Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran
Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas wacana Matematika Dasar Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, bundar sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan kemudian dihubungkan dengan jari-jari ada roda sepeda.Lingkaran pada tahapan berikut ini akan membahas wacana bundar dalam bentuk persamaan lingkaran. Bicara wacana persamaan, maka ada baiknya kita sudah mengenal sedikit wacana matematika dasar persamaan kuadrat, lantaran yaitu bundar ini akan memuat banyak bentuk persamaan kuadrat.
Penerapan bundar dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, yang paling sederhana sudah kita sebutkan di awal yaitu bundar pada bagain sepeda. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada bundar juga sangatlah mudah, kalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan praktis memahami soal-soal bundar dan menemukan solusinya.
Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu persoalan paling umum dalam diskusi wacana lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman wacana lingkaran.
Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan wacana bundar ini masih jauh dari sempurna, jadi kalau ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.
Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam merampungkan persoalan yang berkaitan dengan lingkaran;
Persamaan Lingkaran
- Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ - Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada bundar $L:x^{2}+y^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada bundar $L:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
- Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada bundar $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Hubungan garis dengan lingkaran
Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan bundar $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke bundar $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita mampu peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran
- Jika diketahui titik singgung $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran
- Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$ - Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}$ - Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$ - Jika diketahui gradien garis singgung bundar $(m)$
- Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ - Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
Jarak Titik ke Garis
Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
1. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)
Diketahui dua buah bundar dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1}>R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas bundar tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \pi \\
(B)\ & 15 \pi \\
(C)\ & 20 \pi \\
(D)\ & 25 \pi \\
(E)\ & 30 \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan: 
Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ yaitu segitiga sama kaki. sehingga kalau $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\
R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$
Selisih luas kedua bundar yaitu $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 25 \pi$
Untuk menghitung Selisih luas bundar maka perhitungannya adalah;
$\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $
$=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\
R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\
R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$
Selisih luas kedua bundar yaitu $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 25 \pi$
2. Soal SBMPTN 2016 Kode 234 (*Soal Lengkap)
Titik $(0,b)$ yaitu titik potong garis singgung persekutuan luar bundar luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{2} \\
(C)\ & 2\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$g_{1}$ dan $g_{3}$ yaitu garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar bundar memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, mampu kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung bundar dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ lantaran yaitu $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$
$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\
m_{2} & = 1 \\
m_{1} & = 1 \\
\end{align}$
Persamaan $g_{1}$ yaitu
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$
Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4\sqrt{2}$
Apa yang disampaikan pada soal kalau kita gambar, kurang lebih mirip tampak pada gambar berikut ini;
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, mampu kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung bundar dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ lantaran yaitu $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$
$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\
m_{2} & = 1 \\
m_{1} & = 1 \\
\end{align}$
Persamaan $g_{1}$ yaitu
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$
Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4\sqrt{2}$
3. Soal SBMPTN 2015 Kode 508 (*Soal Lengkap)
Misalkan titik $A$ dan $B$ pada bundar $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung bundar di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat bundar yaitu $12$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas $PABC$ yaitu $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$
$OA \cdot AC=12$
Dari persamaan bundar $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita mampu nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
& = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\
& = \sqrt{10-k}
\end{align}$
Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita mampu nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\
r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\
AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\
& = 25-\left (10-k \right ) \\
& = 15+k \\
AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$
$\begin{align}
OA\ \cdot AC & = 12 \\
\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\
(10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\
150-5k-k^{2} & = 144 \\
k^{2}+5k-6 & = 144 \\
(k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi yaitu $k=-6$ atau $k=1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$
Apa yang disampaikan pada soal kalau kita coba gambar, kurang lebih mirip tampak pada gambar berikut ini;
$OA \cdot AC=12$
Dari persamaan bundar $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita mampu nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
& = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\
& = \sqrt{10-k}
\end{align}$
Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita mampu nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\
r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\
AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\
& = 25-\left (10-k \right ) \\
& = 15+k \\
AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$
$\begin{align}
OA\ \cdot AC & = 12 \\
\sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\
(10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\
150-5k-k^{2} & = 144 \\
k^{2}+5k-6 & = 144 \\
(k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi yaitu $k=-6$ atau $k=1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$
4. Soal SBMPTN 2014 Kode 572 (*Soal Lengkap)
Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+4=0 \\
(B)\ & x+3y+5=0 \\
(C)\ & x+y+3=0 \\
(D)\ & 2x+y+5=0 \\
(E)\ & 3x+y+7=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk bundar yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ memiliki ciri-ciri khusus yaitu kalau jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.
