Panjang Tali Minimum Yang Diharapkan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)

Panjang pengikat minimum yang dibutuhkan untuk mengikat pipa berdiameter $d$ meter dalam satu ikatan (kumpulan), dimana satu ikatan (kumpulan) pipa terdiri dari $2,\ 3,\ 4, 5,\ \text{atau}\ n$ pipa.

Soal yang terkadang jadi duduk kasus menyerupai yang disebutkan di atas ialah salah satu pola duduk kasus penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari pada materi lingkaran. Masalah ini umumnya diujikan pada dikala mencar ilmu lingkaran di SMP, sehingga soal-soal menyerupai di atas sangat berpeluang diujikan pada Ujian Nasional Matematika SMP, kompetisi matematika SMP atau ujian seleksi masuk SMA tertentu.

Soal yang hampir mirip, pernah diujikan pada dikala seleksi akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige, soal lengkapnya menyerupai berikut ini:

Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...

$\begin{align}
(A).\ & 8.600\ cm \\
(B).\ & 860\ cm \\
(C).\ & 86\ cm \\
(D).\ & 8,6\ cm
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Sebagai citra tambahan, kita beri titik-titik tambahan pada gambar biar menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu diatas lebih mudah. Kurang lebih menyerupai berikut ini:

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=14$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA=3 \times (14+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $14$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan alasannya $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\
& =\dfrac{44}{3}
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (AB+ BC) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\
& =42 +44 \\
& =86\ dm \\
& =8.600\ cm
\end{align}$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat mendatar, posisi lingkaran kita ilustrasikan menyerupai beberapa gambar berikut ini:

Satu Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat sebuah lingkaran yang berdiameter $d$ ialah $\pi \times d$ atau sama dengan menghitung keliling lingkaran.

Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum ialah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$

Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=2d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (2d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum ialah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (2d+ BC) & =2 \times \left( 2d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =4d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 4 \right)d
\end{align}$

Empat Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=3d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (3d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum ialah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (3d+ BC) & =2 \times \left( 3d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =6d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 6 \right)d
\end{align}$

Kesimpulan yang mampu kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $1,\ 2,\ 3, \cdots n$ buah lingkaran disusun secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar diatas:

• Untuk $1$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 0 \right)d$
• Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
• Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
• Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 6 \right)d$
  $\vdots$
• Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2n-2 \right)d$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat bertingkat, posisi lingkaran kita ilustrasikan menyerupai beberapa gambar berikut ini:

Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum ialah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$

Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=d$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA$$=3 \times (d+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan alasannya $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (d+ BC) & =3 \times \left( d+\dfrac{1}{3} \times \pi\ d \right) \\
& =3d+ \pi\ d \\
& =(3+\pi) d
\end{align}$

Empat Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d
\end{align}$

Lima Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=2d$, $CD=EF=GH=d$, panjang busur $BC=AH$ dan $DE=FG$ sehingga $AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA$$=2d+3d+2BC+2DE$$=5d+2BC+2DE$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQS$ ialah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar $\measuredangle BPC=120^{\circ}$ dan $\measuredangle DQE=60^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang busur $DE$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{60}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{6} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 5d+2BC+2DE \\
& = 5d+2 (\dfrac{1}{3} \times \pi\ d )+2(\dfrac{1}{6} \times \pi\ d) \\
& = 5d+ \dfrac{2}{3} \pi\ d )+ \dfrac{1}{3} \pi\ d \\
& = 5d+ \pi\ d \\
& = (5 + \pi)d
\end{align}$

Enam Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan ialah $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ ialah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$

Kesimpulan yang mampu kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $2,\ 3,\ 4,\ \cdots n$ buah lingkaran disusun bertingkat berdiameter $d$ menyerupai gambar diatas:

• Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
• Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 3 \right)d$
• Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
• Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 5 \right)d$
  $\vdots$
• Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + n \right)d$

Sebagai penutup, coba kita diskusikan soal berikut dan soal ini pernah diujikan pada Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN) tahun 1993 pada Rayon A.

Soal UMPTN 1993 (Rayon A) (*Soal Lengkap)

Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat bersahabat menyerupai pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 9d \\
(B)\ & 3+ \dfrac{\pi}{2}d \\
(C)\ & (6+\pi)d \\
(D)\ & (6+\dfrac{3}{4}\pi)d \\
(D)\ & (12+2\pi)d
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Seperti hasil diskusi kita di atas panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat enam pipa ialah $(6 + \pi)d$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ (6+\pi)d$

Ada masukan yang sifatnya membangun terkait duduk kasus Panjang Tali Minimum Yang Mengikat Beberapa Pipa (Lingkaran), silahkan disampaikan😊😊 dan Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Ternyata ini Sebab Guru jadi Galak;

Bagikan Artikel ini