Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi

Rabu, 09 Januari 2019 Tambah Komentar Edit

limit fungsi trigonometriAturan Turunan Fungsi

$\dfrac{d}{dx}[c]=0$

$\dfrac{d}{dx}[x]=1$

$\dfrac{d}{dx}[cx^{n}]=cnx^{n-1}$

$\dfrac{d}{dx}[cu]=cu'$

$\dfrac{d}{dx}[u \pm v]=u' \pm v'$

$\dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'$

$\dfrac{d}{dx}[\dfrac{u}{v}]=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$

$\dfrac{d}{dx}[\left |u \right |]=\dfrac{u}{\left |u \right |}(u'),\ u\neq 0 $

$\dfrac{d}{dx}[ln\ u]=\dfrac{u'}{u}$

$\dfrac{d}{dx}[e^{u}]=u'e^{u}$

$\dfrac{d}{dx}[log_{a}u]=\dfrac{u'}{(ln\ a)u}$

$\dfrac{d}{dx}[a^{u}]=a^{u}u'(ln\ a)$

$\dfrac{d}{dx}[sin\ u]=u'(cos\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[cos\ u]=-u'(sin\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[tan\ u]=u'(sec^{2}\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[cot\ u]=-u'(csc^2\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[sec\ u]=u'(sec\ u\ tan\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[csc\ u]=-u'(csc\ u\ cot\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[arcsin\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$\dfrac{d}{dx}[arccos\ u]=\dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$\dfrac{d}{dx}[arctan\ u]=\dfrac{u'}{1+u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[arccot\ u]=\dfrac{-u'}{1+u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[arcsec\ u]=\dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$

$\dfrac{d}{dx}[arccsc\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$

$\dfrac{d}{dx}[sinh\ u]=u'(cosh\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[cosh\ u]=-u'(sinh\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[tanh\ u]=u'(sech^{2}\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[coth\ u]=-u'(csch^2\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[sech\ u]=-u'(sech\ u\ tanh\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[csch\ u]=-u'(csch\ u\ coth\ u)$

$\dfrac{d}{dx}[sinh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}$

$\dfrac{d}{dx}[cosh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}$

$\dfrac{d}{dx}[tanh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[coth^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$

$\dfrac{d}{dx}[sech^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^{2}}}$

$\dfrac{d}{dx}[csch^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{1+u^{2}}}$

Menentukan Gradien Garis Singgung KurvaFungsi Naik dan Fungsi Turun

Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$

Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

Nilai Maksimum atau Minimum Sebuah Fungsi

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\
h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\
1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\
1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\
4 & = -4 - 4a \\
8 & = - 4a \\
a & = \dfrac {8}{-4} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -3 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = f(x)+g(x) \\
h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\
h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\
-3 & = -4+a \\
a & = -3+4=1
\end{align}$

$\begin{align}
k(x) & = f(x)g(x) \\
k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\
& = (-4)(2)+(1)(1) \\
& = -8+1=-7 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -7$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menerima turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

4. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ yaitu $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$Alternatif Pembahasan: show

Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
& =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\
& =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\
& =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -18x^{2}+30x+18$

5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$(A)\ 1 \lt x \lt 3$
$(B)\ -1 \lt x \lt 3$
$(C)\ -3 \lt x \lt 1$
$(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$
$(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$Alternatif Pembahasan: show

Syarat suatu fungsi akan turun yaitu turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ yaitu $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\
3x^2+6x-9 & \lt 0 \\
x^2+2x-3 & \lt 0 \\
(x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =-3\ \text{atau} \\
x & =1 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$

Jika masih kesulitan merampungkan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -3 \lt x \lt 1$

6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$Alternatif Pembahasan: show

Syarat suatu grafik fungsi akan naik yaitu turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ yaitu $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan merampungkan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

7. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$Alternatif Pembahasan: show

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ yaitu $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -3x^{2}+6x-3$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka mampu kita misalkan akar-akarnya yaitu $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\
1 & = q
\end{align}$

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\
m+m^{-1} & = p
\end{align}$

Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align}
p-q & = m+m^{-1} - 1 \\
(p-q)' & = 1-m^{-2} \\
1-m^{-2} & = 0 \\
m^{-2} & = 1 \\
\dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\
1 & = m^{2} \\
m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)}
\end{align}$

Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -3$

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ yaitu fungsi kuadrat yang memiliki garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 22
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Diketahui $f(x)$ yaitu fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.

Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ yaitu $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align}
m & = f'(x)=2ax +b \\
m & = f'(-1) \\
-1 & = -2a+b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
-2a+b = -1 & \\
\hline
2b = 2 & \\
b = 1 & \\
a = 1
\end{array} $
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$

$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 22$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$, maka...
$(1)\ $ $f$ terdefenisi di $x \geq 0$
$(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$
$(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ yaitu garis singgung di $x=2$
$(4)\ $ $f$ selalu memiliki turunan di setiap titikAlternatif Pembahasan: show

Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan

Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefenisi di $x \geq 0$ yaitu BENAR
Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut memiliki daerah hasil di himpunan bilangan real.
Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ yaitu BENAR
$ \begin{align}
f(x) & = (x-1)^\dfrac{2}{3} \\
f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\
f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{2}{3}
\end{align} $
Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ yaitu garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ yaitu BENAR
$ \begin{align}
m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\
m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \\
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\
y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\
y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\
\end{align} $
Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu memiliki turunan di setiap titik yaitu SALAH, lantaran $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ tidak memiliki nilai turunan saat $x=1$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$

11. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)Sebuah kotak dengan ganjal persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang ganjal dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya yaitu $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 15
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kita misalkan ganjal dan tinggi kotak masing-masing yaitu $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align}
V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\
2 &= a^{2} \cdot t \\
t &= \dfrac{2}{a^{2}}
\end{align}$

Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align}
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\
L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\
L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\
\end{align}$

Biaya pembuatan bidang ganjal dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align}
B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1}
\end{align}$

Untuk menerima biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
B' &= 8a - 8 a^{-2} \\
0 &= 8a - 8 a^{-2} \\
0 &= 8a^{3} - 8 \\
8a^{3} &= 8 \\
a^{3} &= 1 \\
a &= 1
\end{align}$

Biaya termurah kita peroleh dikala $a=1$ sehingga biaya termurah yaitu
$\begin{align}
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\
p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\
p &= 12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 12$

12. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 23
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menerima nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= x^{2}-4x +3 \\
0 &= (x-1)(x-3) \\
x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\
\hline
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\
&= -1+6-9+7=3 \\
f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\
&= -27+54-27+7=7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 7$

Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum mampu juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum yaitu $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum yaitu $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= x^{2}-4x +3 \\
0 &= (x-1)(x-3) \\
x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\
\hline
f''(x) &= -6x+12 \\
f''(1) &= -6(1) +12=6 \\
f''(3) &= -6(3) +12=-6
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ yaitu pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ yaitu $f(3)$ yaitu $7$.

13. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)Jumlah dua bilangan positif yaitu $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 50
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Misal kedua bilangan yaitu $a$ dan $b$;
$\begin{align}
a+b &= 120 \\
b &= 120-a \\
H &= a^{2} \cdot b \\
&= a^{2} \cdot (120-a) \\
&= 120a^{2} - a^{3}
\end{align}$

Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua yaitu $H$, dan untuk menerima $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
H' &= 240a -3a^{ 2} \\
0 &= 240a -3a^{ 2} \\
0 &= a \left( 240 -3a \right) \\
a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80
\end{align}$

Nilai $H$ maksimum kita peroleh dikala $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil yaitu $80-40=40$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 40$

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\
f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\
f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\
0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\
f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\
0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\
\end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+4-n = 0 & \\
75m-20-n = 0 & (-)\\
\hline
-72m = 24 \\
m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\
n = 3\\
\hline
3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\
3m-n =-1-3=-4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -4$

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 12
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
g(x) &=\dfrac{u}{v} \\
g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\
g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\
g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-12 }{1}=-12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -12$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)Syarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\
(B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\
(C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\
(D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\
(E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\
f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$

Agar $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3 \lt 0 $, ini berarti $f'(x)$ selalu bernilai negatif atau dengan istilah lain $f'(x)$ yaitu definit negatif.

Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:

$p \lt 0$ sudah memenuhi lantaran $p=-3$
$D=q^{2}-4pr \lt 0 $
$(a-1)^{2}-4(-3)(-3) \lt 0 $
$a^{2}-2a+1-36 \lt 0 $
$a^{2}-2a -35 \lt 0 $
$(a-7)(a+5) \lt 0 $
Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol yaitu $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ memiliki nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ mampu ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$

Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\
0 &= 4-4 +a \\
0 &= a \\
\hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\
b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\
&= 1-2=-1 \\
\hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{u}{v} \\
f'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
f (x) &=\dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\
f'(x) &=\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
&=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(0) &= a \\
f(0) &=\dfrac{a(0)+b}{0^{2}+1} \\
f(0) &=b \\
\hline
f'(0) &= f(0) \\
a &= b \\
\hline
f'(x) &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\
1 &=\dfrac{a +a -2a +2b }{4} \\
4 &=2b \\
2 &= b \\
a &= 2 \\
a+b &= 2+2=4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4$

19. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

atatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas wacana Matematika Dasar Tur Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi

Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ ibarat terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...
$(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
$(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
$(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
$(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Alternatif Pembahasan: show

Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
$\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar
Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
$\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar
Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
$\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar
Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
$\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$

20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...
$(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ yaitu nilai maksimum $f$.
$(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ yaitu nilai minimum $f$.
$(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
$(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.Alternatif Pembahasan: show

Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\
0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b)
\end{align}$
Titik ekstrim yaitu dikala $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:

Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik

Dari keterangan yang kita peroleh di atas, mampu kita simpulkan bahwa:

Untuk $x=0$ yaitu nilai maksimum $f$, lantaran dikala $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
Untuk $x=a$ yaitu titik belok $f$, lantaran dikala $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
Untuk $x=b$ yaitu nilai minimum $f$, lantaran dikala $x \gt b$ fungsi $f$ naik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$

21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...
$(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
$(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$(3)\ $ $f$ tidak memiliki nilai maksimum ataupun nilai minimum.
$(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Alternatif Pembahasan: show

Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\
&= 4b^{2}-12ac \\
&= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\
\hline
b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0
\end{align}$

$b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
- Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ yaitu definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
- Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ yaitu definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
$f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu dikala $x=0$
$f$ tidak memiliki nilai maksimum ataupun nilai minimum lantaran $f$ selalu naik atau selalu turun
$f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat lantaran $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ (4)\ \text{Benar}$

22. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ memiliki garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\
(B)\ & \dfrac{5}{6} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & \dfrac{5}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ mampu terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ yaitu titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ yaitu nol.

Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $
$\begin{align}
y' & =x^{2}-3x +2 \\
0 &= (x-2)(x-1) \\
x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\
\hline
x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\
& \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\
& \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\
x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\
& \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\
& \rightarrow y =\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ yaitu $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{3}{2}$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Luas sebuah bulat yaitu fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah bulat yaitu $x$, maka laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \pi x \\
(B)\ & 2\pi x \\
(C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\
(D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\
(E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Luas sebuah bulat yaitu fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
K & =2 \pi\ r \\
x & =2 \pi\ r \\
r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\
\hline
L & = \pi \cdot r^{2} \\
& = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\
& = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}}{4 \pi}
\end{align}$
Laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya mampu kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align}
L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\
\dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\
& = \dfrac{ x}{2 \pi}
\end{align}$

Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda wacana Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{24}{5} \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & \dfrac{39}{5}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan yaitu menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\
f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\
f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\
3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\
3 & = 2a +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\
9 & = 4a +b \\
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
4a+b = 9 & - \\
\hline
2a = 6 & \\
a = 3 & \\
b = -3 & \\
\hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Proyek pembangunan gedung STIS mampu diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
$\begin{align}
(A)\ & 40\ \text{hari} \\
(B)\ & 60\ \text{hari} \\
(C)\ & 90\ \text{hari} \\
(D)\ & 120\ \text{hari} \\
(E)\ & 150\ \text{hari}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ mampu ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.

Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari yaitu $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align}
B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\
& = 3x^{2}-900x+200 \\
B'(x)& = 6x-900
\end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum mampu kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align}
6x-900 & = 0 \\
6x & = 900 \\
x & = \dfrac{900}{60}=150
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$

26. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ memiliki nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 38 \\
(B)\ & 35 \\
(C)\ & 27 \\
(D)\ & 22 \\
(E)\ & 20
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ mampu ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ yaitu pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ yaitu $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f'(x) & = 3x^{2}+6x-9 \\
f'(x) & = 3(x-1)(x+3)
\end{align}$

$\begin{align}
f''(x) & = 6x+6 \\
f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\
f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\
\end{align}$
Pembuat maksimum $f(x)$ yaitu dikala $x=-3$,
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\
& = -27+27+27=27=a
\end{align}$

Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ minimum yaitu dikala $x=-1$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\
f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\
& = -1+3+9=11=b
\end{align}$

Nilai $a+b=27+11=38$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$

27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibentuk kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, ibarat gambar. Volume kotak yang terbesar yang mampu dibentuk adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 2.000\ cm^{3} \\
(B)\ & 3.000\ cm^{3} \\
(C)\ & 4.000\ cm^{3} \\
(D)\ & 5.000\ cm^{3} \\
(E)\ & 6.000\ cm^{3} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Soal ini yaitu salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak mampu kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.

Panjang sisi karton yaitu $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga ganjal kotak nantinya yaitu persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak yaitu $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align}
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\
& = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\
& = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\
\end{align}$

Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align}
V'(x) & = 0 \\
12x^{2}-240x+900 & = 0 \\
x^{2}-20x+75 & = 0 \\
(x-15)(x-5) & = 0
\end{align}$

Untuk menentukan volume kotak terbesar mampu dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align}
V''(x) & = 2x-20 \\
\hline
x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\
& x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\
\hline
x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\
& x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\
\hline
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\
V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\
V(5) & = 400 \cdot 5 =2000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 2.000\ cm^{3}$

28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki ganjal berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium yaitu $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$Alternatif Pembahasan: show

Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih ibarat berikut ini:

Luas permukaan balok tanpa tutup yaitu $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\
1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\
1800 &= 6x^{2} + 10xt \\
1800 - 6x^{2} &= 10xt \\
\dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t
\end{align} $
Volume balok:
$\begin{align}
V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\
&= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\
&= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\
&= 10800x- 36x^{3}
\end{align} $
Dengan menggunakan uji turunan pertama (V'=0) kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align}
V' &= 10800 - 108x^{2} \\
0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\
0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\
\hline
& x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\
\hline
V &= 10800x- 36x^{3} \\
V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\
V &= 108.000- 36.000 \\
V &= 72.000
\end{align} $

$\therefore$ Jawaban yang sesuai $72.000$

29. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)Turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & f'(x)=12x^{2}-4x-24 \\
(B)\ & f'(x)=12x^{2}-8x+24 \\
(C)\ & f'(x)=24x-8 \\
(D)\ & f'(x)=12x^{2}-16x+24 \\
(E)\ & f'(x)=12x^{2}-8x-24
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $, mampu kita kerjakan dengan dua alternatif antara lain pakai aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$ atau dengan menyederhanakan fungsi ke bentuk penjumlahan dan pengurangan.
$\begin{align}
f(x) = & \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\
= & 4x^{3}+8x^{2}-12x^{2}-24x \\
= & 4x^{3}-4x^{2}-24x \\
f'(x)= & 3 \cdot 4x^{3-1}-2 \cdot 4x^{2-1} -24 \\
= & 12x^{2}-8x^ -24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ f'(x)=12x^{2}-8x-24$

30. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)Grafik fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik pada interval...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt x \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt x \lt 2 \\
(C)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 3 \\
(D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menentukan interval nilai $x$ agar fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik kita cukup menentukan interval niLai $x$ yang memenuhi dikala $f'(x) \gt 0$.
$\begin{align}
f(x) = & x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5 \\
f'(x)= & 3x^{3-1}-2 \cdot \frac{3}{2}x^{2-1} -18 \\
f'(x)= & 3x^{2}-3x -18 \\
\hline
f'(x)= & \gt 0 \\
3x^{2}-3x -18 & \gt 0 \\
3(x^{2}- x -6) & \gt 0 \\
3(x-3)(x+2) & \gt 0 \\
\end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
Jika masih kesulitan merampungkan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$

31. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)Kawat yang panjangnya $128\ cm$ akan dibentuk menjadi lima persegi panjang ibarat pada gambar berikut:

Luas maksimum daerah yang mampu dibentuk dengan kawat adalah...$cm^{2}$Alternatif Pembahasan: show

Luas lima persegi panjang ibarat gambar yaitu $L=5xy$
Panjang kawat yang dibutuhkan kelima persegipanjang adalah:
$ \begin{align}
8x+8y & = 128 \\
x+ y & = 16 \\
y & = 16-x \\
\hline
L & = 5xy \\
L & = 5x(16-x) \\
L & = 80x-5x^{2}
\end{align}$
Luas maksimum mampu kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $\left(L'=0 \right)$.
$ \begin{align}
L' & = 80-10x \\
0 & = 80-10x \\
10x & = 80 \\
x & = 10 \\
\hline
L & = 80x-5x^{2} \\
& = 80(10)-5(10)^{2} \\
& = 800-500 \\
& = 300
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $300$

32. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)Jika $f$ dan $g$ yaitu fungsi yang mampu diturunkan di $R$ sehingga $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h}=\dfrac{x-1}{k}$ dan $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h}=\dfrac{x-1}{k+1}$ untuk $k \gt 0$, maka...
$\begin{align}
(1)\ & \left(fg \right)'(0)=2k-1 \\
(2)\ & \left(fg \right)'(c)=(2k-1)(c-1) \\
(3)\ & \left(fg \right)'(x+1)=(1-2k)(x^{2}-1) \\
(4)\ & \left(fg \right)'\left(x^{2} \right)=(2k-1)(x^{2}-1) \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)}{k^{2}} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x)-g(x+h)}{h} &= \dfrac{x-1}{k} \\
\dfrac{f(x+0)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\
\dfrac{f(x)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\
f(x) \cdot g'(x) &= k^{2} \cdot \dfrac{x-1}{k} \\
f(x) \cdot g'(x) &= k \cdot (x-1)
\end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x)}{\left( k^{2}-1 \right)h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x)-f(x+h)}{h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\
\dfrac{g(x)}{\left( k^{2}-1 \right) } \cdot f'(x) &= \dfrac{x-1}{k+1} \\
g(x) \cdot f'(x) &= \left( k^{2}-1 \right) \cdot \dfrac{x-1}{k+1} \\
g(x) \cdot f'(x) &= \left( k-1 \right)\left( x-1 \right)
\end{align}$

Pernyataan $(1)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(0) &= f'(0) \cdot g(0) +f(0) \cdot g'(0) \\
&= (0-1) \cdot (k-1) +(0-1)k \\
&= -k+1 -k \\
&= -2k+1
\end{align}$

Pernyataan $(2)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(c) &= f'(c) \cdot g(c) +f(c) \cdot g'(c) \\
&= (c-1) \cdot (k-1) +(c-1)k \\
&= (c-1) \cdot (k-1+k) \\
&= (c-1) \cdot (2k-1)
\end{align}$

Pernyataan $(3)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(x+1) &= f'(x+1) \cdot g(x+1) +f(x+1) \cdot g'(x+1) \\
&= f'(x+1) \cdot g(x+1) +f(x+1) \cdot g'(x+1) \\
&= (x+1-1) \cdot (k-1) +(x+1-1)k \\
&= x \cdot (k-1) +(x)k \\
&= x \cdot (k-1+k) \\
&= x \cdot (2k-1) \\
\end{align}$

Pernyataan $(4)$
$\begin{align}
\left( fg \right)' \left( x^{2} \right) &= f'\left( x^{2} \right) \cdot g\left( x^{2} \right) +f\left( x^{2} \right) \cdot g'\left( x^{2} \right) \\
&= \left( x^{2}-1 \right) \cdot \left( k-1 \right) + \left( x^{2}-1 \right) \cdot k \\
&= \left( x^{2}-1 \right) \left( k-1+k \right) \\
&= \left( x^{2}-1 \right) \left( 2k-1 \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$