Pada soal dikatakan bundar melalui titik $(-2,-1)$ maka bundar yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat yaitu $(-a,-a)$. Persamaan bundar yaitu
$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2}$
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
lantaran yaitu bundar melaui titik (-2,-1) maka;
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a & = 1 \\
a & = 5
\end{align}$
Untuk $a=5$, persamaan bundar adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$
Untuk $a=1$, persamaan bundar adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2}=1^{2}$
$x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0$
Untuk menerima persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, mampu dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
8x+8y+24=0 & \\
x+ y+3=0
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ x+y+3=0$
Dua bundar yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ kalau kita gambarkan kurang lebih mirip gambar berikut:
Pada soal dikatakan bundar melalui titik $(-2,-1)$ maka bundar yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat yaitu $(-a,-a)$. Persamaan bundar yaitu
$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2}$
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
lantaran yaitu bundar melaui titik (-2,-1) maka;
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\
4-4a+a^{2}+1-2a^{2} & = a^{2} \\
a^{2}-6a+5 & = 0 \\
(a-5)(a-1) & = 0 \\
a & = 1 \\
a & = 5
\end{align}$
Untuk $a=5$, persamaan bundar adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0$
Untuk $a=1$, persamaan bundar adalah
$\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$
$\left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2}=1^{2}$
$x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0$
Untuk menerima persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, mampu dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.
$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\
x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\
\hline
8x+8y+24=0 & \\
x+ y+3=0
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ x+y+3=0$
5. Soal SBMPTN 2014 Kode 512 (*Soal Lengkap)
Jika bundar $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ memiliki jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ memiliki jari-jari $r=2$
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\
4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1)
\end{align}$
Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan yaitu nol.
$x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$
$2x^{2}-2ax+b=0$
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\
4a^{2}-8b & = 0 \\
a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\
\end{align}$
Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka;
$\begin{array}{c|c|cc}
a^{2}-b=4 & \\
a^{2}-2b=0 & (-) \\
\hline
b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\
&\ a^{2}-4 =4 \\
&\ a^{2} =8 \\
a^{2}+b=12
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 12$
6. Soal UN Matematika IPA 2016 (*Soal Lengkap]
Persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-3y=43 \\
(B)\ & 4x+3y=23 \\
(C)\ & 3x-4y=41 \\
(D)\ & 10x+3y=55 \\
(E)\ & 4x-5y=53
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah;
$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$
Persamaan garis singgung untuk bundar $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4x-3y=43$
7. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap]
Jika garis $x=2y+5$ memotong bundar $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{5} \\
(E)\ & 4\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Titik potong bundar dan garis mampu kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\
(2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10 & = 0 \\
4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\
5y^{2}+20y+15 & = 0 \\
y^{2}+4y+3 & = 0 \\
(y+3)(y+1) & = 0
\end{align}$
$y=-1\ \text{maka}\ x= 2(-1)+5=3$
$y=-3\ \text{maka}\ x= 2(-3)+5=-1$
Kita peroleh titik potong garis dan bundar yaitu di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah
$\begin{align}
d & = \sqrt{(-3+1)^{2}+(-1-3)^{2}} \\
& = \sqrt{4+16} \\
& = 2\sqrt{5}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2\sqrt{5}$
8. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap]
Jika pada bundar $L:x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $(0,1)$ dan garis singgung $h$ di titik $(0,3)$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (2,4) \\
(B)\ & (2,3) \\
(C)\ & (1,-1) \\
(D)\ & (1,1) \\
(E)\ & (1,2)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,1)$ adalah:
$x(0) +y(1)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(1))+3=0$
$y +x-2y-2+3=0$
$ x-y =-1$
Garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,3)$ adalah:
$x(0) +y(3)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(3))+3=0$
$3y +x-2y-6+3=0$
$ x+y =3$
Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=-1 & \\
x+y =3 & (+) \\
\hline
2x =2 & \\
x =1 & \\
y=2
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ (1,2)$
9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap]
Diketahui suatu bundar kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu bundar besar yang memiliki radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bundar merupakan diameter dari bundar kecil, mirip pada gambar. Luas kawasan irisan kedua bundar yaitu ...
