end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(x+2)\\ &=(x+2)^{2}+5(x+2)-15\\ &=x^{2}+4x+4+5x+10-15\\ &=x^{2}+9x-1 \end{align*}$

Jawaban B

Contoh Soal 5

Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f(x)=2x^{2}+3x-5$ dan $g(x)=3x-2$. Agar $\begin{align*} (g\circ f)(t)=-11 \end{align*}$, maka nilai $t$ positif yang memenuhi ialah .....
$\begin{align*} &\textrm{A}.\;2\frac{1}{2}\\ &\textrm{B}.\;1\frac{1}{6}\\ &\textrm{C}.\;1\\ &\textrm{D}.\;\frac{1}{2}\\ &\textrm{E}.\;\frac{1}{6} \end{align*}$  
Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=2x^{2}+3x-5\\ g(x)&=3x-2\\ (g\circ f)(t)&=-11 \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x^{2}+3x-5)\\ &=3(2x^{2}+3x-5)-2\\ &=6x^{2}+9x-15-2\\ &=6x^{2}+9x-17\\ (g\circ f)(t)&=-11\\ 6t^{2}+9t-17&=-11\\ 6t^{2}+9t-6&=0\\ (3t+6)(2t-1)&=0\\ 3t+6=0\;\;\textrm{atau}\;\;2t-1&=0\\ t=-2\;\;\textrm{atau}\;\;t&=\frac{1}{2} \end{align*}$ 
Jadi, nilai $t$ positif ialah $t=\frac{1}{2}$.

Berikut beberapa contoh soal merampungkan masalah-masalah kontekstual dengan menggunakan konsep fungsi komposisi.

Contoh Soal 6

(Masalah Gaji dan Tunjangan)

PT. Hinomaru menerapkan sistem yang unik dalam menawarkan tunjang kepada karyawannya. Di perusahan ini, setiap bulannya seorang karyawan akan menerima dua macam pertolongan ialah tunjang keluarga dan pertolongan kesehatan. Besarnya tunjang keluarga ditentukan dari $\frac{1}{5}$ honor pokok ditambah Rp$50.000,00$. Sementara besarnya pertolongan kesehatan ialah setengah dari pertolongan keluarga. 

Berdasarkn situasi tersebut:

a) buatlah model matematika yang menyatakan kekerabatan besarnya pertolongan kesehatan dan honor karyawan tersebut.

b) Berapakah besarnya pertolongan kesehatan seorang karyawan yang memiliki honor pokok Rp$2.000.000,00$.

Pembahasan
Diketahui:
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kessehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \end{align*}$
Ditanyakan:
a) model matematika yang menyatakan kekerabatan besarnya pertolongan kesehatan dan honor karyawan.
b) berapakah besarnya pertolongan kesehatan seorang karyawan yang memiliki honor pokok Rp$2.000.000,00$.
Penyelesaian
Misalkan:
a. Gaji pokok $=x$
   Tunjangan keluarga $=y$
   Tunjangan kesehatan $=z$
Maka mampu dibuat model matematikanya masing-masing sebgai berikut.
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ y(x)&=\frac{1}{5}x+50.000\;\;\;\;....(1)\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kesehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \\ z(y)&=\frac{1}{2}y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(2) \end{align*}$
Besarnya pertolongan kesehatan terhadap honor pokok ialah komposisi dari fungsi $(2)$ dan $(1)$, mirip berikut:
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=z(y(x))\\ &=z(\frac{1}{5}x+50.000)\\ &=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}x+50.000)\\ (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000 \end{align*}$

b. Besar pertolongan kesehatan untuk seorang karyawan dengan honor pokok Rp$2.000.000,00$
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000\\ (z\circ y)(2.000.000)&=\frac{1}{10}\times 2.000.000 +25.000\\ &=200.000+25.000\\ &=225.000 \end{align*}$
Jadi, karyawan tersebut menerima pertolongan sebesar Rp$225.000$

Contoh Soal 7

(Masalah Produksi Barang)

Sebuah perusahan menggunakan 2 buah mesin untuk mengubah bahan mentah menjadi bahan jaadi. Mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Mesin I mengikuti fungsi $f(x)=2x-3$ dan mesin II mengikuti fungsi $g(x)=2x^{2}+x$.

(a) Apabila bahan mentah yang digunakan sebanya $x$, tentukan persamaan hasilnya.

(b) Apabila bahan mentah yang digunakan sebanyak $100$ kg, maka berapakah banyak hasil produksi?

Pembahasan

Pada kasus ini,hasil olahan mesin I dilanjutkan oleh mesin II.
\[\begin{align*}\textrm{Dimana}:\;\textrm{mesin}\;\textrm{I}&=f(x)=2x-3\\ \textrm{mesin}\;\textrm{II}&=g(x)=2x^{2}+x\\ \end{align*}\]

(a) Persamaan hasil produksi ialah komposisi fungsi $f$ dan $g$ sebagai berikut:

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ (g\circ f)(x)&=g(2x-3)\\ (g\circ f)(x)&=2(2x-3)^{2}+x\\ (g\circ f)(x)&=2(4x^{2}-12x+9)+x\\ (g\circ f)(x)&=8x^{2}-24x+18+x\\ (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan risikonya $\begin{align*} (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18 \end{align*}$ .
(b) Jika bahan mentah yang digunakan sebanyak $100$ kg, banyakk hasil produksinya:

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18\\ (g\circ f)(100)&=8(100)^{2}-23(100)+18\\ &=80.000-2300+18\\ &=77.718 \end{align*}$

Jadi, risikonya produksinya sebanyak $77.718$

Demikianlah yang mampu penulis berikan. Apabila dalam tabrakan pena ini terdapat kekeliruan baik itu proses penyelesaian maupun penulisannya, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah ini atau pengunjung mampu menghubungi saya melalui akun fesbuk Yan Fardian atau e-mail: yanfardian876@gmail.com. Terima kasih....

Bagikan Artikel ini