Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Statistika Data Tunggal
Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas ihwal Matematika Dasar Statistika Data Tunggal. Matematika dasar statistik data tunggal ini nantinya kan dikemabngkan pada statistika data berkelompok, jadi semoga mencar ilmu statistika data tunggal kurang lengkap kalau kita tidak juga coba pelajari statistik data berkelompok. Untuk mempermudah nantinya kita mencar ilmu statistika data berkelompok maka sebagai tahap awal mari kita mantapkan statistika data tunggal ini.
Penerapan statistik data tungga dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya sanggup dilihat pada soal-soal yang kita diskusikan di bawah ini. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada statistik data tunggal juga sangatlah mudah, kalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan simpel memahami soal-soal statistik data tunggal dan menemukan solusinya.
Matematika Dasar Statistika Data Tunggal yang akan kita coba diskusikan berikut berawal dari pertanyaan sederhana Bernat Yusuf Sihite.
"Pak saya ada pertanyaan" ialah satu kalimat yang paling ditunggu oleh setiap guru kalau masuk kelas pada umumnya. Jika ada guru yang tidak suka pada kalimat tersebut berarti ada yang salah pada guru tersebut sehingga guru tersebut sudah perli diberi pikinik beberapa minggu untuk 'merefresh' semangat keguruannya.
Kemarin beberapa menit sebelum jam pembelajaran selesai dan akan segera istirahat, salah satu generasi penerus bangsa yang ganteng di kelas saya namanya Bernat Yusuf Sihite mengangkat tangannya dan menyodorkan buku grafindo miliknya. Pak bagaimana merampungkan soal ini tanyanya sambil menyampaikan soal nomor 29. Karena soal yang lumayan panjang, Bernat menuliskannya di papan tulis, ibarat tertulis sebagai berikut;
1. Bank Soal MG Bekasi
Skor-skor dalam suatu ujian diolah dengan memakai rumus $y=px+q$ dimana $p$ dan $q$ ialah konstanta dan $x$ dan $y$ masing-masing ialah skor mentah dan skor hasil. Jika mean dan simpangan baku skor mentah masing-masing ialah $42$ dan $10$; dan mean dan simpangan baku skor hasil masing-masing ialah $50$ dan $15$ maka nilai $ 2p-q $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa $ x $ ialah skor mentah dimana mean-nya ialah $42$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}=42 $
$ x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=42n $
Begitu juga dengan $ y $ ialah skor hasil dimana mean-nya ialah $50$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}{n}=50 $
$ y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}=50n $
$ px_{1}+q+px_{2}+q+\cdots +px_{n}+q=50n $
$ p\left ( x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \right )+nq=50n $
$ 42n\cdot p+nq=50n $
$ 42p+q=50 $
$ q=50-42p $
Pada soal juga disampaikan bahwa simpangan baku $ x $ dan $ y $ berturut-turut ialah $10$ dan $15$, sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut:
$ s^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 10^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 100n=\left ( x_{1}-42 \right )^{2}+\left ( x_{2}-42 \right )^{2}+\cdots +\left ( x_{n}-42 \right )^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}-84x_{1}+42^{2}+x_{2}^{2}-84x_{2}+42^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84x_{n}+42^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})+n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})-n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(42n)-n\cdot 42^{2} $
Dengan melakukan proses aljabar yang sama untuk skor hasil yaitu $ y $ kita memperoleh persamaan sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n})-n\cdot 50^{2} $
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
Nilai $ y_{1}=px_{1}+q $ sehingga $ y_{1}^{2}=\left (px_{1} +q \right )^{2}=p^{2}x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2} $ hingga dengan $ y_{n}^{2}=\left (px_{n} +q \right )^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $
Dengan mensubstitusikan nilai $ y_{n}^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $, sekarang kita peroleh persamaan dengan bentuk sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2}+\cdots +p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \right )+2pq\left (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100n+84(42n)-n\cdot 42^{2}\right )+2pq\left (42n\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100+84(42)-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+100(50)-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+2\cdot42\cdot42-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+2\cdot50\cdot50-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2p\left (50-42p \right )\left (42\right ) +\left (50-42p \right )^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}+p^{2}42^{2}+4200p-2\cdot42^{2}p^{2}+50^{2}-2\cdot 50\cdot 42p+42^{2}p^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}=2725-2500 $
$ p^{2}=\dfrac{225}{100} $
$ p^{2}=2,25 $
$ p=1,5 $
$ q=50-42p $
$ q=50-42\left (1,5 \right ) $
$ q=50-63 $
$ q=-13 $
...