$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bundar merupakan diameter dari bundar kecil, sehingga gambar mampu kita sajikan mirip berikut;
Dari gambar diatas luas irisan bundar yaitu luas kawasan biru ditambah luas kawasan kuning. Kita mampu menghitung luas kawasan biru yang merupakan luas setengah bundar kecil lantaran yaitu $AC$ merupakan diameter bundar kecil.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas kawasan kuning yang merupakan luas tembereng bundar yang besar, mampu digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan bundar $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 18\pi-18$
Luas kawasan irisan kedua lingkaran kalau kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas kawasan kuning yang merupakan luas tembereng bundar yang besar, mampu digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan bundar $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 18\pi-18$
10. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Persamaan bundar yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ konkret adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y-15=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+5x+10y+15=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}+5x-10y+15=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas, mampu kita misalkan pusat bundar yaitu $(-a,a)$ dan jari-jari $a$. Karena garis $2x+3y-5=0$ melalui pusat bundar $(-a,a)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x+3y-5 &= 0 \\
2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\
a &= 5 \\
\hline
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\
(x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\
(x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\
x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$
Catatan calon guru wacana Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
$\begin{align}
2x+3y-5 &= 0 \\
2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\
a &= 5 \\
\hline
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\
(x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\
(x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\
x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\
x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$
11. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Sebuah bundar memiliki pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ dan menyinggung garis $3x+4y=5$. Nilai $3a+4b$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -65\ \text{dan}\ 75 \\
(B)\ & -60\ \text{dan}\ 70 \\
(C)\ & -55\ \text{dan}\ 65 \\
(D)\ & -50\ \text{dan}\ 60 \\
(E)\ & -45\ \text{dan}\ 55
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{5} \right| \\
\hline
12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
60 &= 3a+4b-5 \\
65 &= 3a+4b \\
\hline
-12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
-60 &= 3a+4b-5 \\
-55 &= 3a+4b \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$
Catatan calon guru wacana Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{5} \right| \\
\hline
12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
60 &= 3a+4b-5 \\
65 &= 3a+4b \\
\hline
-12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\
-60 &= 3a+4b-5 \\
-55 &= 3a+4b \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$
12. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui titk $P(4,a)$ dan bundar $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$. Jika titik $P$ berada dalam bundar $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \lt a \lt 3 \\
(B)\ & -3 \lt a \lt 5 \\
(C)\ & -5 \lt a \lt -3 \\
(D)\ & 3 \lt a \lt 5 \\
(E)\ & -5 \lt a \lt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Karena titik $P(4,a)$ dalam bundar $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\
16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\
a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\
(a+3)(a-5) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi yaitu $-3 \lt a \lt 5$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -3 \lt a \lt 5$
Catatan calon guru wacana Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada bundar $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
- Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;
Karena titik $P(4,a)$ dalam bundar $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\
16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\
a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\
(a+3)(a-5) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara piral pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi yaitu $-3 \lt a \lt 5$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -3 \lt a \lt 5$
13. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika garis $y=mx+b$ menyinggung bundar $x^{2}+y^{2}=1$, maka nilai $b^{2}-m^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+(mx+b)^{2} & = 1 \\
x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\
\left(1+ m^{2} \right) x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2bm \right)^{2}-4\left(m^{2}+1 \right)\left(b^{2}-1 \right) & = 0 \\
4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\
-4\left( b^{2}-m^{2}-1 \right)& = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\
b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$
Catatan calon guru wacana Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+(mx+b)^{2} & = 1 \\
x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\
\left(1+ m^{2} \right) x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2bm \right)^{2}-4\left(m^{2}+1 \right)\left(b^{2}-1 \right) & = 0 \\
4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\
-4\left( b^{2}-m^{2}-1 \right)& = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\
b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\
b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$
14. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika bundar $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$, maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\
x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\
\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\
4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\
a^{2} & = 3b^{2}\\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\
& = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{3 }{4}$
Catatan calon guru wacana Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
- Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
- Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\
x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\
x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\
\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\
\dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\
4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\
a^{2} & = 3b^{2}\\
\hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\
& = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{3 }{4}$
15. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Salah satu persamaan garis singgung bundar $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ yang tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-2 \\
(B)\ & y=2x-6 \\
(C)\ & y=2x-8 \\
(D)\ & y=2x-10 \\
(E)\ & y=2x-12 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\
x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\
(x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung bundar dengan $m=2$ adalah:
$\begin{align}
y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\
y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\
y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\
y & = 2 x-5 \pm 5 \\
\hline
y & = 2 x-5 - 5 \\
y & = 2 x-5 + 5 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ y=2x-10$
Catatan calon guru wacana Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Jika diketahui gradien garis singgung bundar $(m)$
- Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$ - Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\
x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\
(x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5
\end{align}$
Persamaan garis singgung bundar dengan $m=2$ adalah:
$\begin{align}
y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\
y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\
y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\
y & = 2 x-5 \pm 5 \\
\hline
y & = 2 x-5 - 5 \\
y & = 2 x-5 + 5 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ y=2x-10$
Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar akhir penilaian harian matematika,
- lembar akhir penilaian final semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hitung-hitungan saja, mari kita lihat matematika yang dikemas cukup menghibur pada video berikut;
Belum ada Komentar untuk "Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran"
Posting Komentar