Materi Induksi Dan Pola Soal Induksi Matematika
Materi Induksi dan Contoh Soal Induksi Matematika - Dalam ilmu Matematika terdapat materi mengenai Induksi. Materi Induksi Matematika tersebut merupakan salah satu materi perluasan dari ilmu logika. Logika dalam Matematika tersebut yaitu ilmu yang mengkaji tentang pernyataan bernilai benar ataupun salah, pernarikan kesimpulan dan ingkaran (ekuivalen) sebuah pernyataan. Untuk itu cara merampungkan teladan soal induksi biasanya menggunakan ilmu logika. Induksi dalam Matematika memang dijadikan sebagai metode pembuktian untuk menyatakan benar atau salah secara deduktif.
Proses pembuktian menggunakan induksi harus melalui acara atau proses berpikir sesuai dengan pernyataan yang benar sehingga mampu menarik kesimpulan secara umum sampai berlaku pernyataan untuk kategori khusus. Dalam rumus induksi terdapat variabel yang digunakan untuk menerangkan sebuah anggota dalam himpunan bilangan asli. Dalam pembahasan kali ini saya akan menjelaskan tentang materi induksi dan teladan soal induksi Matematika. Untuk lebih jelasnya mampu anda simak di bawah ini.
Sekian penjelasan mengenai materi induksi dan teladan soal induksi Matematika. Induksi merupakan salah satu materi perluasan dari ilmu akal yang digunakan untuk menerangkan rumus atau pernyataan yang bernilai benar. Semoga artikel ini mampu bermanfaat dan selamat belajar.
 |
| Materi Induksi Matematika |
Materi Induksi dan Contoh Soal Induksi Matematika
Dalam materi induksi Matematika terdapat beberapa langkah dalam merampungkan teladan soalnya. Adapun beberapa langkah dalam pembuktian rumus atau pernyataan menggunakan induksi yaitu sebagai berikut:
- Membuktikan pernyataan atau rumus tersebut benar menggunakan n = 1.
- Membuktikan pernyataan atau rumus tersebut benar menggunakan n = k.
- Membuktikan pernyataan atau rumus tersebut benar menggunakan n = k + 1.
Baca juga : Perkalian Vektor (Macam, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal)
Contoh Soal Induksi Matematika
Buktikan bahwa 1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³ = ¼ n² (n + 1)² !
Langkah 1
Langkah pertama dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = 1. Maka :
1³ = ¼ (1)² (1 + 1)²
1³ = ¼ . 1 . 2²
1 = ¼ . 4
1 = 1 (Terbukti)
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
Langkah 3
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k + 1. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² ([k + 1] + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² (k + 2)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ + (k + 1)³ = ¼ k² (k + 1)² + (k + 1)³ (kedua ruas ditambah (k + 1)³)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + (k + 1)³ = (k + 1)² (¼ k² + (k + 1))
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = (k + 1)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k² + 4k + 4)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k + 2) + (k + 2)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k +2)³ (Terbukti)
1³ = ¼ (1)² (1 + 1)²
1³ = ¼ . 1 . 2²
1 = ¼ . 4
1 = 1 (Terbukti)
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
Langkah 3
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k + 1. Maka :
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ = ¼ k² (k + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² ([k + 1] + 1)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² (k + 2)²
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ + (k + 1)³ = ¼ k² (k + 1)² + (k + 1)³ (kedua ruas ditambah (k + 1)³)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + (k + 1)³ = (k + 1)² (¼ k² + (k + 1))
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = (k + 1)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k² + 4k + 4)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k + 2) + (k + 2)
1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³ + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)² + (k +2)³ (Terbukti)
Efek Domino
Cara menerangkan teladan soal induksi Matematika di atas mampu menggunakan dampak domino. Efek ini akan menyampaikan klasifikasi dari satu persatu langkahnya. Berikut penjelasan selengkapnya:
Langkah pertama menerangkan teladan soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = 1. Langkah ini praktis dilakukan, alasannya yaitu persamaan yang ada hanya tinggal dimasukkan nilai n = 1. Setelah itu deretnya dihitung sampai selesai.
"Kesimpulannya : n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1"
Langkah 2
Langkah selanjutnya menerangkan teladan soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = k dan n = k + 1. Pada langkah pertama n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1, maka untuk n = 2 juga bernilai benar. Kemudian jikalau n = 2 benar, maka untuk n = 3, n = 4 dan seterusnya juga bernilai benar. Hal ini akan terus benar untuk n selanjutnya.