$\therefore\ 2p-q=16 \, \, \, (A) $
Untuk menambah perbendaharaan kita ihwal soal-soal statistika yang sudah pernah ditanyakan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk PTN, mari kita diskusikan beberapa soal berikut;
2. Soal SIMAK UI 2011 (*Soal Lengkap)
Jika rata-rata $20$ bilangan bulat nonnegative berbeda ialah $20$, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 210 \\
(B)\ & 229 \\
(C)\ & 230 \\
(D)\ & 239 \\
(E)\ & 240
\end{align}$
Jika $20$ bilangan bulat nonnegative kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{20}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}}{20}=20$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}=400$
Agar kita peroleh $x_{20}$ bilangan yang terbesar yang mungkin maka kita harus beranggapan bahwa $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots\ x_{19}$ ialah bilang bulat nonnegative berbeda yang terkecil yaitu $1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ 19$, sehingga:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{19}+x_{20}=400$
$1+2+3+\cdots +19+x_{20}=400$
$190+x_{20}=400$
$x_{20}=400-190$
$x_{20}=210$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 210$
3. Soal SIMAK UI 2011 (*Soal Lengkap
Sebuah keluarga memiliki $5$ orang anak. Anak tertua berumur $2$ kali dari umur anak termuda, sedangkan $3$ anak yang lainnya masing-masing berumur kurang $3$ tahun dari anak tertua, lebih $4$ tahun dari anak termuda, dan kurang $5$ tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka ialah $16$ tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6,25 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 12,25 \\
(E)\ & 20,25
\end{align}$
Jika kelima orang anak diurutkan dari anak pertama hingga anak kelima kita misalkan $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$, maka umur mereka sanggup kita tuliskan dalam beberapa persamaan $a_{1}=2a_{5}$, $a_{1}-3$, $a_{5}+4$ dan $a_{1}-5$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=\bar{x}$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=16$
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}=90$
$a_{1} + a_{1}-3 + a_{5}+4 + a_{1}-5 + a_{5}=90$
$3a_{1} +2a_{5}-4=90$
$3a_{1} +2a_{5}=94$
$3a_{1} +a_{1}=94$
$4a_{1}=94$
$a_{1}=23,5$
$a_{5}=11,75$
$a_{1}-3=20,5$
$a_{1}-5=18,5$
$a_{5}+4=15,75$
kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga:
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=\left (20,5-18,5 \right )^{2}$
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=2^{2}=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 4$
4. Soal SIMAK UI 2011 (*Soal Lengkap)
Pada suatu ujian yang diikuti oleh $50$ orang mahasiswa diperoleh nilai rata-rata ujian ialah $30$ dengan median $40$, simpangan baku $15$, dan simpangan kuartil $25$. Untuk memperbaiki nilai rata-rata, semua nilai dikalikan $2$ kemudian dikurangi $10$. Akibat yang terjadi adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \text{Meannya menjadi}\ 50 \\
(2)\ & \text{Simpangan bakunya menjadi}\ 30 \\
(3)\ & \text{Mediannya menjadi}\ 70 \\
(4)\ & \text{Simpangan kuartilnya menjadi}\ 50
\end{align}$
Misalkan Data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\
30&=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\
1500&=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50} \\
\hline
Me&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\
40&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\
80&=x_{25}+x_{26} \\
\hline
s&=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
15&=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( x_{i}-30 \right )^{2}} \\
15&=\sqrt{\dfrac{1}{50}\left (\left ( x_{1}-30 \right )^{2}+\left ( x_{2}-30 \right )^{2}+\cdots+\left ( x_{50}-30 \right )^{2} \right )} \\
\hline
Q_{d}&=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\
25&=\dfrac{1}{2}(x_{38}-x_{13}) \\
50&=x_{38}-x_{13}
\end{align}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots\ 2x_{50}-10$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50} \\
&= \dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50} \\
&= \dfrac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+ \cdots+ 2x_{50}-50 \times 10}{50} \\
&= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})-50 \times 10}{50} \\
&= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})}{50}- \dfrac{50 \times 10}{50} \\
&= 2\left (\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50}}{50} \right )- 10 \\
&= 2\left ( 30 \right )- 10 \\
&= 50
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa memakai aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $30$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka rata-rata gres ialah $2 \times 30 -10=50$
$\begin{align}
Me_{B} &=\dfrac{1}{2}(2x_{25}-10+2x_{26}-10) \\
&=\dfrac{1}{2}(2x_{25}+2x_{26}-20) \\
&=x_{25}+x_{26}-10 \\
&=80-10=70
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa memakai aturan bahwa median berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama mediannya $40$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka median gres ialah $2 \times 40-10=70$
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-(2\bar{x}-10) \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-2\bar{x}+10 \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i} -2\bar{x} \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}(2^{2})\left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\
&= 2\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} \left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\
&= 2(15)=30
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa memakai aturan bahwa simpangan baku berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan bakunya $15$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan baku gres ialah $2 \times 15=30$
$\begin{align}
Q_{d_{B}} &= \dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( \left (2x_{38}-10 \right )-\left (2x_{13}-10 \right ) \right ) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}-10 - 2x_{13}+15 \right ) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}- 2x_{13} \right ) \\
&= x_{38}- x_{13} \\
&= 50
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa memakai aturan bahwa simpangan quartil berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan quartilnya $25$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan quartil gres ialah $2 \times 25=50$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ (1)(2)(3)(4)$
5. Soal SBMPTN 2017 (*Soal Lengkap)
Diketahui median dan rata-rata berat badan $5$ balita ialah sama. Setelah ditambah satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat $1\ kg$, sedangkan mediannya tetap. Jika $6$ data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & \dfrac{9}{2} \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & \dfrac{13}{2}
\end{align}$
Misalkan
Data Lama: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\
b_{3} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\
5b_{3} &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5} \\
4b_{3} &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5} \\
\end{align}$
Data Baru: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ b_{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\
b_{3}+1 &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\
6(b_{3}+1) &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
6b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
5b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
5b_{3}+6 &= 4b_{3}+b_{b} \\
b_{3}+6 &= b_{b}
\end{align}$
Karena masuknya data gres mengakibatkan rata-rata naik $1\ kg$ maka nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$, kemungkinan-kemungkinan urutan data adalah:
- $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{b},\ b_{4},\ b_{5}$
Nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$ sehingga pada kemungkinan ini median akan naik, sedangkan dikatakan median tetap $b_{3}$ maka pada posisi ini tidak memenuhi. - $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{b},\ b_{5}$
pada kemungkinan ini alasannya yaitu median tetap sehingga $b_{3}=b_{4}$,
selisih $b_{b}-b_{4}$ ialah $b_{3}+6-b_{3}=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 6$
6.Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)
Nilai ujian Matematika $30$ siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada $10$. Rata-rata nilai mereka ialah $8$ dan hanya terdapat $5$ siswa yang memperoleh nilai $7$. Jika $p$ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari $7$, maka nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 11
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{30}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30} \\
8 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30} \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30} \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+\ 5 \times 7 \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+ 35 \\
205 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}
\end{align}$
Agar nilai $p$ terbesar maka kita harap nilai $p$ semuanya ialah $6$ dan nilai yang lebih dari $7$ ialah $10$.