33. Soal Matematika SAINTEK SBMPTN 2016 Kode 249 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & \sqrt{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ ibarat berikut ini;

Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ mampu kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align}
y &= 3-x^{2} \\
y' &= -2x \\
m_{PR} &= -2(-a) = 2a \\
m_{QR} &= -2(a) = 2a
\end{align}$

Nilai gradien garis mampu juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ yaitu sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.

Karena yang dibutuhkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ yaitu $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align}
m_{PR} &=tan\ 60^{\circ} \\
2a &= \sqrt{3} \\
a &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

34. Soal Matematika SAINTEK SBMPTN 2016 Kode 217 (*Soal Lengkap)Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$ memiliki titik belok di $(4,13)$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{91}{8} \\
(B)\ & \dfrac{81}{8} \\
(C)\ & \dfrac{71}{8} \\
(D)\ & \dfrac{61}{8} \\
(E)\ & \dfrac{51}{8} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal ini kita gunakan turunan kedua, yaitu untuk menentukan titik belok sebuah fungsi mampu ditentukan dengan aturan titik belok sebuah fungsi yaitu $f''(x)=0$.
$\begin{align}
f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\
f(x) &= a x^{\frac{1}{2}}+ b x^{-\frac{1}{2}} \\
f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot a x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2} \cdot b x^{-\frac{3}{2}} \\
f''(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot a x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{4} \cdot b x^{-\frac{5}{2}} \\
&= \dfrac{a}{4 \cdot x^{\frac{3}{2}}} -\dfrac{3b}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}} \\
&= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\
\end{align}$

Titik belok fungsi yaitu $(4,13)$ sehingga dikala $x=4$ berlaku $f''(4)=0$:
$\begin{align}
f''(x) &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\
0 &= \dfrac{a}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}-\dfrac{3b}{4 \cdot 4^{2} \sqrt{4}} \\
0 &= \dfrac{a}{32}-\dfrac{3b}{128} \\
\dfrac{3b}{128} &= \dfrac{a}{32} \\
\dfrac{3}{4}b &= a
\end{align}$

Fungsi melului titik $(4,13)$, sehingga berlaku $f(4)=13$:
$\begin{align}
f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\
f(4) &= a\sqrt{4}+\dfrac{b}{\sqrt{4}} \\
13 &= 2a +\dfrac{b}{2} \\
13 &= 2 \cdot \dfrac{3b}{4} +\dfrac{b}{2} \\
13 &= \dfrac{3b}{2} +\dfrac{b}{2} \\
13 &= \dfrac{4b}{2} \Rightarrow\ b= \dfrac{13}{2} \\
a &= \dfrac{3}{4} b \\
a &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{13}{2} = \dfrac{39}{8} \\
\hline
a+b &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{13}{2} \\
&= \dfrac{39}{8} + \dfrac{52}{8} \\
&= \dfrac{91}{8}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \dfrac{91}{8}$

Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasMatematika Dasar Turunan Fungsi

lembar akibat penilaian harian matematika,

lembar akibat penilaian tamat semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

Turunan FungsiCMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

var labelArray = ["Bank Soal", "Limit Fungsi"]; var relatedPostConfig = { homePage: "https://ssemuaadadisini.blogspot.com/", widgetTitle: "<div class='label-line-c'><h4>Artikel Terkait</h4></div>", numPosts: 8, titleLength: "auto", thumbnailWidth: 250, thumbnailHeight: 170, noImage: "//3.bp.blogspot.com/-ltyYh4ysBHI/U04MKlHc6pI/AAAAAAAADQo/PFxXaGZu9PQ/w255-h170-c/no-image.png", containerId: "related-post-8843680735023475424", newTabLink: false, moreText: "Read More", widgetStyle: 3, callBack: function() {} };

Belum ada Komentar untuk "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi"

Posting Komentar

Beranda

Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi

Postingan Populer

Label