Uji Kompetensi Eksponen Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.1)
Soal dan pembahasan uji kompetensi ini sebagian sudah pernah dibahas pada postingan sebelumnya yaitu PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013... Gak salah niih? dan Kurikulum 2013: Uji Kompetensi Matematika SMP Kelas 7 sama dengan di SMA Kelas 10. Kedua postingan itu diambil dari buku kurikulum 2013 sebelum di revisi, sekarang setelah buku di revisi coba kembali kita kumpulkan soalnya dan kita diskusikan.
Diskusi yang berikut ini saya ambil dari Buku Siswa Matematika Kelas X Semester 1, pada uji kompetensi 1.1. Di buku itu bahwasanya ada 12 soal, tetapi disini yang dicoba untuk didiskusikan yaitu mulai soal no.4 sampai no.12. Mari kita mulai:
4. Tentukan nilai dari: $ \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}\ =...$
Coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
deret $ 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...\ =\ A$ dan
deret $ 1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...\ =\ B$
Sehingga mampu kita tuliskan
$\begin{align}
A-B & = 2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+... \\
A-B & = 2^{-4} \left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )\\
A-B & = 2^{-4} \left ( A \right ) \\
A-B & = \dfrac{1}{16} \left ( A \right ) \\
\frac{15}{16} \left ( A \right ) & = B \\
\frac{A}{B} & = \frac{16}{15}
\end{align}$
5. Sederhanakanlah: $ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
$ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
$ = \frac{ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\ \left (a \cdot 1 - 1\cdot b\right )}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left (a^{\frac{1}{2}}\cdot 1 - 1\cdot b^{\frac{1}{2}}\right )}$
$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\left (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right )}$
$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$ = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
6. Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan berikut:
$ a.\ 2^{x}=8$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ a.\ 2^{x}=8$
$ 2^{x}=2^{3}$
$ x=3$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ 2^{2x}=\frac{1}{8}$
$ 2^{2x}=2^{-3}$
$ 2x=-3$
$ x=\frac{-3}{2}$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{0}$
$ x\ =\ 0$
7.Tentukan hasil dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, mampu kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2+2n}}{2^{2n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}\cdot 2^{4}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{2n}\cdot 2^{2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}( 2^{4}-2^{2})}{2^{2n}(2^{2})}=\frac{ 2^{4}-2^{2}}{2^{2}}=\frac{ 16-4}{4}=3$
8. Misalkan Anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang Anda lakukan untuk menerima nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian yaitu yang mampu mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut mampu dipergunakan untuk pangkat faktual berapapun juga?
Misalkan anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk menerima nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian yaitu yang mampu mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut mampu dipergunakan untuk pangkat faktual berapapun juga?
$ 7^{64}=\left ( 7^{2} \right )^{32}=\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{16}$
$ =\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{8}=\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{4}=\left (\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2}\right )^{2}$
Ada sebanyak enam kali proses perkalian dan prosedur ini mampu dipergunakan untuk pangkat positif.
9. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Untuk menjawab soal diatas coba kita analisa satuan perpangkatan bilangan 7.
$ 7^{1}=7$___satuannya yaitu 7
$ 7^{2}=49$___satuannya yaitu 9
$ 7^{3}=343$___satuannya yaitu 3
$ 7^{4}=2401$___satuannya yaitu 1
$ 7^{5}=716807$___satuannya yaitu 7
$ 7^{6}=*****9$___satuannya yaitu 9
$ 7^{7}=*****3$___satuannya yaitu 3
Karena yang dibutuhkan hanya satuan, maka dari teladan bilangan diatas satuan akan kembali berulang setelah periode keempat. Artinya;
Bilangan satuan $ 7^{1}=7^{5}=7^{9}=...$
Bilangan satuan $ 7^{2}=7^{6}=7^{10}=...$
Bilangan satuan $ 7^{3}=7^{7}=7^{11}=...$
Bilangan satuan $ 7^{4}=7^{8}=7^{12}=...$
Kesimpulan yang mampu kita ambil adalah:
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 1 satuannya yaitu 7
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 2 satuannya yaitu 9
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 3 satuannya yaitu 3
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 0 satuannya yaitu 1
Kita kembali ke soal:
$ 7^{1234}$ satuannya yaitu 9, lantaran 1234 dibagi 4 sisa 2.