Jumlah $25$ nilai yang tidak $7$ ialah $205$ dan nilainya diharapkan paling banyak ialah $6$ kemudian $10$.
Jika semua nilai $6$ maka jumlahnya ialah $6 \times 25 =150$, semoga tercapai $205$ dibutuhkan ada nilai $10$.
Nilai $10$ yang diharapkan yaitu sebanyak $13$.
Alternatif cara memperoleh: $\dfrac{55}{4}=13\ \text{sisa}\ 3$ artinya dibutuhkan nilai $10$ sebanyak $13$ dan nilai $9$ sebanyak $1$.
Nilai $6$ yang paling banyak ialah $30-5-13-1=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 11$
7.Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa ialah $6$. Jika median data tersebut ialah $6$ dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 ialah $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertiggi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 14 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 17
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{6}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6} \\
6 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6} \\
36 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6} \\
\hline
\text{Median} &= 6 \\
Me &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\
6 &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\
12 &= x_{3}+x_{4} \\
\hline
\text{Jangkauan}&= 6 \\
x_{6}-x_{1} &=6 \\
x_{1}&= x_{6}-6 \\
\hline
\text{Selisih Quartil}&= 4 \\
Q_{3}-Q_{1}&= 4 \\
x_{5}-x_{2} &= 4 \\
x_{2} &= x_{5}-4
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\
(x_{6}-6) + (x_{5}-4) + (12)+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\
2x_{5}+2x_{6}+2 &= 36 \\
2x_{5}+2x_{6} &= 34 \\
x_{5}+x_{6} &= 17 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 17$
8.Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)
Rata-rata nilai ujian Matematika siswa di suatu kelas dengan $50$ siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut ialah $350$. Jika data nilai-nilai ujian Matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}}{n}$
$\bar{x}=\dfrac{350}{50}$
$\bar{x}=7$
Rata-rata tetap kalau $x_{1}$ dan $x_{50}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$7=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$336=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}$
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}$
$x_{1} + 336 + x_{50}=350$
$x_{1} +x_{50}=14$
Dengan $x_{1} +x_{50}=14$ dan $x_{1},\ x_{50}$ bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$.
Jangkauan data ($R=x_{50} -x_{1}$) yang mungkin ialah dikala nilai $x_{50},\ x_{1}$ yaitu $10,\ 4$; $9,\ 5$; $8,\ 6$; $7,\ 7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 4$
9.Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)
Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka ialah $7$. Terdapat hanya $2$ orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya $1$ orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang $0,1$ kalau semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\ x_{21},\ x_{22},\ x_{23}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$7=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
Rata-rata berkurang $0,1$ kalau $x_{22}, x_{23}$ dan $x_{1}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$6,9=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$138=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
$161=x_{1} + 138 + x_{22}+x_{23}$
Misalkan nilai terendah ialah $m$ dan tertinggi ialah $n$.
$161=m + 138 + n+n$
$23=m + 2n$
Semua nilai berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, nilai $m$ yang mungkin adalah:
- $m=1$ maka $1 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=11$ (TM)
- $m=2$ maka $2 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{21}{2}$ (TM)
- $m=3$ maka $3 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=10$
- $m=4$ maka $4 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{19}{2}$ (TM)
- $m=5$ maka $5 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=9$
- $m=6$ maka $6 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{17}{2}$ (TM)
- $m=7$ maka $7 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=8$ (TM) Sebagai materi bernalar, coba dipikirkan kenapa nilai $n$ diatas Tidak Memenuhi (TM)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 2$
10.Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)
Seorang siswa mengikuti $6$ kali ujian dengan nilai $5$ ujian pertama $6,\ 4,\ 8,\ 5$ dan $7$. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada $10$ dan rata-rata $6$ kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\, x_{5},\ x_{t}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{5}+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{4 + 5 + 6 + 7+ 8+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{30+x_{t}}{6}$
Pada data awal $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ rata-rata ialah $6$ dan median ialah $6$.
