Soal Dan Pembahasan Sbmptn Tahun 2017 (Matematika Saintek Instruksi 106)

Pada ujian Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 siswa dibagi menjadi beberapa kelompok ujian. Diantaranya Kelompok Ujian SAINTEK, Kelompok Ujian SOSHUM, dan Kelompok ujian campuran. Jika pada masa saya kelompok ujian ini dikenal dengan Kelompok IPA (SAINTEK), kelompok IPS (SOSHUM) dan kelompok IPC (campuran).

Pada kelompok ujian SAINTEK (Sains dan Teknologi) akan menerima materi ujian TKPA (Tes Kemampuan Potensi Akademik) dan TKD SAINTEK. Untuk kelompok ujian SOSHUM (Sosial dan Humaniora) akan menerima materi ujian TKPA dan TKD SOSHUM. Sedangkan untuk kelompok adonan akan menerima materi ujian TKPA, TKD SAINTEK dan TKD SOSHUM.

TKPA yang singkatan dari Tes Kemampuan dan Potensi Akademik dan yang diujikan pada TKPA terdiri atas Tes Kemampuan Verbal, Numerikal, Vigural, Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris.

Untuk TKD SAINTEK yang diujikan ialah mata pelajaran Matematika, Biologi, Fisika, dan Kimia. Sedangkan untuk TKD SOSHUM yang diujikan ialah mata pelajaran Sosiologi, Sejarah, Geografi dan Ekonomi.

Diskusi kali ini kita pilih dari soal SBMPTN 2017 TKD SAINTEK instruksi naskah 106 mata pelajaran matematika, untuk menerima soalnya secara lengkap untuk semua mata pelajaran yang diujikan silahkan download disini. Kemarin-kemarin ini disebut dengan istilah Matematika IPA, dimana bila kita bisa benar 4 atau 5 saja dari 15 soal sudah masuk kategori baik. Mari kita coba diskusikan:

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.1

Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal sanggup ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama ibarat sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Kaprikornus $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A).\ 1$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.2

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam $5$ tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun ialah ...
$(A)\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$
$(B)\ 2(\sqrt[5]{2}-1)$
$(C)\ 2(\sqrt{2})$
$(D)\ 2(\sqrt[5]{2})$
$(E)\ 2(\sqrt[10]{2})$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menghitung suku bunga pada soal diatas kita pakai dengan perhitungan bunga majemuk. Pada tamat $n$ tahun, dengan suku bunga $R$ dan modal semula $P$ akan terkumpul menjadi sejumlah $S_{n}=P(1 + R)^{n}$.

Jika kita hubungkan pada soal, misalkan tabungan awalnya $= P$, suku bunga yang didapat sebesar $= R$, maka setelah $5$ tahun atau $10$ semester tabungannya sanggup kita hitung sebagai berikut;
$\begin{split}S_{n} &=P(1 + R)^{n}\\
S_{10} &=P(1 + R)^{10}\\
2P &=P(1 + R)^{10}\\
2 &=(1 + R)^{10}\\
\sqrt[10]{2} &=(1 + R)\\
\sqrt[10]{2}-1 &=R\\
\end{split}$
Suku bunga yang kita peroleh diatas ialah suku bunga per semester, jadi suku bunga per tahun ialah $2R = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A).\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.3

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan sedikit manipulasi aljabar, pertidaksamaan di atas kita rubah menjadi ibarat berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0\\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas ialah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang ialah $2x^{2}=0$ maka $x=0$
• Pembuat nol penyebut ialah $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh empat tempat yaitu:
$x\leq -1$ | $-1\leq x \leq 0$ | $0\leq x\leq 1$ | $x\geq 1$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, kemudian menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari tempat $x\geq 1$ yang kita uji $x=3$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &= \dfrac{2(3)^{2}}{(3)^{2}(3+1)(3-1)}\\
&= \dfrac{18}{9(4)(2)}= \dfrac{1}{4} \\
& \therefore \text{artinya} \geq 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh tempat $x\geq 1$ bukan Himpunan Penyelesaian soal, lantaran ialah pada tempat ini pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh tempat yang karenanya kurang dari atau sama dengan nol ($\leq 0$) yaitu pada tempat $-1\leq x\leq0$, dan $0\leq x\leq 1$.
(*cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap)

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah belahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi ialah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E).\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ atau\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.4

Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ ialah vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ ialah $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...
$(A) \left \| u \right \|=2\left \| v \right \|$
$(B) \left \| v \right \|=2\left \| w \right \|$
$(C) \left \| v \right \|=2\left \| u \right \|$
$(D) \left \| w \right \|=2\left \| v \right \|$
$(E) \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
\Rightarrow & a = 4v\\
& a = 4(w-u)\\
& a = 4w-4u\\
\\
\Rightarrow a \cdot u & = 0\\
(4w-4u)u & = 0\\
4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\
4w \cdot u & = 4u^{2} \\
w \cdot u & = u^{2} \\
\end{split}$
Sudut antara vektor $u$ dan $w$ ialah $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
$\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \|
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E).\ \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.5

Diketahui persamaan $sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) =1$. Jika $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ ialah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2}= \cdots$
$(A)\ -1$
$(B)\ -0.5$
$(C)\ 0$
$(D)\ 0.5$
$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\dfrac{1}{cos\ \theta} \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
\left (\dfrac{1}{cos\ \theta} \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
sin\ \theta \left (\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ \right )&=cos\ \theta\\
\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta}\\
tan\ \theta+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{1}{tan\ \theta}\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta &=1\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta -1 &=0\\
\therefore tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2} =-1
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A).\ -1$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.6

Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3=0$ adalah...
$(A)\ x+2y+5=0$
$(B)\ x-2y+1=0$
$(C)\ x-2y+7=0$
$(D)\ x+2y+1=0$
$(E)\ x+2y-5=0$

Alternatif Pembahasan: show

Asimtot dari hiperbola ini jadi salah satu materi yang sangat fresh di SBMPTN atau mungkin soal yang tidak diduga bakal dimunculkan oleh panitia pembuat soal SBMPTN.

Persamaan hiperbola secara umum ada 2 yaitu;

1. Hiperbola Vertikal (Tegak)
   
   • persamaan umumnya ialah $\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
   • Pusat $(h,k)$
   • Persamaan asimtotnya ialah $\dfrac{(y-k)}{a}=\pm \dfrac{(x-h)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{a}{b}(x-h)$
2. Hiperbola Horizontal (Mendatar)
   
   • persamaan umumnya ialah $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
   • Pusat $(h,k)$
   • Persamaan asimtotnya ialah $\dfrac{(x-h)}{a}=\pm \dfrac{(y-k)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)$

Seperti yang disampaikan dalang Sujiwo Tejo, salah satu keindahan matematik itu ialah saat mengutak-atik hingga ketemu persamaan baru. Persamaan hiperbola pada soal kita utak-atik dengan menggunakan aturan yang berlaku hingga ketemu bentuk umum dari hiperbola.
$\begin{split}
4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3 & =0\\
4y^{2}+16y-x^{2}+6x+3 & =0\\
(2y+4)^{2}-16-(x-3)^{2}+9+3 &=0\\
(2y+4)^{2}-(x-3)^{2}&=4\\
\dfrac{(2y+4)^2}{4}-\dfrac{(x-3)^2}{4}&=1\\
\dfrac{2^{2}(y+2)^2}{2^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\dfrac{(y+2)^2}{1^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\end{split}$
Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah
$\begin{split}
\dfrac{(y+2)}{1^{2}}&=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
y+2 &=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
2y+4 &=\pm (x-3)\\
\Rightarrow & 2y-x+7=0\\
\Rightarrow & 2y+x+1=0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ x+2y+1=0$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.7

Misalkan $f(x)=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)= \cdots$
$(A)\ 12$
$(B)\ 10$
$(C)\ 8$
$(D)\ 6$
$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
f(x)&=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18\\
f(x)&=(x-2)g(x)+2b\\
3(2)^{3}-9(2)^{2}+4b(2)+18 &=(2-2)g(2)+2b\\
24-36+8b+18 &=2b\\
-12+8b+18 &=2b\\
6b &=-6\\
b &=-1\\

f(x)&=3x^{3}-9x^{2}-4x+18\\
f(x)&=(x-2)g(x)-2\\
3(-2)^{3}-9(-2)^{2}-4(-2)+18 &= (-2-2)g(-2)-2\\
-24-36+8+18 &= (-4)g(-2)-2\\
-60+26+2 &= (-4)g(-2)\\
-32 &= (-4)g(-2)\\
8 &= g(-2)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C).\ 8$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.8

Diketahui suatu bundar kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu bundar besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bundar merupakan diameter dari bundar kecil, ibarat pada gambar. Luas tempat irisan kedua bundar ialah ...

$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$

Alternatif Pembahasan: show

Luas tempat irisan kedua lingkaran bila kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;

Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bundar merupakan diameter dari bundar kecil, sehingga gambar sanggup kita sajikan ibarat berikut;

Dari gambar diatas luas irisan bundar ialah luas tempat biru ditambah luas tempat kuning. Kita sanggup menghitung luas tempat biru yang merupakan luas setengah bundar kecil lantaran ialah $AC$ merupakan diameter bundar kecil.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas tempat kuning yang merupakan luas tembereng bundar yang besar, sanggup dipakai dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.

Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\

\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\

\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan bundar $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B).\ 18\pi-18$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.9

Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan: show

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini ialah $\int_{-a}^a f(x)dx =2\int_{0}^a f(x)dx $
Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$

Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil

• Berlaku $f(-x)=-f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
• Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini ialah $\int_{-a}^a f(x)dx =0$.
Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$.
\begin{split}
\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
2 \int_{0}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\

\Rightarrow \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx = 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A).\ 0$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.10

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}=\cdots$
$(A)\ -\dfrac{1}{8}$
$(B)\ -\dfrac{1}{4}$
$(C)\ 0$
$(D)\ \dfrac{1}{4}$
$(E)\ \dfrac{1}{8}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos\ x}+\dfrac{cos^{2}x}{cos\ x}-\dfrac{2\ cos\ x}{cos\ x}}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}-2\ cos\ x+1}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (cos\ x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}} \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1}\\
= & \dfrac{1}{4}
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D).\ \dfrac{1}{4}$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.11

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B).\ & 0 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & - \infty \\
(E).\ & \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk merampungkan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar, yaitu dengan memisalkan $\dfrac{1}{x}=m$ maka $\dfrac{1}{m}=x$. Karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1}\\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C).\ 1$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.12

Diberikan dua fungsi rasional $y=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak $4$ satuan, maka $a= \cdots$
$(A)\ 2$
$(B)\ 3$
$(C)\ 5$
$(D)\ 6$
$(E)\ 7$

Alternatif Pembahasan: show

Fungsi Rasional $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

• Asimtot Mendatar ialah garis $y=\dfrac{a}{p}$
• Asimtot Tegak ialah garis $x=x_{1}$ dan $x=x_{2}$ bila penyelesaian $px^{2}+qx+r=0$ ialah $x_{1}$ dan $x_{2}$

Dari dua fungsi rasional pada soal $y_{1}=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Asimtot mendatar $y_{1}$ ialah $y=3$ dan berjarak $4$ satuan dengan asimtot mendatar $y_{2}$, sehingga asimtot mendatar $y_{2}$ yang mungkin ialah $y=-1$ atau $y=7$.

Asimtot tegak $y_{1}$ ialah $x=1$ dan $x=4$, salah satu asimtot tegak $y_1$ merupakan asimtot tegak $y_{2}$ lantaran ialah disampaikan pada soal "kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama".

Kita pilih asimtot yang sama ialah $x=1$ sehingga pada $y_{2}$ penyebut $bx^{2}+2x-3$ ialah $0$ untuk $x=1$.
$bx^{2}+2x-3=0$
$b(1)^{2}+2(1)-3=0$
$b-1=0$
$b=1$

Karena $b=1$ maka $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{x^{2}+2x-3}$ dan asimtot mendatar ialah $y= \dfrac{a}{1}=a$.

Nilai $y=a$ yang memenuhi pada pilihan ialah $7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E).\ 7$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.13

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menerima turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E).\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.14

Jika garis singgung dari $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ dititik $x=\pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ adalah...
$(A)\ -\dfrac{1}{4}\pi$
$(B)\ -\dfrac{1}{2}\pi$
$(C)\ -\pi $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\pi $
$(E)\ \pi$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini, fungsi $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ sepertinya tidak terlalu diperhitungkan lantaran ialah dari kalimat garis singgung memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$ artinya $(\pi,0)$ akan memenuhi untuk garis singgung kurva dan garis $y=x+c$.

Karena $(\pi,0)$ berlaku untuk $y=x+c$ maka $0=\pi+c$, diperoleh nilai $c=-\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C).\ -\pi$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.15

Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah ialah ...
$(A)\ 0,04$
$(B)\ 0,10$
$(C)\ 0,16$
$(D)\ 0,32$
$(E)\ 0,40$

Alternatif Pembahasan: show

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I: dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya ialah $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$

Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya ialah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus pertama ialah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus II: dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya ialah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$

Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya ialah $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus kedua ialah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Kaprikornus peluang yang terambil 1 bola merah ialah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0,4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E).\ 0,4$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Soal secara lengkap untuk mata pelajaran yang lain bisa di download disini. Beberapa pembahasan soal SBMPTN 2017 Matematika SAINTEK Kode 106 di atas ialah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Apabila ada masukan yang sifatnya membangun terkait kasus alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;

Bagikan Artikel ini