$ 7^{2341}$ satuannya yaitu 7, lantaran 2341 dibagi 4 sisa 1.
$ 7^{3412}$ satuannya yaitu 1, lantaran 3412 dibagi 4 sisa 0.
$ 7^{4123}$ satuannya yaitu 3, lantaran 4123 dibagi 4 sisa 3.
Sehingga:
$ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$
$ =9+7+1+3=20$
Satuannya yaitu 0 (nol)
10. Tentukan angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ yaitu 6.
Selanjutnya kita pilih soal yang tidak diminta yaitu untuk bilangan 7, soalnya menjadi angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 7.
$ \left ( 7^{26} \right )^{62}=7^{26\cdot 62}=7^{2\cdot 13\cdot 2\cdot31}=7^{4\cdot 13\cdot 31}$
Pangkat bilangan 7 yaitu $ 4\cdot 13\cdot 31$ dan kalau $ 4\cdot 13\cdot 31$ dibagi 4 sisanya yaitu 0 maka satuannya 1 (Seperti penjelasan soal no.9)
Untuk 2, 3, 4, 5, 8, dan 9 diserahkan kepada pembaca.
11. Tunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.
$ a^{3}+b^{3}= \left (a+b \right) \left (a^{2} -ab+b^{2} \right)$
$ a^{5}+b^{5}= \left (a+b \right) \left (a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right)$
Untuk n bilangan ganjil, kita peroleh persamaan:
$ a^{n}+b^{n}=\left ( a+b \right )\left ( a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$
sehingga $ a^{n}+b^{n}$ akan selalu habis dibagi $ \left ( a+b \right )$ untuk n bilangan ganjil.
Kita misalkan soal menjadi $ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$
$ 1^{2001}+2001^{2001}$ habis dibagi $ \left (1+2001 \right)$
mampu kita tuliskan
$ 1^{2001}+2001^{2001}= \left(1+2001 \right) \cdot \left(P_{1} \right)$
$ 2^{2001}+2000^{2001}$ habis dibagi $ \left (2+2000 \right)$
mampu kita tuliskan
$ 2^{2001}+2000^{2001}= \left(2+2002 \right )\cdot \left (P_{2} \right)$
$ 3^{2001}+1999^{2001}$ habis dibagi $ \left (3+1999 \right)$
mampu kita tuliskan
$ 3^{2001}+1999^{2001}= \left ( 3+1999 \right )\cdot \left (P_{3} \right)$
$ . . .$
$ 1000^{2001}+1002^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1000+1002 \right )$
mampu kita tuliskan
$ 1000^{2001}+1002^{2001}= \left ( 1000+1002 \right ) \cdot \left (P_{1000} \right)$
$ 1001^{2001}$ mampu kita tuliskan $ 1001^{2001}= \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
Jika
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2000^{2001}+2001^{2001}$
maka
$ P = 1^{2001}+2001^{2001}+2^{2001}+2000^{2001}+\cdots+1002^{2001}+1001^{2001}$
$ P = \left ( 1+2001 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2+2000 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = 1001\cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left (1001^{2000} \right ) \right ]$
$ P = 13 \cdot 77 \cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+\left (1001^{2000} \right ) \right ]$
Karena $ P $ yaitu bilangan kelipatan 13 maka $ P $ habis dibagi 13.
12. Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
pertanyaan menyerupai ini akan mengatakan banyak proses lantaran praktis itu sifatnya relatif, kita coba apakah cara berikut Anda anggap mudah.
$ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\left ( 2^{2013}\times 5^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 3^{2010}\times 2^{2010}+ 3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\left ( 2^{2}\times 5^{2013}+5^{2012} \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\left ( 3^{2010}\times 2^{2}+ 3^{2009}\right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\times 5^{2012}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\times 3^{2009}\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$
$ = \frac{2^{3}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{ 3\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$
$ = \frac{8\left ( 21 \right )}{ 3\left ( 3\times 4+ 1\right )}=\frac{168}{3\left ( 12+ 1\right )}=\frac{168}{ 3\left ( 13\right )}=\frac{56}{13}$
Jika engkau tidak mampu menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasSaran atau kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 sangat diharapkan😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara pilar (pintar bernalar);
Belum ada Komentar untuk "Uji Kompetensi Eksponen Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.1)"
Posting Komentar