Setelah ujian terakhir diikutkan rata-rata data lebih kecil dari median sehingga kalau diurutkan, urutan data kemungkinannya ialah sebagai berikut:
- $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ x_{t}$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin ialah $8$ - $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ x_{t},\ 8$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin ialah $7,\ 8$ - $4,\ 5,\ 6,\ x_{t},\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 3(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 18+3x_{t} $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin ialah $7$ - $4,\ 5,\ x_{t},\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3x_{t}+18 $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $4,\ x_{t},\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $x_{t},\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin ialah $1,\ 2$
11.Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)
Suatu ujian di ikuti dua kelompok dan setiap kelompok terdiri dari $5$ siswa. Nilai rata-rata kelompok I ialah $63$ dan kelompok II ialah $58$. Seorang siswa kelompok I pindah ke kelompok II sehingga nilai rata-rata kelompok I menjadi $65$. Maka nikai rata-rata kelompok II sekarang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 55,5 \\
(B)\ & 56 \\
(C)\ & 57,5 \\
(D)\ & 58 \\
(E)\ & 58,5
\end{align}$
Misalkan Kelompok $I$: $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$
Kelompok $II$: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\bar{x}=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5}$
$63=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5}$
$315=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$\bar{x}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5}$
$58=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5}$
$290=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$
Seorang siswa Kelompok $I$ pindah ke Kelompok $II$ sehingga rata-rata Kelompok $I$ menjadi $65$;
$65=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}$
$260=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$
$315=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$315=260+a_{5}$
$55=a_{5}$
Rata-rata kelompok II yang baru
$\bar{x}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+a_{5}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{290+55}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{345}{6}=57,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 57,5$
12.Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)
Berat rata-rata $10$ siswa ialah $60\ kg$. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi $60,5\ kg$. Jika berat Andi $60\ kg$, maka berat siswa yang digantikan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 53 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 55 \\
(D)\ & 56 \\
(E)\ & 57
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots,\ x_{10}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$60=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$600=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
Salah seorang digantikan Andi, kita misalkan $x_{1}$
$60,5=\dfrac{x_{A}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$605=60+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$545=x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$600=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$600=x_{1}+545$
$x_{1}=600-545=55$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 55$
13.Soal SNMPTN 2009 (*Soal Lengkap)
Rata-rata sekelompok bilangan ialah $40$. Ada bilangan yang bahwasanya ialah $60$, tetapi terbaca $30$. Setelah dihitung kembali ternyata rata-rata yang benar ialah $41$. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 25 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 42 \\
(E)\ & 45
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots ,\ x_{n}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40=\dfrac{30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40n=30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$40n-30 = x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41=\dfrac{60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41n=60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$41n=60 + 40n-30$
$n=30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 30$
14.Soal SNMPTN 2012 (*Soal Lengkap)
Jika lima data memiliki rata-rata $12$, median $12$, modus $15$, dan range (jangkauan) $7$, maka data kedua setelah diurutkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 11 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 13
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}$
$\text{Rata-rata}=12$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$12=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$\text{Median}=12$
$Me=x_{3}=12$
$\text{Range}=7$
$x_{5} - x_{1}=7$
$x_{5} - 7=x_{1}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$60=x_{5}-7 + x_{2} + 12 + x_{4} + x_{5}$
$60-5=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
$55=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
Karena $Me=x_{3}=12$ dan $Mo=15$ maka sanggup kita simpulkan $x_{4}=x_{5}=15$.
Nilai $x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}=55$
$x_{2}+ 15 + 30=55$
$x_{2}=55-45$
$x_{2}=10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 10$
15.Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Tiga puluh data memiliki rata-rata $p$. Jika rata-rata $20 \%$ data diantaranya ialah $p+0,1$, $40 \%$ lainnya ialah $p-0,1$, $10 \%$ lainnya lagi ialah $p-0,5$ dan rata-rata $30 \%$ data sisanya ialah $p+q$, maka $q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{1}{5} \\
(B)\ & \frac{4}{15} \\
(C)\ & \frac{1}{3} \\
(D)\ & \frac{7}{30} \\
(E)\ & \frac{3}{10}
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots ,\ x_{30}$
$\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1} + \bar{x}_{2} \cdot n_{2} + \bar{x}_{3} \cdot n_{3}+ \bar{x}_{4} \cdot n_{4}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}}$
$p=\dfrac{(p+0,1) \cdot 6 + (p-0,1) \cdot 12 + (p-0,5) \cdot 3+ (p+q) \cdot 9}{6+12+3+9}$
$p=\dfrac{6p+0,6 + 12p-1,2 + 3p-1,5+ 9p+9q}{30}$
$p=\dfrac{30p+2,1+9q}{30}$
$30p=30p+2,1+9q$
$2,1=9q$
$q=\frac{2,1}{9}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \frac{7}{30}$
16. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan asli yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa ialah $\dfrac{61}{4}$, maka $n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Untuk soal pilihan ganda, soal ini bisa cepat ditemukan jawabnya dengan memakai keterangan soal yaitu setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya ialah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan setelah dihapus $(n-1)$ harus kelipatan $4$ dengan asumsi kalau $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali balasannya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi ialah $n=29$.