Membuktikan teladan soal induksi Matematika pada langkah pertama dan kedua mampu dinyatakan dalam bentuk premis. Untuk itu langkah kedua sebagai premis 1 dan langkah pertama sebagai premis 2. Maka balasannya akan menjadi menyerupai di bawah ini:
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 1
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2 (Hal ini dikarenakan pada langkah di atas terdapat persamaan k = 1, maka k + 1 sama dengan nilai 2)
Lanjutan dari kesimpulan teladan soal induksi Matematika di atas kemudian dijadikan sebagai premis ke 2 dalam teknik yang sama. Maka balasannya akan menjadi menyerupai di bawah ini :
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 3
Penggunaan premis dalam teladan soal induksi Matematikan tersebut akan berlanjut sampai nilai n seterusnya. Dengan kata lain apabila dilanjutkan prosesnya, maka akan memperoleh kesimpulan n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar bagi semua n yang termasuk bilangan asli.
Hal ini menerangkan bahwa Induksi Matematika berhubungan bersahabat dengan dampak domino. Kita mampu melihat dampak domino, jikalau domino pertamanya dijatuhkan maka secara bergantian domino keseluruhan akan jatuh pula. Untuk itu dampak ini ada kaitannya dalam pembuktian rumus menggunakan induksi.
Pembahasan.
Langkah 1
Langkah pertama dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = 1. Maka :
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k. Maka :
Baca juga : Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran Beserta Contoh SoalLangkah 1
Langkah pertama menerangkan teladan soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = 1. Langkah ini praktis dilakukan, alasannya yaitu persamaan yang ada hanya tinggal dimasukkan nilai n = 1. Setelah itu deretnya dihitung sampai selesai.
"Kesimpulannya : n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1"
Langkah 2
Langkah selanjutnya menerangkan teladan soal induksi Matematika yaitu n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar, dimana n = k dan n = k + 1. Pada langkah pertama n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar untuk n = 1, maka untuk n = 2 juga bernilai benar. Kemudian jikalau n = 2 benar, maka untuk n = 3, n = 4 dan seterusnya juga bernilai benar. Hal ini akan terus benar untuk n selanjutnya.
Membuktikan teladan soal induksi Matematika pada langkah pertama dan kedua mampu dinyatakan dalam bentuk premis. Untuk itu langkah kedua sebagai premis 1 dan langkah pertama sebagai premis 2. Maka balasannya akan menjadi menyerupai di bawah ini:
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 1
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2 (Hal ini dikarenakan pada langkah di atas terdapat persamaan k = 1, maka k + 1 sama dengan nilai 2)
Lanjutan dari kesimpulan teladan soal induksi Matematika di atas kemudian dijadikan sebagai premis ke 2 dalam teknik yang sama. Maka balasannya akan menjadi menyerupai di bawah ini :
Premis 1 : Jika n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = k, maka n³ = ¼ n² (n + 1)² juga benar untuk n = k+1
Premis 2 : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 2
Kesimpulan : n³ = ¼ n² (n + 1)² benar untuk n = 3
Penggunaan premis dalam teladan soal induksi Matematikan tersebut akan berlanjut sampai nilai n seterusnya. Dengan kata lain apabila dilanjutkan prosesnya, maka akan memperoleh kesimpulan n³ = ¼ n² (n + 1)² bernilai benar bagi semua n yang termasuk bilangan asli.
Hal ini menerangkan bahwa Induksi Matematika berhubungan bersahabat dengan dampak domino. Kita mampu melihat dampak domino, jikalau domino pertamanya dijatuhkan maka secara bergantian domino keseluruhan akan jatuh pula. Untuk itu dampak ini ada kaitannya dalam pembuktian rumus menggunakan induksi.
Baca juga : Rumus Persamaan Eksponen Beserta Contoh Soal Eksponen
Contoh Soal Induksi Matematika Lainnya
Buktikan bahwa 
habis di bagi 5!
habis di bagi 5!Langkah 1
Langkah pertama dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = 1. Maka :
Langkah 2
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k. Maka :
Langkah 3
Langkah selanjutnya dalam merampungkan teladan soal induksi Matematika yaitu menerangkan n = k + 1. Maka :
Belum ada Komentar untuk "Materi Induksi Dan Pola Soal Induksi Matematika"
Posting Komentar