Tetapi kalau soal disajikan uraian maka cara kerjanya akan berbeda atau yang buat soal lebih berakal dalam membuat pilihan misalnya pilihan dirubah menjadi: $(A)\ 17\ (B)\ 21\ (C)\ 25\ (D)\ 29\ (E)\ 33$
Untuk $n$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{n+1}{2}$
$\overline{x}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n+2}{2}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n}{2}+1$
$\overline{x}_{b1}=\overline{x}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{n}{2}$
$\overline{x}_{b2}=\overline{x}-\dfrac{1}{2}$
Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan asli pertama kalau salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang gres berada pada rentang
$\overline{x}_{b2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1}$.
$\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$.
Pada soal disampaikan bahwa rata-rata setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya ialah $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:
- $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
- $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
$14,75 \leq \overline{x}$ - $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
$\overline{x} \leq 15,75$
Dari pertidaksamaan diatas kita peroleh;
$14,75 \leq \overline{x} \leq 15,75$
$14,75 \leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75$
$14,25 \leq \dfrac{n}{2} \leq 15,25$
$28,5 \leq n \leq 30,5$
$n$ ialah banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi ialah $29$ atau $30$. Karena setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya ialah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ setelah dihapus harus kelipatan $4$ dengan asumsi kalau $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali balasannya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi ialah $n=29$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 29$
17. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan asli yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa ialah $\dfrac{61}{4}$. Bilangan yang dihapus tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Untuk $n$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{n+1}{2}$
$\overline{x}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n+2}{2}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n}{2}+1$
$\overline{x}_{b1}=\overline{x}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{n}{2}$
$\overline{x}_{b2}=\overline{x}-\dfrac{1}{2}$
Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan asli pertama kalau salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang gres berada pada rentang
$\overline{x}_{b2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1}$.
$\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$.
Pada soal disampaikan bahwa rata-rata setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya ialah $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:
- $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
- $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
$14,75 \leq \overline{x}$ - $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
$\overline{x} \leq 15,75$
Dari pertidaksamaan diatas kita peroleh;
$14,75 \leq \overline{x} \leq 15,75$
$14,75 \leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75$
$14,25 \leq \dfrac{n}{2} \leq 15,25$
$28,5 \leq n \leq 30,5$
$n$ ialah banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi ialah $29$ atau $30$. Karena setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya ialah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ setelah dihapus harus kelipatan $4$ dengan asumsi kalau $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali balasannya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi ialah $n=29$.
Untuk $29$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{29+1}{2}=15$
Jika sebuah bilangan dihapus maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{n-1}$
$\dfrac{61}{4}=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{28}$
$\dfrac{61}{4} \times 28= 1+2+3+\cdots+29 -x$
$427= 1+2+3+\cdots+29 -x$
$427= 435 -x$
$x= 435-427=8 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 8$
18. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)
Data hasil pengukuran tinggi dari sembilan pohon yangsedang dalam pengamatan ialah sebagai berikut:
Nilai data tertinggi - data terendah adalah....
- Semua data beruap bilangan bulat tak nol
- Mean=median=modus=$3$
- Berdasarkan frekuensinya data terdiri dari 3 kelompok
- Jumlah kuadrat semua data ialah $105$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Jika $9$ tinggi pohon berupa bilangan asli kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{9}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}}{9}=3$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}=27$
Karena $median\ =\ modus\ =\ 3$, berdasarkan frekuensi data terbagi menjadi tiga kelompok dan jumlah kuadrat ialah $105$, maka beberapa kemungkinan data ialah sebagai berikut;
- $x_{1}+7 \times 3 +x_{9}=27$
$x_{1}+x_{9}=27-21=6$
- $x_{1}=1$ dan $x_{9}=5$ maka Jumlah kuadrat $1^{2}+7 \times 3^{2}+5^{2}=89$ (TM)
- $x_{1}=2$ dan $x_{9}=4$ maka jumlah kuadrat $2^{2}+7 \times 3^{2}+4^{2}=83$ (TM)
- $x_{1}+x_{2}+6 \times 3 +x_{9}=27$
$x_{1}+x_{2}+x_{9}=27-18=9$
- $x_{1}=1,\ x_{2}=2$ dan $x_{9}=6$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+2^{2}+6 \times 3^{2}+6^{2}=95$ (TM)
- $x_{1}=x_{2}=1$ dan $x_{9}=7$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+1^{2}+6 \times 3^{2}+7^{2}=105$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 6$
19. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Sebelas siswa mengikuti suatu tes dan median nilai tes mereka ialah $91$. Jika sudah diketahui tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100\ \text{dan}\ 100 \\
(B)\ & 100\ \text{dan}\ 90 \\
(C)\ & 95\ \text{dan}\ 90 \\
(D)\ & 93\ \text{dan}\ 91 \\
(E)\ & 91\ \text{dan}\ 86
\end{align}$
Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Untuk nilai $90$ tempatnya:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Untuk letak nilai $96$ ada di dua kemungkinan:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan ialah $91$ dan $93$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 93\ \text{dan}\ 91$
20. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Sebelas siswa mengikuti suatu tes. Guru mengumumkan bahwa jangkauan data nilai siswa tersebut ialah $15$. Jika diumumkan tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 99\ \text{dan}\ 85 \\
(B)\ & 99\ \text{dan}\ 88 \\
(C)\ & 95\ \text{dan}\ 91 \\
(D)\ & 89\ \text{dan}\ 87 \\
(E)\ & 85\ \text{dan}\ 84
\end{align}$
Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Jangkaun data ialah $100-x_{1}=15$ maka $x_{1}=85$
$(85),\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Letak nilai $86$ dan $86$:
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Letak nilai $90,90,90$, dan $96$:
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ x_{8},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan ialah $85$ dan $99$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 99\ \text{dan}\ 85$
21. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Rata-rata tiga bilangan ialah $10$ lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan $8$ kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut ialah $14$, maka...
$(1)\ $ jangkauannya ialah $18$
$(2)\ $ variansianya ialah $84$
$(3)\ $ jumlahnya ialah $36$
$(4)\ $ simpangan rata-ratanya ialah $\dfrac{20}{3}$
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut kalau kita urutkan dari yang terkecil ialah $a,14,b$
$ \begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
a+10 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
3a+30 & = a+14+b \\
2a-b & = -16\ \text{pers.(1)}\\
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
b-8 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
3b-24 & = a+14+b \\
2b-a & = 38\ \text{pers.(2)}
\end{align} $
Dari persamaan yang kita peroleh di atas;
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -16\ & (\times 1) \\
2b-a =38\ & (\times 2) \\
\hline
2a-b = -16 & \\
4b-2a=76 & (+) \\
\hline
3b = 60 &\\
b = 20 &\\
a = 2(b)-38=2 &
\end{array} $
Ketiga bilangan ialah $2,14,20$ dengan $\overline{x}=12$
Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan
- Untuk point $(1)$ pernyataan jangkauannya ialah $18$ ialah BENAR, alasannya yaitu $J=20-2=18$
- Untuk point $(2)$ pernyataan variansianya ialah $84$ ialah BENAR
Varians yang kita pakai ialah varians untuk sampel, dirumuskan$ \begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n-1} \\
& = \dfrac{(12-2)^{2}+(14-12)^{2}+(20-12)^{2}}{3-1} \\
& = \dfrac{100+4+64}{2} \\
& = \dfrac{168}{2}= 84
\end{align} $ - Untuk point $(3)$ pernyataan jumlahnya ialah $36$ ialah BENAR, alasannya yaitu $2+14+20=36$
- Untuk point $(4)$ pernyataan simpangan rata-ratanya ialah $\dfrac{20}{3}$ ialah BENAR
$ \begin{align}
SR & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} | \overline{x}-x_{i}| }{n} \\
& = \dfrac{|12-2|+|14-12|+|20-12|}{3} \\
& = \dfrac{10+2+8}{3} \\
& = \dfrac{20}{3}
\end{align} $
22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Dari $5$ buah bilangan, bilangan yang terkecil $40$ dan terbesar $75$. Jika mediannya $50$ dan rata-ratanya $\bar{x}$, maka...
$\begin{align}
(A)\ & 47 \leq \bar{x} \leq 63 \\
(B)\ & 47 \leq \bar{x} \leq 68 \\
(C)\ & 49 \leq \bar{x} \leq 63 \\
(D)\ & 51 \leq \bar{x} \leq 58 \\
(E)\ & 51 \leq \bar{x} \leq 68 \\
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata sebuah data sanggup kita tentukan dengan $\bar{x}=\dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3}+ \cdots+ x_{n}}{n}$.
Dari $5$ buah bilangan $x_{min}=40$, $x_{max}=75$, dan $Me=50$
Kemungkinan rata-rata terkecil terjadi dikala $40,40,50,50,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +40+50 +50+75}{5} \\
&= \dfrac{255}{5}=51
\end{align} $
Kemungkinan rata-rata terbesar terjadi dikala $40,50,50,75,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +50+50 +75+75}{5} \\
&= \dfrac{290}{5}=58
\end{align} $
Rentang nilai rata-rata $\bar{x}$ ialah $51 \leq \bar{x} \leq 58$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 51 \leq \bar{x} \leq 58$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Nilai rata-rata ulangan kelas $A$ ialah $\bar{x}_{A}$ dan kelas $B$ ialah $\bar{x}_{B}$. Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya ialah $\bar{x}$. Jika $\bar{x}_{A}:\bar{x}_{B}=10:9$ dan $\bar{x}:\bar{x}_{B}=85:81$, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas $A$ dan $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8:9 \\
(B)\ & 9:8 \\
(C)\ & 4:5 \\
(D)\ & 5:4 \\
(E)\ & 3:5 \\
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal statistika yang mungkin membantu yaitu Rata-rata adonan sanggup kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.
$\begin{align}
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85}{81} \\
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85p}{81p} \\
\bar{x} &= 85p \\
\bar{x}_{B} &= 81p \\
\hline
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \times \dfrac{9p}{9p} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{90p}{81p} \\
\bar{x}_{A} &= 90p \\
\end{align} $
$\begin{align}
\bar{x}_{gab}&=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
\bar{x} &=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p &=\dfrac{90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p \cdot n_{A}+ 85p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B} \\
85p \cdot n_{B}- 81p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A} - 85p \cdot n_{A} \\
4p \cdot n_{B} &= 5p \cdot n_{A} \\
\dfrac{4p}{5p} &= \dfrac{n_{A}}{n_{B}} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 4:5$
24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui data: $7,6,2,p,3,4$. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya banyaknya nilai $p$ yang mungkin untuk $p$ bilangan asli adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Data $7,6,2,p,3,4$, maka $\bar{x} = \dfrac{p+2+3+4+6+7}{6}= \dfrac{22+p}{6}$.
Karena rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, sehingga kalau pada semua kemungkinan nilai $p$ data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar kemungkinannya adalah
- $p, 2,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin ialah $1$ atau $2$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{23}{6}=3,8...$ atau $\bar{x}= \dfrac{24}{6}=4$ dan $Me=3,5$ - $2, p,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin ialah $3$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{25}{6}=4,1..$ dan $Me=3,5$ - $2,3,p,4,6,7$
$p$ yang mungkin ialah $4$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{26}{6}$ dan $Me=3,5$ - $2,3,4,p,6,7$
$p$ yang mungkin ialah $5$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{27}{6}=4,5$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,p,7$
$p$ yang mungkin ialah $6$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{28}{6}=4,6..$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,7,p$
$p$ yang mungkin ialah $7,8,\cdots$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{29}{6}=4,8..$ atau lebih dari $4,8$ dan $Me=4,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 1$
25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Nilai matematika $7$ orang siswa, setelah diurutkan ialah sebagai berikut: $a,b,c,7,d,d,9$. Jika rata-rata semua siswa $7$ dan rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$, maka rata-rata $3$ nilai terbaik adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & \dfrac{25}{3} \\
(C)\ & \dfrac{26}{3} \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & \dfrac{28}{3}
\end{align}$
Nilai keseluruhan setelah diurutkan $a,b,c,7,d,d,9$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c+7+d+d+9}{7} \\
7 &= \dfrac{a+b+c+d+d+16}{7} \\
49 &= a+b+c+d+d+16 \\
33 &= a+b+c+d+d
\end{align}$
Rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\
\dfrac{17}{3} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\
17 &= a+b+c \\
\hline
33 &= a+b+c+d+d\\
33 &= 17+d+d\\
16 &=2d \\
8 &= d
\end{align}$
Rata-rata $3$ nilai terbaik adalah
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{d+d+9}{3} \\
&= \dfrac{8+8+9}{3} \\
&= \dfrac{25}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \dfrac{25}{3}$
26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui bilangan $a,b,5,3,7,6,6,6,6,6$ dengan rata-rata $5$ dan variansinya $\dfrac{13}{5}$. Nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal statistika data tunggal terkhusus Varians untuk data tunggal. Rumus varians data untuk populasi yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n}$ atau $S^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=5$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+b+5+3+7+6 \cdot 5}{10} \\
5 &= \dfrac{a+b+45}{10} \\
50 &= a+b+45 \\
5 &= a+b \\
\end{align}$
Diketahui variansinya $\dfrac{13}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n} \\
\dfrac{13}{5} &= \dfrac{(5-a)^{2}+(5-b)^{2}+(5-5)^{2}+(5-3)^{2}+(5-7)^{2}+5 \cdot (5-6)^{2}}{10} \\
26 &= a^{2}-10a+25+b^{2}-10b+25+0+4+4+5 \\
26 &= a^{2}+b^{2}-10(a+b) +63 \\
26-63 &= (a +b)^{2}-2ab-10(a+b) \\
-37 &= (5)^{2}-2ab-10(5) \\
-37 &= 25-2ab-50 \\
2ab &= -25+37=12 \\
ab &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 6$
27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Bilangan-bilangan bulat $a,a+1,a+1,7,b,b,9$ telah diurutkan dari terkecil ke yang terbesar. Jika rata-rata semua bilangan itu ialah $7$ dan simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, maka $a+b-1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat ihwal statistika data tunggal terkhusus simpangan rata-rata untuk data tunggal. Rumus simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) yaitu
$ SR=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=7$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+a+1+a+1+7+b+b+9}{7} \\
7 &= \dfrac{3a+2b+18}{7} \\
49 &= 3a+2b+18 \\
31 &= 3a+2b
\end{align}$
Diketahui simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
SR &=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n} \\
\dfrac{8}{7} &=\dfrac{\left | a-7 \right |+2\left | a+1-7 \right |+\left | 7-7 \right |+2\left | b-7 \right |+\left | 9-7 \right | }{7} \\
8 &= 7-a+2(6-a)+0+2(b-7)+2\\
8 &= 7-a+12-2a+2b-14+2\\
1 &= -3a+2b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+2b = 31 & \\
-3a+2b = 1 & (+) \\
\hline
4b = 32 & \\
b = 8 & \\
a = 5
\end{array} $
Nilai dari $a+b-1=8+5-1=12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 12$
28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Rata-rata $50$ bilangan dalam bentuk $m$ dan $n$ ialah $x$. Jika rata-rata $m$ ialah $a$ maka rata-rata $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{50x-am}{50a-m} \\
(B)\ & \dfrac{50mx-a}{50m-a} \\
(C)\ & \dfrac{50mx-am}{50m-a} \\
(D)\ & \dfrac{50x-am}{50-m} \\
(E)\ & \dfrac{50ax-am}{50a-m}
\end{align}$
Rumus rata-rata adonan yaitu
$\begin{align}
\overline{x}_{gab} &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ {n}_{m} + n_{n}} \\
x &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ 50} \\
50 x &= \overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n} \\
50 x &= a \cdot n_{m}+ \overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) \\
\overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) &= 50 x- a \cdot n_{m} \\
\overline{x}_{n} &= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\
\end{align}$
Untuk data $m$ dengan rata-rata $a$ berlaku:
$\begin{align}
\overline{x}_{m} &= \dfrac{m}{n_{m}} \\
a &= \dfrac{m}{n_{m}} \\
n_{m} &= \dfrac{m}{a}
\end{align}$
$\begin{align}
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot \dfrac{m}{a}}{ 50-\dfrac{m}{a}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- m}{ \dfrac{50a-m}{a}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50a x- am}{ 50a-m }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ \dfrac{50ax-am}{50a-m}$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Sekumpulan bilangan memiliki nilai rata-rata $25$ dengan jangkauan $10$. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi dengan $a$, kemudian hasinya dibagi dengan $b$, akan menghasilkan bialngan gres dengan rata-rata $15$ dan jangkauan $5$. Nilai $2a+5b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Misalkan sekumpulan bilangan sebelum mendapatkan tindakan kita sebut "Data Lama": $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{n}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
25 &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{25} \\
25n &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} \\
\hline
R &= x_{n}-x_{1} \\
10 &= x_{n}-x_{1}
\end{align}$
Misalkan sekumpulan bilangan setelah mendapatkan tindakan kita sebut "Data Baru", dimana setiap data lama dikurangi dengan $a$, kemudian hasinya dibagi dengan $b$.
$\dfrac{x_{1}-a}{b},\ \dfrac{x_{2}-a}{b},\ \cdots\ \dfrac{x_{n}-a}{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\
15 &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\
15n &= \dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b} \\
15nb &= x_{1}-a + x_{2}-a + \cdots + x_{n}-a \\
15nb &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}- an \\
15nb &= 25n - an \\
15 b &= 25 - a \\
15 b +a &= 25
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa memakai aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $25$ kemudian setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka rata-rata gres ialah $15=\dfrac{25-a}{b}$
$\begin{align}
R &= \dfrac{x_{n}-a}{b}-\dfrac{x_{1}-a}{b} \\
5 &= \dfrac{x_{n}-x_{1}}{b} \\
5 &= \dfrac{10}{b} \\
5b &= 10 \\
b &= 2
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa memakai aturan bahwa jangkauan berubah mengikuti "tindakan perkalian atau pembagian" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama jangkauannya $10$ kemudian setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka jangkauan gres ialah $5 = \dfrac{10}{b}$.
Berdasarkan apa yang kita peroleh di atas $b = 2$ dan $15 b +a = 25$ maka $2a+5b=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 5$
30. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui data $2,6,7,1,4$. Varians data tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5,4 \\
(B)\ & 5,8 \\
(C)\ & 6,0 \\
(D)\ & 6,2 \\
(E)\ & 6,5
\end{align}$
Materi pokok dari soal ini ialah Statistika data tunggal, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Statistika data tunggal.
Rumus varians data untuk populasi yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n}$ atau $S^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
Dari data pada soal sanggup kita hitung rata-rata:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{1+2+4+6+7}{5} \\
&= \dfrac{20}{5} \\
&= 4 \\
\end{align}$
Varians data tersebut adalah:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n} \\
&= \dfrac{(4-1)^{2}+(4-2)^{2}+(4-4)^{2}+(4-6)^{2}+(4-7)^{2}}{4} \\
&= \dfrac{(3)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}}{4} \\
&= \dfrac{9+4+0+4+9}{4} \\
&= \dfrac{26}{4} \\
&= 6,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 6,5$
15. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)
Jika kuartil ketiga dari data berurutan $x-2$, $2x-3$, $3x-7$, $3x-3$, $3x+2$, $4x-2$, $5x+2$ ialah $18$, maka...
$\begin{align}
(1)\ & \text{mediannya adalah}\ 12 \\
(2)\ & \text{rata-ratanya adalah}\ 13 \\
(3)\ & \text{jangkauan antarkuartilnya adalah}\ 11 \\
(4)\ & \text{jangkauan adalah}\ 23 \\
\end{align}$
Karena data $x-2$, $2x-3$, $3x-7$, $3x-3$, $3x+2$, $4x-2$, $5x+2$ sudah berurutan, maka berlaku:
$\begin{align}
Q_{3} &= \text{suku ke-}\ 6 \\
18 &= 4x-2 \\
20 &= 4x \\
x &= 5
\end{align}$
Untuk $x=5$ maka data: $3$,$7$,$8$,$12$,$17$,$18$,$27$.
- Median, $Me=12$
- Rata-rata $\bar{x}_{7} =\dfrac{3+7+8+12+17+18+27}{7}=\dfrac{92}{7}=13,14$
- Jangkauan antar quartil $Q_{d}=Q_{3}-Q_{1}=18-7=11$
- Jangkauan $R=x_{max}-x_{min}=27-3=24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian tamat semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Siswa kreatif ini bisa menyampaikan kreativitas dan kemampuannya melalui PBB, mari kita lihat keterampilan kreatif mereka;
Belum ada Komentar untuk "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Statistika Data Tunggal"
Posting Komentar